- •Введение
- •Содержание дисциплины лекции
- •Раздел 1. Основы моделирования
- •Раздел 2. Математическое моделирование
- •Раздел 3. Имитационное моделирование.
- •Раздел 4. Системы массового обслуживания и модели прогнозирования
- •Практические занятия
- •Самостоятельная работа
- •Рекомендуемый библиографический список
- •Саратовский государственный социально-экономический университет кафедра теоретических основ информатики и информационных технологий
- •Рабочая программа
- •Федеральное агентство по образованию
- •Саратовский государственный социально-экономический университет
- •Кафедра теоретических основ информатики
- •И информационных технологий
- •Рабочая программа
- •Учебно-методическая карта дисциплины Форма 1
- •3. Содержание учебной дисциплины
- •Раздел 1. Основы моделирования
- •Раздел 2. Математическое моделирование
- •Раздел 3. Имитационное моделирование.
- •Раздел 4. Системы массового обслуживания и модели прогнозирования
- •Практические занятия
- •Самостоятельная работа
- •1. Компьютерное моделирование как метод научного познания
- •Раздел 1. Основы моделирования
- •Этапы компьютерного моделирования
- •Модели. Разновидности моделирования.
- •Раздел 2. Математическое моделирование
- •Компьютерное математическое моделирование
- •Различные классификации математических моделей
- •1.Программирование математической модели.
- •2.Испытание модели
- •3.Исследование свойств имитационной модели.
- •4.Эксплуатация имитационной модели
- •5.Анализ результатов моделирования
- •1. Детерминированные модели
- •2. Моделирование свободного падения тела
- •3. Модель движения тела, брошенного под углом к горизонту
- •4. Уравнения матфизики
- •5. Классификация уравнений матфизики
- •6. Моделирование процесса теплопроводности
- •Экологические модели
- •Компьютерное моделирование в экологии
- •Модели внутривидовой конкуренции
- •Динамика численности популяций хищника и жертвы
- •Раздел 3. Имитационное моделирование
- •Имитационное моделирование
- •Игра "Жизнь"
- •Динамические модели популяций
- •1. Понятие случайных событий
- •2. Вычисление площадей методом Монте-Карло
- •3. Задача Бюффона
- •4. Модели случайных и хаотических блужданий
- •Раздел 4. Системы массового обслуживания и модели прогнозирования
- •Модели потоков
- •Модели потоков
- •6. Классификация потоков.
- •Марковские системы массового обслуживания
- •Сети систем массового обслуживания
- •1. Моделирование в системах массового обслуживания
- •2. Очередь к одному "продавцу"
- •Прочие методологии
- •Практические занятия
- •Тема 1. Этапы и цели компьютерного математического моделирования
- •Некоторые приемы программирования, используемые при моделировании
- •Основные этапы построения математических моделей. Типовые прикладные результаты решения задач математического моделирования Модель движения системы материальных точек
- •Математические системы. Реализация алгоритма для математических систем Методы численного интегрирования и дифференцирования
- •Динамические системы. Реализация алгоритма для механических систем Модель явлений переноса (теплопроводность, диффузия)
- •Тема 6,7. Динамические системы. Реализация алгоритма для экологических систем
- •Тема 8. Модели физических процессов. Модели радиоактивного распада и цепной реакции ядерного взрыва Моделирование систем с одной степенью свободы
- •Модель двумерного движения материальной точки
- •Модели биологических систем. Модель распространения эпидемий Моделирование автоволновых процессов
- •Моделирование распространения волны
- •Тема 10, Тема 11. Модели биологических систем. Динамики развития популяций Моделирование колебаний связанных осцилляторов
- •Метод Монте-Карло
- •Нахождение площадей методом Монте-Карло
- •6.1.Вычисление кратных интегралов методом Монте – Карло
- •Самостоятельная работа
- •Примеры решения задач
- •Решение задачи 8 методом Монте-Карло
- •И их натуральных логарифмов
- •Задания для самостоятельного решения к теме № 3
- •Задания для самостоятельного решения к теме № 4
- •Задания для самостоятельной работы к теме 5
- •Задания для самостоятельного решения к теме 7
- •Задания для самостоятельного решения к теме 8
- •Задания для самостоятельного решения
- •Задания для самостоятельной работы к теме 9
- •Задания для самостоятельного решения к теме 10-11
- •Компьютерное моделирование в экологии. Общие рекомендации
- •Задания к самостоятельной работе
- •Задание для самостоятельного решения к теме смо
- •Вопросы к зачету
Модель двумерного движения материальной точки
1. Задача. Материальная точка массой m движется в силовом поле Fx = Fx(x,y), Fy = Fy(x,y), при этом на нее действует сила вязкого трения с проекциями Fтx = - r vx, Fтy = - r vy, направленная противоположно скорости. Необходимо, зная начальные условия x0 , y0 , v0x , v0y , построить траекторию движения точки.
2. Теория. Примерами подобного движения являются движение точки, в однородном силовом поле, в центральном силовом поле сил притяжения или отталкивания, в центральном поле сил упругости и т.д. При этом могут быть учтены силы вязкого трения.
Проанализируем основные ситуации.
1. Движение в однородном поле. Во всех точках пространства вектор силы имеет постоянные проекции на оси координат. При отсутствии силы трения точка движется по параболе, а при ее наличии -- по более сложной кривой.
