Принцип суперпозиции. Групповая скорость.

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т.е. ее свойства не изменяются под действием волновых возмущений, то к этим волнам применим принцип суперпозиции ( наложения ) волн:

при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Используя принцип суперпозиции, мы можем представить любую волну, с любым волновым фронтом, в виде суммы гармонических волн, т.е. в виде группы волн или т.н. волнового пакета. Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

Как будет распространятся в среде такой волновой пакет, представляющий собой модель реального волнового процесса? Многое будет зависеть от свойств среды (даже если она линейная!). Если элементарные волны всех частот, составляющие волновой пакет, распространяются с одинаковой скоростью, то говорят, что среда не обладает дисперсией.

Если скорость распространения колебаний в среде различна для различных частот, то говорят, что среда обладает дисперсией.

Т.о. дисперсией называется зависимость фазовой скорости от частоты, т.е. .

Рассмотрим простейшей волновой пакет, состоящий из суперпозиций двух распространяющихся вдоль положительного направления оси х гармонических плоских волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем

и . Тогда будем иметь:

(11.12).

- здесь мы использовали условие и . Волна (11.12) будет отличаться от гармонической тем, что ее амплитуда :

(11.13).

есть модельно изменяющееся функция координаты х и времени t.

За скорость распространения этой не гармонической волны (волнового пакета) принимают скорость перемещения максимума амплитуды волн, рассматривая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. Как и в случае определения фазовой скорости, положим, что в (11.13)

(11.14).

Тогда, продифференцировав это выражение по t:

(11.15).

- получим выражение для скорости перемещения центра волнового пакета.

Скорость U и есть групповая скорость, т.е. скорость движения группы волн,

образующих в каждый момент времени, локализованный в пространстве волновой

пакет.

Найдем, как связанны между собой групповая и фазовая скоростями. Для этого учтем, что , так что:

(11.16).

Из формулы (11.16) видно, что групповая скорость может быть, как больше так и меньше фазовой скорости, в зависимости от знака .

Если , среда называется недиспергирующей и для недиспергирующей среды U=V.

Если , среда называется средой с нормальной дисперсией, и для среды с нормальной дисперсией U<V.

Если , среда называется средой с аномальной дисперсией, и для среды с аномальной дисперсией U>V.

Принцип Гюйгенса- Френеля. Когерентные волны.

Интерференция волн.

Распространение волн в упругой среде можно описывать не только с помощью волнового уравнения, но и с помощью принципа Гюйгенса, на котором основывается волновая теория:

Каждая точка среды, до которой доходит волна, служит центром (источником)

вторичных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в

следующий момент времени.

Обычно в качестве поверхности, изучающей вторичные волны, выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно.

Естественно, что вторичные волны имеют ту же частоту, что и исходная волна. Кроме того, принцип Гюйгенса предполагает, что интенсивность вторичных волн максимальна только в положительном направлении (в направление распространения волны), а излучение вторичных волн против направления распространения отсутствует.

Для вторичных волн естественным образом вводится понятие когерентности – согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов.

Волны называются когерентными, если они имеют одинаковую частоту и

постоянную во времени разность фаз.

Проще всего систему когерентных волн можно получить, если на пути сферической волны от точечного источника поставить не прозрачный экран с двумя отверстиями (см. рис. 11.2).

При наложение в пространстве двух (или нескольких) когерентных волн в разных

его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в

зависимости от отношения между двумя фазами этих волн. Это явление называется

интерференцией волн.

-------------------------------------------

Внимание!

Дать вывод условий интерференционных max и min для случая двух волн с разными амплитудами.

Замечание:

--------------------------------------------

Рис. 11.2. Наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками S1 и S2.

Для простаты рассмотрим волны с одинаковыми амплитудами. Обозначим расстояние от первого отверстия S1 до точки наблюдения К как х1= S1к; а расстояние от второго отверстия S2 как х2= S2к. Уравнение бегущей волны от источника S1 и от источника S2 соответственно запишутся в виде (считаем, что волны плоские, а не сферические):

(11.17).

или

(11.18). Результирующее колебание наблюдаемое в точке К, будет равно сумме этих двух колебаний:

(11.19). где

(11.20).

В выражение (11.9) множитель, зависящий от времени, показывает, что будет гармоническим колебанием с тем же периодом Т, что и для источников (начальная фаза результирующего колебания на частоту не влияет).

Весьма существенно, что амплитуда В(х) результирующего колебания зависит от разности расстояний точки К от источников.

Обозначим - разность хода волн от источников до точки К,

- разность начальных фаз колебаний источников в точке К. Рассмотрим два предельных случая.

1) - разность хода волн равна целому числу длин волн (n=0;+-1;+-2;……)

Во всех точках пространства, в которых выполнено условие (11.21), получим:

(11.21).

- амплитуда результирующего колебания удваивается по сравнению с амплитудой каждой из волн, следовательно, волны взаимно усиливаются.

