- •Глава 1. Кинематика 3
- •Глава 2. Динамика 15
- •Введение
- •Глава 1. Кинематика
- •1.1. Основные понятия кинематики
- •1.2. Скорость и ускорение точки
- •1.3. Частные случаи движения точки
- •Равнопеременное движение.
- •Прямолинейное равномерное движение.
- •Прямолинейное равнопеременное движение.
- •1.4. Криволинейное движение точки
- •1.5. Поступательное движение твердого тела
- •1.6. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •1.7. Равномерное и равнопеременное вращение
- •Равнопеременное вращение.
- •Глава 2. Динамика
- •2.1. Основные понятия, законы и задачи динамики
- •2.2. Основные виды механических сил
- •2.3. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности.
- •2.4. Работа и мощность.
- •2.5. Механическая энергия.
- •2.6. Импульс точки и системы материальных точек. Закон сохранения импульса.
- •2.7. Энергия системы материальных точек. Закон сохранения механической энергии.
- •2.8. Момент силы. Момент инерции.
- •2.9. Вычисление моментов инерции стандартных тел.
- •2.10. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
- •2.11. Кинетическая энергия вращения тела.
- •2.12. Закон сохранения момента импульса.
- •Глава 3. Механические колебания и волны
- •3.1. Колебательное движение. Гармонические колебания.
- •3.2. Дифференциальное уравнение свободных колебаний. Простейшие механические колебательные системы.
- •3.3. Энергия гармонических колебаний.
- •3.4. Затухающие колебания.
- •3.5. Вынужденные колебания. Резонанс.
- •3.6. Механические волны. Уравнение бегущей волны. Фазовая и групповая скорость.
- •3.7. Волновое уравнение.
3.2. Дифференциальное уравнение свободных колебаний. Простейшие механические колебательные системы.
Свободными (собственными) называются колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему. Они возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия. Для того, чтобы тело совершало гармоническое колебательное движение, на него должна действовать сила, всегда направленная к положению равновесия, а по величине – прямо пропорциональная смещению от этого положения. Силы, направленные к положению равновесия, называются возвращающими.
Рассмотрим свободные колебания, происходящие в системе с одной степенью свободы.
Если ввести обозначение , то уравнение (1) можно переписать в следующем виде: (2)
Это и есть дифференциальное уравнение свободных колебаний с одной степенью свободы. Его решением является функция вида . Величина является циклической частотой колебаний. Период колебаний пружинного маятника: (3).
При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол a, такой, чтобы выполнялось условие , на тело будет действовать возвращающая сила . Знак минус указывает, что сила направлена в сторону, противоположную смещению. Так как , то сила равна . Сила пропорциональна смещению, следовательно, под действием этой силы материальная точка будет совершать гармонические колебания. Обозначим , где , имеем: или . Отсюда период колебаний математического маятника: .
При малых значениях , тогда возвращающий момент: .
В соответствии с основным законом динамики вращения: , где J – момент инерции маятника относительно оси, e – угловое ускорение.
Так как , то . Приравнивая два момента для одного тела, находим:
; , (4)
где – приведенная длина физического маятника.
3.3. Энергия гармонических колебаний.
Характерной чертой гармонического осциллятора является то, что средние значения кинетической и потенциальной энергии осциллятора равны друг другу и каждое из них составляет половину полной энергии. Покажем это.
Кинетическую энергия колеблющегося тела можно определить, если в выражение для кинетической энергии подставить скорость :
(1).
Потенциальная энергия, обусловленная упругой силой, определяется как эквивалент работы, необходимой для смещения тела на расстояние x от положения равновесия, и равна:
.
. (2).
Полная механическая энергия осциллятора равна:
.
.
Из выражений (1) и (2) видно, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются со временем, причем, когда кинетическая энергия максимальна, потенциальная энергия обращается в нуль, и наоборот (рис.23.1). Период колебания кинетической и потенциальной энергий вдвое меньше периода колебаний системы. Полная механическая энергия гармонического колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты. Постоянство полной механической энергии обусловлено отсутствием потерь энергии на совершение работы против сил сопротивления.