Построение графиков

Результаты, полученные в ходе выполнения лабораторной работы, часто важно и необходимо представить графической зависимостью. Для того чтобы построить график, нужно на основании проделанных измерений составить таблицу, в которой каждому значению одной из величин соответствует определенное значение другой.

Графики выполняют на миллиметровой бумаге. При построении графика значения независимой переменной следует откладывать на оси абсцисс (X), а значения функции - на оси ординат (Y). Около каждой оси нужно написать обозначение изображаемой величины и указать, в каких единицах она измеряется (рис. 2).

Для правильного построения графика важным является выбор масштаба: кривая занимает весь лист, и размеры графика по длине и высоте получаются приблизительно одинаковыми. Масштаб должен быть простым. Проще всего, если единица измеренной величины (0,1; 10; 100 и т.д.) соответствует 1, 2 или 5 см.

Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями откладываемых величин. Каждое полученное экспериментальное значение наносится на график достаточно заметным образом: точкой, крестиком и т.д.

Погрешности указывают для измеряемых величин в виде отрезков длиной в доверительный интервал, в центре которых расположены экспериментальные точки. Так как указание погрешностей загромождает график, то делается это лишь тогда, когда информация о погрешностях действительно нужна: при построении кривой по экспериментальным точкам, при определении ошибок с помощью графика, при сравнении экспериментальных данных с теоретической кривой (рис. 2). Часто достаточно указать погрешность для одной или нескольких точек.

Через экспериментальные точки необходимо проводить плавную кривую. Нередко экспериментальные точки соединяют простой ломаной линией. Тем самым как бы указывается, что величины каким-то скачкообразным образом зависят друг от друга. А это является маловероятным. Кривая должна быть плавной, и может проходить не через отмеченные точки, а близко к ним так, чтобы эти точки находились по обе стороны кривой на одинаковом от нее расстоянии. Если какая-либо точка сильно выпадает из графика, то это измерение следует повторить. Поэтому желательно строить график непосредственно во время опыта. Тогда график может служить для контроля и улучшения наблюдений.

Вывод по графику (шаблон):

Полученный экспериментально график зависимости __________________

название функции словами

от _____________ имеет вид прямой (проходящей через начало координат,

название аргумента

параболы, гиперболы, плавной кривой) и качественно совпадает с теорети-

ческой зависимостью данных характеристик, имеющей вид ______________.

формула

Измерительные приборы и учет их погрешностей

Для прямых измерений физических величин применяют измерительные приборы. Любые измерительные приборы не дают истинного значения измеряемой величины. Это связано, во-первых, с тем, что невозможно точно отсчитать по шкале прибора измеряемую величину, во-вторых, с неточностью изготовления измерительных приборов. Для учета первого фактора вводится погрешность отсчета Δx₀, для второго - допускаемая погрешность Δx_д. Сумма этих погрешностей образует аппаратурную или абсолютную погрешность прибора Δx_пр.:

Допускаемую погрешность нормируют государственными стандартами и указывают в паспорте или описании прибора. Погрешность отсчета обычно берут равной половине цены деления прибора.

Но для некоторых приборов (секундомер, барометр-анероид) - равной цене деления прибора (так как положение стрелки этих приборов изменяется скачками на одно деление) и даже нескольким делениям шкалы, если условия опыта не позволяют уверенно отсчитать до одного деления (например, при толстом указателе или плохом освещении). Таким образом, погрешность отсчета устанавливает сам экспериментатор, реально отражая условия конкретного опыта.

Если допускаемая погрешность значительно меньше ошибки отсчета, то ее можно не учитывать. Обычно абсолютная погрешность прибора берется равной цене деления шкалы прибора.

Измерительные линейки обычно имеют миллиметровые деления. Для измерения рекомендуется применять стальные или чертежные линейки со скосом. Допускаемая погрешность таких линеек составляет 0,1 мм и ее можно не учитывать, так как она значительно меньше погрешности отсчета, равной ± 0,5 мм. Допускаемая погрешность деревянных и пластмассовых линеек - ± 1 мм.

