1.7. Равномерное и равнопеременное вращение

1. Равнопеременное вращение.

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (=const), то вращение называется равнопеременным. Пусть в началь­ный момент времени t=0 угол , а угловая скорость .

Из имеем d=dt. Интегрируя левую часть в пре­делах от до , а правую — в пределах от 0 до t, найдем

.

Выражение можно представить в виде

d/dt= или tdt.

Вторично интегрируя, находим закон равнопеременного вра­щения

.

Величины и имеют одинаковые знаки при равноускоренном движении, и разные знаки при равнозамедленном.

2. Равномерное вращение.

Вращение тела называется равномерным, если угловая скорость тела остается во все время движения по­стоянной (=₀=const). В этом случае =0 и

.

Для характеристики равномерного вращательного движения вводятся следующие характеристики.

1. Период T – время одного полного оборота.

2. Частота вращения n -число оборотов в единицу времени. Т.е.

,

где N – число оборотов, совершаемых телом за время t.

Очевидно, что период и частота связаны соотношением.

.

Для углового перемещения и скорости: .

Глава 2. Динамика

2.1. Основные понятия, законы и задачи динамики

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил с учетом инертности самих тел.

Инертностью называют способность тела быстрее или медленнее изменять скорость движения под действием сил. Количественной мерой инертности материального тела явля­ется масса тела m. [m]=кг.

В класси­ческой механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для данного тела.

Сила – векторная физическая величина , характеризующая действие одного тела на другое. Под действием силы у тела изменяется скорость, то есть появляется ускорение или происходит деформация тела, либо имеет место и то, и другое. В том случае, когда тело при взаимодействии получает ускорение, говорят о динамическом проявлении сил. В том случае, когда тело при взаимодействии деформируется, говорят о статическом проявлении сил. [F] =Н (Ньютон).

Изучение динамики начинают с изучения динамики материальной точки.

Основными законами динамики являются законы Ньютона, установленные путем обобще­ния многочисленных экспериментов и наблюдений. Они формулируются следующим образом.

Первый закон (закон инерции).

Существуют системы отсчета, в которых материальная точка находится в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения, если на нее не действуют силы или их действие скомпенсировано..

Движе­ние, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции, а первый закон – законом инерции. Системы отсчета, в которых справедлив этот закон, называют инерциальными. При решении боль­шинства технических задач инерциальной, с достаточной для прак­тики точностью, можно считать любую систему отсчета, жестко связанную с Землей.

Второй закон (основной закон динамики).

Ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), прямо пропорционально действующей на нее силе и обратно пропорционально ее массе.

Математически этот закон выражается векторным равенством

т.

Отсюда видно, что 1 Н — это сила, сообщаю­щая массе в 1 кг ускорение 1 м/с² (1Н=1 кг м/с²).

Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальным системам отсчета. Из этого закона непо­средственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, поскольку при действии данной силы точка, масса которой больше, т. е. более инертная, получит меньшее ускорение и наоборот.

Если на точку действует не одна, а несколько сил, то они будут эквивалентны одной силе, т. е. равнодействующей `R, равной геометрической сум­ме данных сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, принимает в этом случае вид

В дифференциальной форме

,

в проекциях на оси: ; ; .

Третий закон (закон равенства действия и противодейст­вия).

Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположных направлениях.

,

где – сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; – сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой.

В динамике формулируются и решаются две важнейшие задачи.

Первая (прямая) задача состоит в том, чтобы по заданному движению материальной точки найти действующие на нее силы.

Вторая (обратная) задача (основная задача динамики) заключается в том, чтобы по заданным силам определить движение точки. Данная задача гораздо сложнее, так как приводит к системе дифференциальных уравнений.