1.3.Математическое моделирование

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные (предполагается отсутствие всяких случайных воздействий) и стохастические (вероятностные процессы и события), статические (описание объекта в какой-либо момент времени) и динамические (отражает поведение объекта во времени), дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. В случае стохастического моделирования анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики, т. е. набор однородных реализаций.

В зависимости от формы представления объекта (системы S) можно выделить мысленное и реальное моделирование. Мысленное моделирование может быть реализовано в виде наглядного, символического и математического. Уточним термины.

Моделирование — исследование какого-либо процесса или явления путем имитации с помощью реальных или абстрактных объектов, свойства которых и отношения между которыми отражают существенные стороны исследуемого процесса или явления. Если для имитации используются реальные объекты, то это физическое моделирование, если абстрактные объекты, то это математическое моделирование.

Математическая модель — совокупность математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств, точек, отрезков прямых и т. д.) и отношений между ними, отражающая некоторые свойства моделируемого физического объекта, интересующие инженера-исследователя.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторой математической модели и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта.

Математическое моделирование для исследования характеристик процесса функционирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

Проектирование модели начинается с обоснования задачи и составления содержательного описания исследуемой системы — создания функциональной модели. Функциональные модели представляются в виде образных описаний работы конкретных систем, графов состояний, временных диаграмм и т. п.

В процессе формализованного описания определяются характеристики системы, подлежащей изучению, устанавливаются цели и ограничения. Если задачу можно решить аналитическим путем, то необходимо приступить к разработке аналитической модели.

В аналитических моделях поведение сложных систем записывается в виде некоторых функциональных соотношений или логических условий. Для построения аналитических моделей имеется мощный математический аппарат (алгебра, функциональный анализ, разностные уравнения, теория вероятностей, математическая статистика, теория массового обслуживания и т. д.).

Когда явления в сложной системе настолько сложны и многообразны, что аналитическая модель становится слишком грубым приближением к действительности, то исследователь вынужден использовать имитационное моделирование. В имитационной модели поведение компонент сложной системы описывается набором алгоритмов, которые затем реализуют ситуации, возникающие в реальной системе. Моделирующие алгоритмы позволяют по исходным данным, содержащим сведения о начальном состоянии и фактическим значениям параметров системы отобразить реальные явления в системе и получить сведения о возможном поведении сложной системы для данной конкретной ситуации. На основании этой информации исследователь может принять соответствующие решения.

Методом статистического моделирования будем в дальнейшем называть метод машинной реализации имитационной модели, а методом статистических испытаний (Монте-Карло) — численный метод решения аналитической задачи.

Аналитическая модель	Имитационная модель
1	2
Отличительные особенности
	при создании имитационной модели законы функционирования всей системы в целом могут быть неизвестны (достаточно знания алгоритмов, описывающих поведение отдельных элементов системы и связей между ними)
	в имитационной модели связи между параметрами и характеристиками системы выявляются, а значения исследуемых характеристик определяются в ходе имитационного эксперимента на ЭВМ
Условия применения
сравнительно простые системы	широкий класс систем практически любой сложности, аналитические модели которых частично либо полностью не определены

Продолжение таблицы

1	2
системы, получаемые в результате упрощения (абстрагирования) реальных систем с целью изучения некоторых свойств системы	в случаях, когда в силу сложности аналитической модели ее практическое использование невозможно
Достоинства
универсальность, высокая степень общности и значимости результатов	часто единственно возможный метод исследования сложных систем
	возможность исследования системы на различных уровнях ее детализации, определяемых целью исследования
	возможность исследования динамики взаимодействия элементов системы во времени и пространстве параметров системы
	возможность оценивания характеристик системы в определенные моменты времени
Недостатки
чувствительность к степени сложности системы	дороговизна: разработка хорошей имитационной модели часто обходится дороже создания аналитической модели и требует больших временных затрат
неадекватность реальной системе	результаты имитационного моделирования обладают меньшей степенью общности по сравнению с аналитическим моделированием и не позволяют выявить общие закономерности функционирования классов систем
	не существует надежных методов оценки адекватности имитационной модели

Процесс моделирования остается неполным до тех пор, пока не проведены исследования на идентификацию (оценку параметров, например, по методу наименьших квадратов) изучаемой системы и адекватность модели реальному объекту. Итеративный процесс выбора модели продолжается до тех пор, пока не будет подтверждено соответствие выбранной модели имеющимся данным о моделируемой системе.