- •Введение
- •Содержание дисциплины лекции
- •Раздел 1. Основы моделирования
- •Раздел 2. Математическое моделирование
- •Раздел 3. Имитационное моделирование.
- •Раздел 4. Системы массового обслуживания и модели прогнозирования
- •Практические занятия
- •Самостоятельная работа
- •Рекомендуемый библиографический список
- •Саратовский государственный социально-экономический университет кафедра теоретических основ информатики и информационных технологий
- •Рабочая программа
- •Федеральное агентство по образованию
- •Саратовский государственный социально-экономический университет
- •Кафедра теоретических основ информатики
- •И информационных технологий
- •Рабочая программа
- •Учебно-методическая карта дисциплины Форма 1
- •3. Содержание учебной дисциплины
- •Раздел 1. Основы моделирования
- •Раздел 2. Математическое моделирование
- •Раздел 3. Имитационное моделирование.
- •Раздел 4. Системы массового обслуживания и модели прогнозирования
- •Практические занятия
- •Самостоятельная работа
- •1. Компьютерное моделирование как метод научного познания
- •Раздел 1. Основы моделирования
- •Этапы компьютерного моделирования
- •Модели. Разновидности моделирования.
- •Раздел 2. Математическое моделирование
- •Компьютерное математическое моделирование
- •Различные классификации математических моделей
- •1.Программирование математической модели.
- •2.Испытание модели
- •3.Исследование свойств имитационной модели.
- •4.Эксплуатация имитационной модели
- •5.Анализ результатов моделирования
- •1. Детерминированные модели
- •2. Моделирование свободного падения тела
- •3. Модель движения тела, брошенного под углом к горизонту
- •4. Уравнения матфизики
- •5. Классификация уравнений матфизики
- •6. Моделирование процесса теплопроводности
- •Экологические модели
- •Компьютерное моделирование в экологии
- •Модели внутривидовой конкуренции
- •Динамика численности популяций хищника и жертвы
- •Раздел 3. Имитационное моделирование
- •Имитационное моделирование
- •Игра "Жизнь"
- •Динамические модели популяций
- •1. Понятие случайных событий
- •2. Вычисление площадей методом Монте-Карло
- •3. Задача Бюффона
- •4. Модели случайных и хаотических блужданий
- •Раздел 4. Системы массового обслуживания и модели прогнозирования
- •Модели потоков
- •Модели потоков
- •6. Классификация потоков.
- •Марковские системы массового обслуживания
- •Сети систем массового обслуживания
- •1. Моделирование в системах массового обслуживания
- •2. Очередь к одному "продавцу"
- •Прочие методологии
- •Практические занятия
- •Тема 1. Этапы и цели компьютерного математического моделирования
- •Некоторые приемы программирования, используемые при моделировании
- •Основные этапы построения математических моделей. Типовые прикладные результаты решения задач математического моделирования Модель движения системы материальных точек
- •Математические системы. Реализация алгоритма для математических систем Методы численного интегрирования и дифференцирования
- •Динамические системы. Реализация алгоритма для механических систем Модель явлений переноса (теплопроводность, диффузия)
- •Тема 6,7. Динамические системы. Реализация алгоритма для экологических систем
- •Тема 8. Модели физических процессов. Модели радиоактивного распада и цепной реакции ядерного взрыва Моделирование систем с одной степенью свободы
- •Модель двумерного движения материальной точки
- •Модели биологических систем. Модель распространения эпидемий Моделирование автоволновых процессов
- •Моделирование распространения волны
- •Тема 10, Тема 11. Модели биологических систем. Динамики развития популяций Моделирование колебаний связанных осцилляторов
- •Метод Монте-Карло
- •Нахождение площадей методом Монте-Карло
- •6.1.Вычисление кратных интегралов методом Монте – Карло
- •Самостоятельная работа
- •Примеры решения задач
- •Решение задачи 8 методом Монте-Карло
- •И их натуральных логарифмов
- •Задания для самостоятельного решения к теме № 3
- •Задания для самостоятельного решения к теме № 4
- •Задания для самостоятельной работы к теме 5
- •Задания для самостоятельного решения к теме 7
- •Задания для самостоятельного решения к теме 8
- •Задания для самостоятельного решения
- •Задания для самостоятельной работы к теме 9
- •Задания для самостоятельного решения к теме 10-11
- •Компьютерное моделирование в экологии. Общие рекомендации
- •Задания к самостоятельной работе
- •Задание для самостоятельного решения к теме смо
- •Вопросы к зачету
Тема 10, Тема 11. Модели биологических систем. Динамики развития популяций Моделирование колебаний связанных осцилляторов
1. Задача: Имеется система из N осцилляторов с массами mi и жесткостью пружин ki , связанные между собой упругими связями с жесткостью qi . На каждый осциллятор действует сила вязкого трения - r ηi . Заданы начальные смещения ξi (0) и скорости ηi (0) всех осцилляторов. На отдельные осцилляторы действует вынуждающая сила Fiξ = Fiξ (t) некоторые осцилляторы колеблются по закону ξi = ξi (t). Известно, что крайние осцилляторы закреплены (свободны). Необходимо построить компьютерную модель колебаний связанных осцилляторов.
