- •Введение
- •Содержание дисциплины лекции
- •Раздел 1. Основы моделирования
- •Раздел 2. Математическое моделирование
- •Раздел 3. Имитационное моделирование.
- •Раздел 4. Системы массового обслуживания и модели прогнозирования
- •Практические занятия
- •Самостоятельная работа
- •Рекомендуемый библиографический список
- •Саратовский государственный социально-экономический университет кафедра теоретических основ информатики и информационных технологий
- •Рабочая программа
- •Федеральное агентство по образованию
- •Саратовский государственный социально-экономический университет
- •Кафедра теоретических основ информатики
- •И информационных технологий
- •Рабочая программа
- •Учебно-методическая карта дисциплины Форма 1
- •3. Содержание учебной дисциплины
- •Раздел 1. Основы моделирования
- •Раздел 2. Математическое моделирование
- •Раздел 3. Имитационное моделирование.
- •Раздел 4. Системы массового обслуживания и модели прогнозирования
- •Практические занятия
- •Самостоятельная работа
- •1. Компьютерное моделирование как метод научного познания
- •Раздел 1. Основы моделирования
- •Этапы компьютерного моделирования
- •Модели. Разновидности моделирования.
- •Раздел 2. Математическое моделирование
- •Компьютерное математическое моделирование
- •Различные классификации математических моделей
- •1.Программирование математической модели.
- •2.Испытание модели
- •3.Исследование свойств имитационной модели.
- •4.Эксплуатация имитационной модели
- •5.Анализ результатов моделирования
- •1. Детерминированные модели
- •2. Моделирование свободного падения тела
- •3. Модель движения тела, брошенного под углом к горизонту
- •4. Уравнения матфизики
- •5. Классификация уравнений матфизики
- •6. Моделирование процесса теплопроводности
- •Экологические модели
- •Компьютерное моделирование в экологии
- •Модели внутривидовой конкуренции
- •Динамика численности популяций хищника и жертвы
- •Раздел 3. Имитационное моделирование
- •Имитационное моделирование
- •Игра "Жизнь"
- •Динамические модели популяций
- •1. Понятие случайных событий
- •2. Вычисление площадей методом Монте-Карло
- •3. Задача Бюффона
- •4. Модели случайных и хаотических блужданий
- •Раздел 4. Системы массового обслуживания и модели прогнозирования
- •Модели потоков
- •Модели потоков
- •6. Классификация потоков.
- •Марковские системы массового обслуживания
- •Сети систем массового обслуживания
- •1. Моделирование в системах массового обслуживания
- •2. Очередь к одному "продавцу"
- •Прочие методологии
- •Практические занятия
- •Тема 1. Этапы и цели компьютерного математического моделирования
- •Некоторые приемы программирования, используемые при моделировании
- •Основные этапы построения математических моделей. Типовые прикладные результаты решения задач математического моделирования Модель движения системы материальных точек
- •Математические системы. Реализация алгоритма для математических систем Методы численного интегрирования и дифференцирования
- •Динамические системы. Реализация алгоритма для механических систем Модель явлений переноса (теплопроводность, диффузия)
- •Тема 6,7. Динамические системы. Реализация алгоритма для экологических систем
- •Тема 8. Модели физических процессов. Модели радиоактивного распада и цепной реакции ядерного взрыва Моделирование систем с одной степенью свободы
- •Модель двумерного движения материальной точки
- •Модели биологических систем. Модель распространения эпидемий Моделирование автоволновых процессов
- •Моделирование распространения волны
- •Тема 10, Тема 11. Модели биологических систем. Динамики развития популяций Моделирование колебаний связанных осцилляторов
- •Метод Монте-Карло
- •Нахождение площадей методом Монте-Карло
- •6.1.Вычисление кратных интегралов методом Монте – Карло
- •Самостоятельная работа
- •Примеры решения задач
- •Решение задачи 8 методом Монте-Карло
- •И их натуральных логарифмов
- •Задания для самостоятельного решения к теме № 3
- •Задания для самостоятельного решения к теме № 4
- •Задания для самостоятельной работы к теме 5
- •Задания для самостоятельного решения к теме 7
- •Задания для самостоятельного решения к теме 8
- •Задания для самостоятельного решения
- •Задания для самостоятельной работы к теме 9
- •Задания для самостоятельного решения к теме 10-11
- •Компьютерное моделирование в экологии. Общие рекомендации
- •Задания к самостоятельной работе
- •Задание для самостоятельного решения к теме смо
- •Вопросы к зачету
Динамика численности популяций хищника и жертвы
Рассматривая динамику численности популяций хищника и жертвы, экологи, прежде всего стремятся понять ее закономерности и разъяснить различия между типами динамик. В простейших моделях хищник и жертва рассматриваются безотносительно влияния на них других видов. Одна из самых первых и простых моделей была предложена, как и модель межвидовой конкуренции, Лоткой и Вольтеррой, и носит их имя.