Условие называется условием интерференционных максимумов

(n=0;+-1;+-2;……).

2) - разность хода волн равна нечетному числу полуволн (n=0;+-1;+-2;……) (11.22).

В этом случае для всех точек пространства, для которых выполнено условие (11.22), будем иметь:

(11.23).

- волны взаимно уничтожают друг друга и амплитуда результирующего колебания равна нулю, т.к. волны в точке К будут колебаться в противофазе.

Условие называется условием интерференционных минимумов

(n=0;+-1;+-2;……).

Стоячие волны отражение волн.

Особым случаем интерференции являются стоячие волны – волны, образующиеся при положении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Для ввода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси х в среде без затухания, причем обе волны имеют одинаковые амплитуды и частоты. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую начальную фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда начальные фазы обеих волн равны нулю (см. рис. 11.3)

Рис. 11.3. К образованию стоячих волн.

При сделанных предположениях уравнение волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, соответственно будут иметь вид:

(11.24а)

(11.24б) (11.24).

Как и в предыдущем случае, когда мы рассматривали интерференционную волну от двух источников, преобразуем сумму косинусов:

(11.25).

Уравнение (11.25) называется уравнением стоячей волны, уравнение (11.24а) –

уравнение бегущей (прямой) волны, а уравнением (11.24б) – уравнением отраженной

(обратной) волны.

Из уравнения стоячей волны (11.25) вытекает, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания с той же частотой , что и у сходных волн и амплитудой Аст., зависящей от координаты х рассматриваемой точки пространства (точка М на рис. 11.3):

(11.26).

В точках среды, где выполняются условие:

(11.27).

амплитуда достигает максимального значения, равного 2А0. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Координаты пучности стоячей волны найдем из соотношения:

(11.28).

В точках среды, где выполняются условие:

(11.29).

амплитуда колебания обращается в нуль. Эти точки, в которых Аст=0, называется узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов задаются соотношением:

(11.30).

Из формул (11.28) и (11.30) следует, что расстояние между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны . Расстояние между соседними пучностью и узлом стоячей волны равно .

Между бегущими и стоячими волнами имеются существенные отличия.

1. Если в бегущей волне все точки совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, то все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами. При переходе через узел множитель меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от угла отличаются на П, т.е точки, лежащие по разные стороны от угла, колеблются в противофазе.

2. Если рассматривать бегущую волну, то в направление ее распространения, переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях.

Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, остается постоянной.

Проще всего наблюдать образование стоячих волн при взаимодействии падающей на преграду бегущей волны и отраженной от преграды (отраженная волна) волной. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред.

Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте

отражения возникает пучность, если более плотная - узел.

Образование узла (см. рис. 11.4) связанно с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы раздела сред происходит сложение колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел. Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменение фазы не происходит, и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами – образуется пучность.

Рис. 11.4. Отражение волн и образование стоячей волны;

а) отражение от более плотной среды;

б) отражение бегущей волны от более плотной среды.

Распространение волн в упругой среде.

Вектор Умова.

Как распространяются волны в упругих средах? Уравнение (11.3) показывает, что при распространении волн в упругом теле смещение соседних колеблющихся точек этого тела в один и тот же момент времени будут различными. Это связанно с тем, что колеблющееся тело периодически изменяет свою форму (деформируется) и эти возмущения окружающей среды распространяются во все окружающее источник пространство. В продольных волнах, распространяющихся в упругой среде, имеет место деформация поперечного растяжения и сжатия, а при распространении поперечных волн – деформация сдвига окружающий источник колебаний среды.

Для теоретического вычисления деформаций в упругой среде рассмотрим случай продольной деформации стержня (см. рис. 11.5).

Пусть в течение короткого промежутка времени ударом молотка стержню сообщается некоторый импульс . За это время точки торца стержня сместятся на некоторое расстояние .

Рис. 11.5. К вычислению скорости распространения деформации при сжатии стержня (продольная волна)

(Рис. 4.22 .ЗиТ).

Возникшая упругая деформация будет перемещаться вдоль стержня от точки к точке, и по стержню побежит волна сжатия. К концу промежутка времени сжатие охватит участок стержня длинной l, так что скорость распространение волны сжатия вдоль стержня будет ровна .

Поскольку в начале промежутка все частицы участка стержня длинной l были неподвижны, а к концу промежутка эти частицы будут двигаться со скоростью

вправо, то в соответствии со вторым законом Ньютона:

(11.31).

С другой стороны, в соответствии с законом Гука для упругих деформаций:

, (11.32).

где Е – модуль упругости (модуль Юнга). Из уравнений (11.31) и (11.32) в итоге получим соотношения:

, (11.33).

откуда следует, что скорость распространения продольной волны сжатия в упругом стержне равна

(11.34).

В случае распространение в твердом теле поперечных волн, связанных с деформацией сдвига, можно получить выражение сдвига, можно получить выражение для скорости распространения поперечных волн:

(11.35).