2. Теория. Рассмотрим цепочку осцилляторов с массами mi и коэффициентом жесткости ki , связанных между собой пружинами жесткостью qi . На каждый i - ый осциллятор со стороны соседних (i - 1) - ого и (i + 1) - ого осцилляторов действует сила:
Fiξ = - qi (ξi - ξi - 1 ) - qi + 1 (ξi - ξi + 1 ),
Кроме нее на осциллятор действует сила упругости - kξi и сила вязкого трения - r ηi , где ηi -- скорость i - ого осциллятора. По второму закону Ньютона, ускорение i - ого осциллятора равно:
θi = (Fiξ - r ηi - kξi )/m.
Определив ускорение θi , можно найти скорость и смещение i - ой массы в следующий момент времени t + Δt:
ηi = ηi + θi Δ t,
ξi = ξi + ηi Δ t.
3. Алгоритм. Эта задача является частным случаем задачи о моделировании движения системы взаимодействующих между собой частиц.
1. Задают параметры системы и начальные условия: число осцилляторов N, их массы mi , жесткость упругих связей ki , жесткость пружины внутри осциллятора qi , шаг по времени Δt, начальные смещение ξi и скорости ηi , вынуждающие силы, действующие на различные материальные точки.
2. Дают приращение по времени: переменной t присваивают значение t + Δt.
3. В цикле перебирают все N осцилляторов и для каждого из них опеределяют равнодействующую силу, ускорение, скорость и смещение в следующий момент t + Δ t:
Fiξ (t + Δt) = - q(ξi (t) - ξi - 1 (t)) - q(ξi (t) - ξi + 1 (t)),
θi (t + Δt) = (Fi (t + Δ t) - r ηi (t) - kξi (t))/m,
ηi (t + Δt) = ηi (t) + θi (t + Δt)Δt,
ξi (t + Δt) = ξi (t) + ηi (t + Δt)Δt.
4. В цикле стирают предыдущее изображение каждого осциллятора и рисуют новое.
5. Возвращение к операции 2. Если цикл по t закончился, - выход из цикла.
4. Компьютерная реализация. Программа, представленная ниже, моделирует распространение импульса в случае, когда левый элемент среды совершает полколебания.
program PROGRAMMA5;
uses dos, crt, graph;
Const m=0.5; r=0.1; k=0.01;
dt=0.001; q=100; N=50;
Var teta, F, t, y : Real;
i,xx,vv,aa,FF,tt,Gd,Gm : Integer;
eta, ksi : array [0..N] of real;
Procedure GraphInit;
begin
Gd:= Detect;
InitGraph(Gd, Gm, 'c:\bp\bgi');
if GraphResult <> grOk then Halt(1);
end;
Procedure Oscillator;
begin
F:=q*(ksi[i-1]-ksi[i])+q*(ksi[i+1]-ksi[i]);
teta:=(F-r*eta[i]-k*ksi[i])/m;
eta[i]:=eta[i]+teta*dt; ksi[i]:=ksi[i]+eta[i]*dt;
end;
BEGIN
GraphInit;
Repeat begin t:=t+dt;
For i:=1 to N do begin
y:=ksi[i]; Oscillator;
if 5*t<3.142 then ksi[1]:=20*sin(5*t) else ksi[1]:=0;
ksi[N]:=0; {закреплен}
{ksi[N]:=ksi[N-1]; незакреплен}
setcolor(8); circle(10*i,240-round(y*10),2);
setcolor(15); circle(10*i,240-round(ksi[i]*10),2);
end; end;
until KeyPressed;
CloseGraph;
END.