Модель состоит из двух компонентов: C - численность популяции хищника и N - численность популяции жертвы.
Предполагается, что в отсутствие хищника популяция жертвы растет экспоненциально. Чем больше численность той и другой популяции, тем чаще происходят встречи. Число встреченных и съеденных жертв будет зависеть от эффективности, с которой хищник находит и ловит жертву. Если обозначить через a′ "эффективность поиска", то скорость поедания жертвы будет равна a′·C·N, и окончательно для численности жертвы получаем
В отсутствие пищи отдельные особи хищника голодают и гибнут. Предположим вновь, что численность хищника в отсутствие пищи будет уменьшаться экспоненциально:
(q - смертность). Скорость рождения новых особей в данной модели полагается зависящей от двух обстоятельств: скорости потребления пищи a′·C·N, и эффективности f, с которой эта пища переходит в потомство хищника. Итак, для численности хищника окончательно получаем
Так как процессы надо рассматривать вместе, объединим уравнения в систему:
Как и в предыдущем пункте, свойства этой модели можно исследовать, построив изо-клины.
Для жертвы имеем
или, выражая C, получаем
Соответствующее уравнение изоклины для популяции хищника
Если поместить обе изоклины на одном рисунке, получим картину взаимодействия популяций (рис. 3).
Рис. 3. Динамика численности популяции хищника и жертвы. Численность обеих популяций совершает периодические колебания
Как видно на рис. 4, численности популяций хищника и жертвы совершают периодические колебания: при увеличении численности хищников уменьшается численность популяции жертвы и наоборот. Такие колебания численности будут продолжаться в соответствии с моделью до тех пор, пока какое-либо внешнее воздействие не изменит численность популяций, после чего произойдет переход в новое устойчивое состояние (такая ситуация называется "нейтральные устойчивые циклы").
Рис. 3. Динамика численности популяции хищника и жертвы при r = 5, a′ = 0,1, q = 2, f = 0,6, N0 = 150, C0 = 50. Сплошная линия - численность жертвы, штриховая - хищника
Раздел 3. Имитационное моделирование
Основные понятия. Имитационное моделирование. Методы имитационного моделирования. Единичный жребий и формы его организации. Классификация имитационных моделей.
Имитационное моделирование
Имитационное моделирование широко применяется в биологии. Рассмотрим одну из самых распространенных имитационных моделей, предложенную Джоном Канвеем - игра "Жизнь"
Игра "Жизнь"
Для построения алгоритма игры рассмотрим квадратное поле из n+1 столбцов и строк с обычной нумерацией от 0 до n. Крайние граничные столбцы и строки для удобства определим как "мертвую зону", они играют лишь вспомогательную роль.
Для любой внутренней клетки поля с координатами (i,j) можно определить 8 соседей. Примем, что если клетка живая, то ее закрашиваем, если клетка мертвая, то она пустая.
Зададим правила игры.
Если клетка (i,j) живая и в окружении более трех живых клеток, то она погибает (от перенаселения). Живая клетка также погибает, если в окружении менее двух живых клеток (от одиночества). Мертвая клетка оживает, если вокруг нее имеется три живые клетки.
Начальное количество живых клеток и расположение их на поле определяется либо случайным образом, либо мы можем задать нужное нам количество живых клеток и определить их расположение определенным образом и смотреть, как они будут себя вести. Есть устойчивые структуры - пропеллер - три клетки в ряд, есть стабильные структуры - квадрат с просветом внутри, есть структуры, которые повторяют себя через определенное количество циклов и т.д.
Если располагать клетки случайным образом, то с помощью игры жизнь можно построить модель внутривидовой конкуренции (трава - зайцы), межвидовой конкуренции (зайцы - лисы), модель распространения инфекции и т.д.