2. Движение в центрально - симметричном поле, действующем по закону обратных квадратов. На точку с координатами x, y действует сила F = GmM/r2, r2 = x2 + y2 Ее проекции на оси координат:
Fx = - Fcosα = - Fx/r,
Fy = - Fsinα = - Fy/r.
В поле притяжения в зависимости от начальных координат и скоростей точка движется по гиперболе, параболе или эллипсу. В поле отталкивания траекторией движения точки является гипербола.
3. Движение в магнитном поле. Движение заряженной частицы в магнитном поле будет двумерным, если начальная скорость частицы перпендикулярна силовым линиям магнитного поля. При этом со стороны поля действует сила Лоренца F = qvB, лежащая в плоскости экрана и направленная перпендикулярно вектору скорости. Введем угол β, который образует вектор скорости с осью x. Проекции силы Лоренца на координатные оси:
Fx = - Fsinβ = Fvy /v,
Fy = - Fcosβ = - Fvx /v.
Заряженная частица описывает окружность. При наличии тормозящей силы радиус окружности уменьшается.
4. Движение частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях. Пусть силовые линии электрического поля лежат в плоскости экрана и направлены вверх, а силовые линии магнитного поля направлены к нам перпендикулярно вектору напряженности электрического поля.
Если заряд частицы положительный, то на него со стороны электрического поля действует постоянная сила, направленная вверх. Чтобы учесть ее влияние необходимо к вертикальной проекции силы Лоренца прибавить постоянное слагаемое qE:
Fx = Fvy /v, Fy = qE - Fvx /v.
Если начальная скорость частицы равна нулю, то траекторией ее движения является циклоида.
3. Алгоритм. Пусть в момент времени t материальная точка имеет координаты x, y и проекции скорости vx , vy . Запишем второй закон Ньютона в проекциях:
Fx(x,y) -r vx = max, Fy(x,y) -r vy = may.
Отсюда следует, что проекции ускорения точки в момент времени t + Δ t равны:
ax (t + Δ t) = (Fx (t) - r vx (t))/m, ay (t + Δ t) = (Fy (t) - r vy (t))/m.
Определив координаты и проекции скорости точки в момент времени t + Δ t, можно повторить процедуру вычисления требуемое количество раз и построить траекторию движения точки.
Построим алгоритм модели.
1. Задают массу материальной точки m, коэффициент вязкости r, начальные координаты x0 , y0 и проекции скорости v0x , v0y , силовое поле Fx = Fx (x,y,z), Fy = Fy (x,y,z), а также шаг по времени Δ t.
2. Начало цикла по t. Дают приращение по времени: переменной t присваивают значение t + Δ t.
3. Определяют ускорение, скорость и координату тела в следующий момент времени:
ax (t + Δ t) = (Fx (t) - r vx (t))/m,
ay (t + Δ t) = (Fy (t) - r vy (t))/m,
vx (t + Δt) = vx (t) + ax (t + Δt)Δ t,
vy (t + Δ t) = vy (t) + ay (t + Δ t)Δ t,
x(t + Δ t) = x(t) + vx (t + Δ t)Δ t,
y(t + Δ t) = y(t) + vy (t + Δ t)Δ t.
4. Результаты вычислений x(t + Δ t), y(t + Δ t) выводят на экран в числовом виде либо строят соответствующие точки на координатной плоскости.
5. Возвращение к операции 2. Если цикл по t закончился, -- выход из цикла.
4. Компьютерная реализация. Предлагаемая компьютерная программа позволяет изучить движение материальной точки в различных силовых полях с учетом действующей на точку силы трения.
program PROGRAMMA3;
uses crt, graph;
var v, B, q, F, Fx, Fy : real;
r, x, y, vx,vy,ax,ay : real; Gd, Gm, i: integer;
const M=500; mm=100; dt=0.005; rr=0.1; k=2;
Begin
Gd:= Detect; InitGraph(Gd, Gm, 'c:\bp\bgi');
if GraphResult <> grOk then Halt(1);
line(320,240,640,240); line(320,240,320,0); circle(320,240,5);
x:=100; y:=120; vx:=1; vy:=-2;
Repeat
begin
{--Заданние силового поля--}
(* Fy:=3; Fx:=0; *)
(* Fx:=-k*x; Fy:=-k*y; *)
(* r:=sqrt(x*x+y*y); F:=M*mm/(r*r);
Fx:=-F*x/r; Fy:=-F*y/r; *)
B:=2; q:=1; F:=B*v*q; v:=sqrt(vx*vx+vy*vy);
Fx:=F*vy/v; Fy:=-F*vx/v;
(* B:=2; q:=1; F:=B*v*q; v:=sqrt(vx*vx+vy*vy);
Fx:=F*vy/v; Fy:=-0.5-F*vx/v; *)
{--Расчет скоростей и ускорений--}
ax:=(Fx-rr*vx)/mm; ay:=(Fy-rr*vy)/mm;
vx:=vx+ax*dt; vy:=vy+ay*dt; x:=x+vx*dt; y:=y+vy*dt;
circle(round(x)+320,240-round(y),2); setcolor(12);
circle(round(x)+320,240-round(y),1); setcolor(15);
end;
until KeyPressed;
CloseGraph;
END.