IX. Виды функций.

Def. Функция f: (a,b)Q называется неубывающей, или монотонно возрастающей на (a,b), если x<y  f(x)f(y). Функция f: (a,b)Q называется строго возрастающей на (a,b), если x<y  f(x)<f(y). Аналогичным образом определяются монотонно и строго монотонно убывающие функции. Функция называется монотонной на (a,b), если она либо монотонно убывает, либо монотонно возрастает на (a,b).

Функция f: QQ называется периодической, а число Т называется её периодом, если qQ f(q+T)=f(q).

Функция f: (-a,а)Q называется чётной, если qQ f(q)=f(-q).

Функция f: (-a,а)Q называется нечётной, если qQ f(-q)=-f(q).

Упражнение 38.

Определите, какие из следующих функций являются чётными, нечётными, монотонными или периодическими.

a) f(x)=x²; b) f(x)=x³; c) f(x)=|x|; d) f(x)=sign(x); e) f(x)=[x]; f) f(x)={x}.

Укажите участки монотонности для немонотонных функций.

Упражнение 39.

Пусть f(x) и g(x) – две чётные функции.

1. Что можно сказать о функции (f+g)(x)=f(x)+g(x)?

2. о функции (fg)(x)=f(x)g(x)?

3. о функции (f•g)(x)=f(g(x))?

Упражнение 40.

Пусть f(x) и g(x) – две нечётные функции.

1. Что можно сказать о функции (f+g)(x)=f(x)+g(x)?

2. о функции (fg)(x)=f(x)g(x)?

3. о функции (f•g)(x)=f(g(x))?

Упражнение 41.

Пусть f(x) и g(x) – две монотонно возрастающие функции.

1. Что можно сказать о функции (f+g)(x)=f(x)+g(x)?

2. о функции (fg)(x)=f(x)g(x)?

3. о функции (f•g)(x)=f(g(x))?

Упражнение 42.

Пусть f(x) и g(x) – две периодические функции с периодами m и n соответственно, m,nN.

4. Что можно сказать о функции (f+g)(x)=f(x)+g(x)?

5. о функции (fg)(x)=f(x)g(x)?

6. о функции (f•g)(x)=f(g(x))?

Упражнение 43.

1. Чётная и периодическая с периодом Т=8 функция f(x) определена на Q и задана на отрезке 0х4 условием f(x)=3-|1-x|. Найдите f(45).

2. Нечётная и периодическая с периодом Т=8 функция f(x) определена на Q и задана на отрезке 0х4 условием f(x)=4х-х². Найдите f(15).

X. Преобразования графиков функций.

У пражнение 44.

Нарисован график функции y=f(x). Нарисуйте графики функций:

1. Y=f(-x);

2. Y=-f(x);

3. Y=-f(-x);

4. Y=|f(x)|;

5. Y=f(|x|);

6. Y=f(0,5x)

7. Y=2f(x);

8. Y=1-f(1-x)

Упражнение 45*.

Докажите, что любую функцию f(x) можно разложить в сумму чётной и нечётной функций: f(x)=g(x)+h(x). (hint: build this functions out of function f itself) Упражнение 46.

Пусть в некоторой декартовой системе координат ХОУ нарисован график функции y=f(x). Опишите, какие действия нужно совершить с графиком этой функции, чтобы получить графики следующих функций:

1. Y=f(-x);

2. Y=-f(x);

3. Y=-f(-x);

4. Y=|f(x)|;

5. Y=f(|x|);

6. Y=f(kx), 0<k<1

7. Y=kf(x) , 0<k<1;

8. Y=kf(kx) , -1<k<0

9. Y=f(x+a)+b, a<0<b.

XI. Неравенства.

График функции y=f(x) разбивает плоскость на три части, а) y>f(x), b) y<f(x) и c) y=f(x). Если неравенство нестрогое, например, yf(x), то тогда части b) и c) объединяются в одну и частей плоскости, на которые график разбивает плоскость остаётся две. В любом случае, сам график является границей, разделяющей две области и, в зависимости от строгости неравенства, присоединяется к одной из них.

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости, к одной из которых она сама относится. Эта полуплоскость называется замкнутой, она содержит свою границу (прямую линию). Другая полуплоскость границы не имеет и называется открытой. Если у нас имеется несколько неравенств, они, как и уравнения, образуют систему. Итоговое множество точек на плоскости является пересечением всех областей, являющихся решением каждого из неравенств в отдельности.

С другой стороны, если мы решаем, скажем, неравенство (х-3)(у+5)<0, то искомое ГМТ (х,у) плоскости является объединением двух областей: А={(x,y)| x-3<0  y+5>0} и B={(x,y)| x-3>0  y+5<0}. Рисунок прилагается.

К аждая из областей – четвертушки плоскости, заштрихованные дважды (крест-накрест). Границы этих областей им не принадлежат (в «ответ» не входят). Это – открытые области.

Рассмотрим теперь пару модельных неравенств с одной переменной.

Решим неравенство (х-3)(х-5)0. Оно приводит к двум системам неравенств, каждая из которых доставляет множество решений исходной задачи.

и . Первая система

противоречива, и множество её решений пусто. Вторая система даст нам итоговый ответ: 3х5. Этот результат можно записать и так: х[3,5]. На числовой прямой это множество представляет собой отрезок (вместе с его концами):

Решим неравенство (х+2)(х-1)(х-2)<0.

Отметим точки, в которых функция у=(х+2)(х-1)(х-2) обращается в 0:

Эти точки разбили прямую на четыре интервала. Начнём двигаться по прямой справа налево. Когда мы находимся в самом правом из интервалов (x>2), все три скобки положительны и функция положительна. Когда мы переходим к интервалу 1<x<2, последняя скобка становится отрицательной, а первые две остаются положительными. Произведение становится отрицательным. Когда мы переходим к третьему интервалу, -2<x<1, средняя скобка меняет знак – становится отрицательной, а первая и последняя сохраняют свои знаки, - первая по-прежнему положительна, а последняя отрицательна. Произведение вновь становится положительным. Наконец, когда мы входим в самый левый интервал, x<-2, все скобки становятся отрицательными и произведение их становится опять отрицательным. Итак, произведение является отрицательным на двух открытых интервалах (их границы не входят в ответ): х(-, -2)(1,2). Или: x<-2 1<x<2. Графически наш ответ выглядит так:

Пустые кружочки говорят о том, что точки -2, 1 и 2 не входят во множество решений неравенства.

Метод, которым мы решили это неравенство, называется методом интервалов.

Упражнение 47.

Нарисуйте на координатной плоскости ГМТ (х,у), удовлетворяющих неравенству

|x+y|2.

Упражнение 48.

Нарисуйте на координатной плоскости ГМТ (х,у), удовлетворяющих неравенству

|x|+|y|2

Упражнение 49.

Найдите на координатной прямой множество точек, удовлетворяющих неравенству

(1-x)(2-x)(3-x)(x+2)²(x+3)³0.

Упражнение 50.

Н апишите систему неравенств, множеством решений которых является заштрихованный треугольник (вместе с его границей).

Упражнение 51.

Решите графически систему неравенств:

Упражнение 52.

Найдите ГМТ плоскости, удовлетворяющих системе неравенств: