- •Конспект лекций По дисциплине «Моделирование систем» Содержание
- •1.Системы и моделирование
- •1.1.Система как предмет моделирования
- •1.2.Модели
- •1.3.Математическое моделирование
- •2.Математические схемы моделирования систем
- •2.1.Основные подходы к построению математических моделей систем
- •2.2.Задачи теории массового обслуживания
- •2.3.Поток заявок. Время обслуживания
- •2.4.Простейшие смо и их характеристики
- •3.Этапы машинного моделирования систем
- •3.1.Построение концептуальной модели системы и ее формализация
- •3.2.Алгоритмизация модели системы и ее машинная реализация
- •3.3.Получение и интерпретация результатов моделирования системы
- •4.Принципы имитационного моделирования сложных систем
- •4.1.Понятие модельного времени
- •4.2.Способы имитации
- •4.3.Моделирующий алгоритм
- •5.Моделирование случайных факторов
- •5.1.Принципы моделирования случайных элементов
- •5.2.Требования к генератору случайных чисел
- •5.3.Методы построения программных датчиков бсв
- •5.4.Моделирование случайных воздействий на системы
- •6.Программные средства моделирования систем
- •6.1.Машинная реализация имитационных моделей
- •6.2.Классификация языков моделирования
- •6.3.Средства языков моделирования
- •7.Язык и система моделирования gpss
- •7.1.Транзакты
- •7.2.Списки
- •Процедура просмотра списка текущих событий:
- •7.3.Устройства
- •7.4.Многокнальные устройства (мку)
- •7.5.Логические ключи
- •7.6.Очереди и регистраторы очередей
- •7.7.Таблицы
- •7.8.Ячейки (Сохраняемые величины)
- •7.9.Матрицы
- •7.10.Функции
- •7.11.Переменные
- •8.Обработка результатов имитационного моделирования
- •8.1.Точечные оценки неизвестных параметров
- •8.2.Статистические методы обработки
- •8.3.Задачи обработки результатов моделирования
- •9.Планирование имитационных экспериментов
- •9.1.Общие принципы и задачи планирования экспериментов
- •9.2.Планирование экспериментов по исследованию систем методами дисперсионного анализа
- •10 Тактическое планирование машинных экспериментов с моделями систем
- •10.1 Стратегии запуска
- •10.1.1 Задание начальных условий
- •10.1.2 Процедуры отсечения
- •10.2 Определение объема имитационных экспериментов
- •9.3.Методы понижения дисперсии
- •Дополняющая выборка
- •Общие потоки случайных чисел
- •Использование априорной информации
- •Использование управляющих переменных
- •9.4.Правила остановки
- •10.Планирование экспериментов по оптимизации систем
- •10.1.Общие положения
- •10.2.Метод крутого восхождения
8.2.Статистические методы обработки
Для случая исследования сложных систем при большом числе реализаций N в результате моделирования на ЭВМ получается значительный объем информации о состояниях процесса функционирования системы. Поэтому необходимо так организовать в процессе вычислений фиксацию и обработку результатов моделирования, чтобы оценки для искомых характеристик формировались постепенно по ходу моделирования, т.е. без специального запоминания всей информации о состояниях процесса функционирования системы S.
Если при моделировании процесса функционирования конкретной системы S учитываются случайные факторы, то и среди результатов моделирования присутствуют случайные величины. В качестве оценок для искомых характеристик рассчитывают средние значения, дисперсии, корреляционные моменты и т.д.
Пусть в качестве искомой величины фигурирует вероятность некоторого события A. В качестве оценки для искомой вероятности используется частость наступления события , где m — число случаев наступления события A; N — число реализаций. Такая оценка вероятности появления события A является состоятельной, несмещенной и эффективной. В случае необходимости получения оценки вероятности в памяти ЭВМ при обработке результатов моделирования достаточно накапливать лишь число m (при условии, что N задано заранее).