где G – модуль сдвига.

Поток энергии волновых процессов.

Вектор Умова.

Мы уже знаем, что полная энергия гармонически колеблющейся точки остается постоянной, а процесс распространения бегущей волны сопровождается переносом энергии без переноса массы. Оценим энергетические характеристики бегущей волны.

В случае бегущей волны можно мысленно вырезать из фронта волны площадку dS (см. рис. 11.6). За промежуток времени dt волна распространяется на расстояние

перпендикулярно к этому фронту. Если обозначить через W [Дж/м ]

Рис. 11.6. К определению потока энергии.

энергию единицы объема колеблющейся упругой среды, то энергия всех ее частиц, пришедших в колебательное движение в объеме , будет равна энергии, перенесенной волной за время dt в данной объем через площадки dS:

(11.36).

Разделив эту полученную объемом энергию на dS и dt, мы получим величину плотности потока энергии через единицу площади за единицу времени:

(11.37).

Вектор направлен в сторону распространения волны и носит название вектора Умова. Плотность потока энергии измеряется в [Вт/м ] и для звукового поля называется силой звука.

Эффект Доплера в акустике (Doppler).

Эффектом Доплера называется изменение частоты волн, регистрируемой

приемником, которые происходит вследствие движения источника этих волн и

приемника относительно друг друга.

Например, при приближении к неподвижному наблюдателю (приемник) быстро движущегося поезда, подающего звуковой сигнал (источник), тон звукового сигнала выше, а при удалении поезда – ниже тона сигнала, подаваемого тем же поездом, когда он не подвижен.

Причина Описанного явления заключается в том, что при приближении источника звуковых волн к наблюдателю за единицу времени проходит большее число волн, чем когда источник звуковых сигналов удаляется.

Рассмотрим несколько возможных ситуаций.

А. Источник и приемник покоятся относительно друг друга: Vист. = Vпр. = 0.

Если - скорость распространения звуковой волны в рассматриваемой среде, то длинна волны, воспринимаемая неподвижным источником, будет ровна ,

где - частота звука, излучаемая неподвижным излучателем. Т.о. распространяясь в среде, волна, достигает приемника, вызывает колебания его звукочувствительного элемента с частотой:

, (11.38).

т.е. частота звука, которую зарегистрирует неподвижный приемник, будет равна частоте , с которой волна излучается неподвижным источником.

Б. Приемник приближается к источнику, а источник покоится: Vпр. > 0 Vист. = 0.

В данном случае скорость распространения звуковой волны относительно приемника станет равной . Так как длинна волны от источника при этом не меняется, то частота звука, воспринимаемая движущимся приемником, будет равна:

(11.39).

т.е. частота колебаний воспринимаемых приемником будет в раз больше частоты колебаний источника, который покоится.

В. Источник приближается к приемнику, а приемник покоится: Vист.> 0 Vпр. = 0.

Поскольку скорость распространения звуковых колебаний зависит лишь от упругих свойств среды, то за время, равное периоду колебания источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние , независимо от того движется ли источник или покоится.

Но за это же время сам источник пройдет в направление распространение звуковой волны (т.е. по направлению к приемнику) расстояние

(11.40).

Следовательно, длина в направление движения источника (т.е. длинна волны между источником и приемником; см. рис. 11.7) сократится и станет равной

(11.41).

Рис. 11.7. К сокращению длинны волны звука от движущегося к приемнику источника звука (рис. 224 Трофимовой).

-------------------------------------------------------------

Замечание 1: Опыт показывает, что чистота воспринимаемая ухом, когда поезд приближается к нам, изменяется непрерывно, а формулы дают постоянные значения частоты. Как это объяснить?

Замечание 2: Если скорость источника относительно неподвижного приемника такая же, как и скорость приемника, относительно неподвижного источника, то частота, воспринимаемая приемником должна быть одной и той же. Но по формулам получается иначе! А как же быть с принципом относительности Галилея?

----------------------------------------------------------------

Тогда частота, воспринимаемая неподвижным приемником, будет равна (V = Vзв. =const!):

(11.42).

т.е. частота увеличивается в V/(V -Vист.) раз.

В случае Б) и В), если Vист.< 0 и Vпр.<0 знак в формулах (11.39) и (11.42) будет обратным, т.е. знак «-» надо будет сменить на «+».

Г) Источник и приемник движутся относительно друг друга.

Используя результаты, полученные для случаев Б) и В), можно записать выражение для частоты колебаний, воспринимаемых приемником:

(11.43).

где - частота, излучаемая неподвижным источником звука.

В формуле (11.43) верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, а нижний знак – в случае их взаимного удаления.

Из приведенных формул следует, что эффект Доплера различен в зависимости

от того, движется ли источник или приемник. Если направление скорости Vпр. и

Vист. Не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, то вместо

этих скоростей в формуле (11.43) надо брать их проекцию на направление этой

прямой.