2.6. Импульс точки и системы материальных точек. Закон сохранения импульса.

Вернемся к рассмотрению второго закона Ньютона

.

Пусть масса тела постоянна (не зависит от скорости). Тогда можно внести ее под знак производной: .

Векторная величина численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом этой материальной точки

. (6.1)

Подставляя это выражение в закон Ньютона, получаем

. (6.2)

Это выражение – более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равно действующей на нее силе. Выражение (6.2) называется уравнением движения материальной точки.

Векторная величина , равная , называется элементарным импульсом (силы).

Если , то после интегрирования получим

(6.3) Изменение импульса материальной точки равно импульсу действующей на нее силы.

Если на материальную точку не действуют силы, то ее импульс не изменяется.

Рассмотрим теперь механическую систему, состоящую из n материальных точек. Для i-й точки согласно второму закону Ньютона

. (6.4)

Все тела, не входящие в рассматриваемую механическую систему, называются внешними, а силы, действующие со стороны этих тел, называются внешними силами. Силы взаимодействия частей самой системы называются внутренними.

Пусть – сумма всех внешних сил, действующих на i-ю точку системы, – внутренняя сила, действующая на i-ю точку со стороны k-ой, тогда: . В результате (6.4) примет вид

. (6.5)

Просуммируем левые и правые части (6.5) по всем точкам системы

. (6.6)

По третьему закону Ньютона: . Отсюда , т.е.

.

Обозначим – геометрическая сумма (результирующая) всех внешних сил и – импульс механической системы. Тогда (6.6) примет вид

. (6.7)

Скорость изменения импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему. Отметим полную аналогию (6.7) и (6.2).

Рассмотрим теперь замкнутую (или изолированную) систему, т.е. такую, на которую не действуют внешние силы.

В этом случае =0. Тогда из (6.7) получаем

. (6.8)

Это означает, что или (6.9)

Таким образом, справедлив закон сохранения полного импульса изолированной системы. При любом характере взаимодействия тел, образующих замкнутую систему, вектор полного импульса этой системы все время остается постоянным.

Закон сохранения полного импульса изолированной системы – это универсальный закон природы.

Если система незамкнута, то полный импульс незамкнутой системы не остается постоянным. Его изменение за единицу времени равно геометрической сумме всех внешних сил. Однако в некоторых случаях импульс незамкнутой системы также может сохраняться:

а) Иногда (например, при взрыве, ударе или выстреле) импульсы частей системы претерпевают большие изменения за сравнительно короткие промежутки времени. Это связано с возникновением в системе кратковременных, но весьма значительных по величине внутренних сил взаимодействия частей системы, по сравнению с которыми все постоянно действующие на систему внешние силы оказываются малыми. В этом случае внешними силами можно пренебречь и импульс всей системы в целом не изменяется.

б) Если система не замкнута, но =0, то по закону сохранения импульса импульс системы не изменяется с течением времени: .

в) Может оказаться, ¹0, и , но или . Тогда или . Например, на систему действуют внешние силы, направленные вертикально, тогда .