Аналогично при обработке результатов моделирования можно подойти к оценке вероятностей возможных значений случайной величины, т.е. закона распределения. Область возможных значений случайной величины X разбивается на n интервалов. Затем накапливается количество попаданий случайной величины в эти интервалы , . Оценкой для вероятности попадания случайной величины в интервал с номером k служит величина . Таким образом, при этом достаточно фиксировать n значений при обработке результатов моделирования на ЭВМ.
Для оценки математического ожидания СВ X в специальной ячейке памяти фиксируется сумма и находится среднее арифметическое значение:
Оценка дисперсии (8.1) является неудобной для непосредственного вычисления при моделировании, так как в памяти ЭВМ необходимо фиксировать все значения СВ X. Более удобно нахождение оценки дисперсии по формуле
так как для ее определения достаточно фиксировать и .
8.3.Задачи обработки результатов моделирования
При обработке результатов машинного эксперимента с моделью наиболее часто возникают следующие задачи: определение эмпирического закона распределения случайной величины, проверка однородности распределений, сравнение средних значений и дисперсий переменных, полученных в результате моделирования, и т.д. Эти задачи являются типовыми по проверке статистических гипотез. Рассмотрим некоторые из этих задач.
Задача определения эмпирического закона распределения СВ является наиболее общей и требует достаточно большого объема выборок. По результатам испытаний определяются значения выборочной функции и выдвигается гипотеза, что полученное эмпирическое распределение согласуется с тем или иным теоретическим. Проверка гипотезы осуществляется с помощью статистических критериев согласия (Колмогорова, Пирсона и др.). Критерий согласия Колмогорова основан на выборе в качестве меры расхождения U величины . Из теоремы Колмогорова следует, что при имеет функцию распределения
Если вычисленное на основе экспериментальных данных значение меньше, чем табличное значение при выбранном уровне значимости, то гипотезу о согласии принимают, в противном случае расхождение между и считается неслучайным и гипотеза отвергается.
Критерий Колмогорова рекомендуется применять в тех случаях, когда известны все параметры теоретической функции распределения. Неудобство использования критерия связано с необходимостью фиксации в памяти ЭВМ значений всех статистических частот для их дальнейшего упорядочения в порядке возрастания.
При проверке адекватности модели реальной системе возникает необходимость проверки гипотезы, заключающейся в том, что две выборки принадлежат той же генеральной совокупности. Если выборки независимы и законы распределения совокупностей F(u) и F(z), из которых извлечены выборки, являются непрерывными функциями своих аргументов и , то для проверки гипотезы можно использовать критерий согласия Смирнова, применение которого сводится к следующему. По имеющимся результатам вычисляют эмпирические функции распределения и и определяют
.
Затем при заданном уровне значимости находят допустимое отклонение
где и — объемы сравниваемых выборок для и , и проводят сравнение значений D и : если , то гипотезу о тождественности законов распределения и с доверительной вероятностью отвергают.
Сравнение средних значений двух независимых выборок взятых из нормальных совокупностей (дисперсии неравны и неизвестны) сводится к проверке гипотезы : на основании критерия Стьюдента (t-критерия). Проверка по этому критерию сводится к выполнению следующих действий:
|
|
Уровень значимости |
|
Статистика |
|
Гипотеза отвергается, если |
|
Представлен приближенный, но вполне приемлемый по точности метод.
Задача сравнения дисперсий сводится к проверке гипотезы, заключающейся в принадлежности двух выборок к одной и той же генеральной совокупности. Алгоритм применения критерия Фишера (проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин) следующий:
|
|
Уровень значимости |
|
Статистика |
|
Гипотеза отвергается, если |
|
Статистика F представляет собой отношение большей дисперсии к меньшей. В этом случае гипотеза отвергается, если , где — число степеней свободы числителя, а — число степеней свободы знаменателя.
Рассмотренные оценки искомых характеристик процесса функционирования системы S, полученные в результате машинного эксперимента с моделью M, являются простейшими, но охватывают большинство случаев, встречающихся в практике обработки результатов моделирования системы для целей ее исследования и проектирования.