1.5. Поступательное движение твердого тела

Абсолютно твердым называют такое тело, расстояние между любыми двумя точками которого с течением времени не меняется.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному положению.

Поступательное движение не следует смешивать с прямолиней­ным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями.

Рис. 10

Теорема 1.

При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению ско­рости и ускорения.

Доказательство.

Рассмотрим твердое тело, совершающее по­ступательное движение относительно системы отсчета Oxyz. Выберем в теле две произвольные точки А и В, положения которых в момент времени t определяются радиусами-векторами и (рис. 10). Проведем вектор , соединяющий эти точки. Тогда

= + . (5.1)

При этом длина АВ постоянна, как расстояние между точками твердого тела сохраняется, а направление остается неизменным, так как тело движется поступательно. Таким образом, вектор во все время движения тела остается постоянным (=const). Вследствие этого, траектория точки В получается из траектории точки А ее параллель­ным смещением на постоянный вектор . Следова­тельно, траектории точек А и В будут действительно одинаковыми (при наложении совпадающими) кривыми.

Для нахождения скоростей точек А и В продифференцируем обе части равенства (5.1) по времени. Получим

d/dt = d/dt + d ()/dt.

Производная от постоянного вектора равна нулю. Про­изводные же от векторов и по времени дают скорости точек А и В. В результате получаем .

Беря от обеих частей полу­ченного равенства производные по времени, найдем:

d/dt = d /dt или =.

Так как точки А и В были выбраны произвольно, то из найден­ных результатов следует, что у всех точек тела их траектории, а также скорости и ускоре­ния в любой момент време­ни будут одинаковы. Таким образом, теорема доказана.

Из теоремы 1 следует, что поступательное движение твер­дого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематики точки, которая уже рассмотрена.

1.6. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращательным движением называется такое движение, при котором все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси ОО’. Рассмотрим бесконечно малый поворот тела вокруг этой оси. Угол поворота будем характеризовать вектором , модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью ОО’ так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направлению вектора .

Положение точки А зададим радиус-вектором , проведенным из некоторой точки О на оси вращения. Линейное перемещение конца радиус-вектора связано с углом поворота соотношением: или в векторном виде:

Введем векторы угловой скорости и углового ускорения.

Вектор угловой скорости определяют как: . Вектор совпадает по направлению с вектором .

Изменение вектора со временем характеризуется вектором углового ускорения , который определяют как . Направление вектора совпадает с направлением – приращением вектора . При ускоренном вращении ↑↑ , а при замедленном ↑↓.

Установим связь между линейными и угловыми величинами.

Найдем скорость произвольной точки А твердого тела, которое вращается вокруг оси с угловой скоростью . Формулу поделим на соответствующий промежуток dt: и ,

тогда (*).

Т.е. скорость любой точки А твердого тела, вращающегося с угловой скоростью , равна векторному произведению на радиус-вектор точки А относительно произвольной точки О оси вращения.

Модуль вектора скорости , где R–радиус окружности, по которой движется точка А. Таким образом, .

Продифференцируем (*) по времени: .

Так как , =, то .

Здесь вектор – тангенциальное ускорение, а вектор – нормальное ускорение. Модули этих ускорений:

,

Модуль полного ускорения