2.3. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности.

В механике Ньютона все законы выполняются в инерциальных системах отсчета. Пусть имеем две инерциальные системы отсчета, одну из которых мы будем условно считать неподвижной (система К с осями декартовых координат х,у,z). Другая же система (система К’ с осями декартовых координат х’, у’, z’) пусть равномерно и прямолинейно движется со скоростью относительно первой (см. рис.8.1.).

Примем для простоты, что оси х и х’ совпадают, а скорость относительного движения направлена вдоль оси х или х’. Пусть по часам наблюдателя в системе К прошло некоторое время t. В классической физике аксиоматически принимается, что такое же время зарегистрирует и наблюдатель в системе К’, т.е. . (1)

Так как предполагается, что в момент времени, равный t=0, начало координат обеих систем совпадали, то за время t система К’ переместится на расстояние, равное t. Пусть теперь в момент t’ в системе К’ в точке с координатами х’, у’, z’ произошло событие – включение электрической лампочки. Координаты лампочки, измеренные в момент наблюдателем в системе К, имеют значение х, у, z. Видно, что между координатами в системах К и К’ легко устанавливается связь:

(2)

(3) (4)

Соотношения (1)-(4) называются преобразованиями Галилея Преобразования Галилея связывают координаты и время события в указанных двух инерциальных системах отсчета. В векторной форме:

.

Дифференцируя формулы (2)-(4) по времени, получим классический закон сложения скоростей:

; ; .

Здесь – проекции вектора относительной скорости тела (по отношению к системе отсчета К’), а – проекции вектора абсолютной скорости (по отношению к системе отсчета К). В векторной форме закон сложения скоростей примет вид:

Продифференцируем его по времени и учтем, что . Получим:

(5)

В классической механике считается, что масса тела не зависит от системы отсчета, то есть . Умножим обе части равенства (5) на m:

или

Таким образом, закон Ньютона не изменяется при переходе от системы К в систему К’.

На этом основании можно сформулировать механический принцип относительности Галилея: во всех инерциальных системах отсчета одни и те же механические явления протекают одинаковым образом, и никакими механическими опытами, проводимыми внутри данной инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится система отсчета или движется равномерно и прямолинейно.

Физические величины и физические законы, не изменяющиеся при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, называют инвариантными (не изменяющимися) по отношению к преобразованиям Галилея.

2.4. Работа и мощность.

Элементарной работой силы `F, приложенной в точке М, называется скалярная величина

,

где  – угол между направлениями элементарного перемещения и силы . Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

Так как ||=ds, то формулу для элементарной работы можно записать и в таком виде:

,

где F — проекция силы на касательную М к траектории точки М, направленную в сторону перемещения этой точки , ds — модуль элемен­тарного перемещения точки М.

Если угол острый, то работа положительна. В частности, если направление силы совпадает с направлением перемещения (=0), то элементарная работа

dA=Fds.

Если угол тупой; то работа отрицательна. В частности, при =180° элементарная работа dA= -Fds.

Если угол =90°, т. е. если сила направлена перпендикулярно пе­ремещению, то ее работа равна нулю.

Знак работы имеет следующий смысл: работа положительна, когда составляющая направлена в сторону движения (сила ускоряет движение); работа отрицательна, когда составляющая направлена противоположно направлению движения (сила замедляет движение).

Работа силы на любом конечном перемещении M₀M₁ вычисляется как криволинейный интеграл

.

Следовательно, работа силы на любом перемещении M₀ М₁ равна взятому вдоль этого перемещения криволинейному интегралу от элементарной работы.

Если величина F постоянна, то из (34), обозначая перемещение М₀ M₁ через s_{1 ,} получим

.

В частности, такой случай может иметь место, когда действую­щая сила постоянна по модулю и направлению (`F=const), а точка, к которой приложена сила, движется прямолинейно (рис.7). В этом случае F=Fcos =const и

.

Единицей измерения работы в СИ является 1 джоуль (1 Дж=1Н м=1кг м²/с²). 1 Дж – работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м.

Консервативная сила – сила, работа которой определяется только начальным и конечным положениями тела и не зависят от формы пути. Примеры консервативных сил – силы тяготения, силы упругости. Примером неконсервативных (диссипативных) сил являются силы трения.

При сравнении различных механизмов, совершающих работу, имеет смысл говорить не только о величине работы, но и величине времени, в течение которого работа совершается (то есть о скорости выполнения работы).

Мощностью называется физическая величина, равная работе, совершаемой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то средняя мощность N=A/t₁ где t₁— время, в течение которого произведена работа А. В общем случае

N=dA/dt = Fds/dt = F.

Следовательно, мощность равна произведению касательной сос­тавляющей силы на скорость. Единицей измерения мощности в СИ служит 1 ватт (1 Вт=1Дж/с=1Нм/с).