Допускаемая погрешность измерения микрометра зависит от верхнего предела измерения и может составлять ± 3-4 мкм (для микрометров с диапазоном измерения 0 - 25 мм). За погрешность отсчета принимают половину цены деления. Таким образом, абсолютную погрешность микрометра можно брать равной цене деления, т.е. 0,01 мм.

При взвешивании допускаемая погрешность технических весов зависит от нагрузки и составляет при нагрузке от 20 до 200 г - 50 мг, при нагрузке меньше 20 г - 25 мг.

Погрешность цифровых приборов определяется по классу точности.

Библиографический список

1. Зайдель, А. Н. Ошибки измерений физических величин / А. Н. Зайдель. – СПб.: Лань, 2005. – с. 112.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

Моделирование случайной величины

и исследование ее распределения

Цель работы: изучение статистических методов обработки опытных данных, подчиняющихся нормальному закону распределения случайных величин.

Оборудование: наручные часы с секундной стрелкой, электронный секундомер.

Краткие теоретические сведения

Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта к опыту нерегулярно и, на первый взгляд, беспорядочно. Результат каждого отдельного измерения случайной величины практически непредсказуем. Однако совокупности результатов измерений подчиняются статистическим закономерностям, изучение которых служит одной из основ теории и практики физического и инженерного эксперимента. Существует множество законов распределения случайных величин. Одним из наиболее распространенных является нормальный закон распределения, описываемый функцией Гаусса:

, (1)

где ρ(t) – плотность нормального распределения случайной величины t, σ – среднеквадратичная ошибка или стандарт.

Закономерность распределения значений изучаемой случайной величины t становится наглядной, если построить гистограмму - ступенчатую диаграмму, показывающую, как часто при измерениях появляются значения, попадающие в тот или иной из равных интервалов t, лежащих между наименьшим и наибольшим из наблюдаемых значений величины t.

Гистограмму строят в следующих координатах (рис 1): ось абсцисс – измеряемая величина t; ось ординат – ΔN/NΔt. Здесь N - полное число измерений, ΔN - число результатов, попавших в интервал [t, t + Δt]. Частное ΔN/N - есть доля результатов, попавших в указанный интервал, и характеризует вероятность попадания в него результата отдельного измерения. Отношение этой величины к ширине интервала ΔN/NΔt называется "плотностью вероятности".

При очень большом числе измерений () вместо ступенчатой гистограммы получается плавная кривая зависимости

. (2)

Эту функцию называют плотностью вероятности или законом распределения по t. Чтобы сравнить наблюдаемое распределение с нормальным распределением (1), нужно найти по данным измерений параметры <t> и σ функции Гаусса (приближенно, поскольку число измерений ограничено). Параметр <t> есть среднее арифметическое случайной величины

. (3)

Параметр σ является средним квадратичным отклонением наблюдений от среднего <t>:

. (4)

Из анализа формулы (1) следует, что плотность нормального распределения имеет максимум

, (5)

при значении t = <t> и симметрична относительно t. Нетрудно сравнить “наибольшую высоту гистограммы” и максимальное значение функции Гаусса (5).

Для количественной проверки того, насколько хорошо полученные результаты соответствуют нормальному распределению, можно воспользоваться соотношением (6)

, (6)

в котором вероятность Р₁₂ попадания результата измерения в интервал (t₁, t₂) c одной стороны может быть вычислена как интеграл функции Гаусса в этих пределах, а с другой стороны - найдена как относительное число наблюдений N₁₂ , результаты которых попали в этот интервал. При сравнении наблюдаемого распределения с нормальным (1) можно воспользоваться известными значениями вероятности распределения случайной величины для наиболее употребительных в технике измерений пределов:

t(<t>-; <t>+), P_ = 0,68;

t(<t>-2; <t>+2), P_2 = 0,95;

t(<t>-3; <t>+3), P_3 = 0,997.