1 Функция. Постоянные и переменные величины. Одз. График ф-ий. Способы задания ф-ий.

Постоянная величина- величина принимающая одни и те же значения вообще или в данном процессе(параметр)

Переменная величина-в. принимающая различные числовые значения.

Переменные величины делятся на независимые переменные(аргумент) и зависимые(ф-ии)

Если каждому знач. Х из обл. опред. D ставится в соответствии по некоторому закону единственное вполне определенное значение у, то говорят, что задана ф-ия у= f(x)

Обл. опред. ф-ии называется множество значений х, для которых ф-ия существует, определена, имеет смысл D[f]

1Аналитический способ. Ф-ия задается с помощью формул, при этом указывается и ОДЗ

у= f(x) ,f называется характеристикой ф-ии, она указывает на те действия, которые нужно произвести над х, чтобы получить у.

Областью изменения ф-ии называется множество значений,которые принимает у при всех х принадлежащих D. Обозначается: Е(f)

2Табличный способ. Ф-ия задается с помощью 2строчной или 2столбцовой таблицы. Недостаток:мы знаем значения ф-ии в отдельных точках,не зная значений ф-ии в промежуточных точках

3Графический. Ф-ия задается в виде графиков, при этом каждому значению х можно поставить в соответствии опред. Значение у.

График ф-ии у= f(x) –множество точек (х;у) плоскости хОу, координаты которых связаны соотношением у= f(x). Само равенство у= f(x) называется уравнением этого графика.

2 Сложная,обратная,неявная ф-ии. Четная и нечетная ф-ия. Периодическая ф-ия. Ограниченная ф-ия.

Сложная ф-ия. Пусть переменная у зависит от переменной u ,которая в свою очередь зависит от переменной х,т.е. у=f(u),u=φ(х). Тогда при изменении х будет менятся u , а потому будет меняться у. f(φ(х)). у=Sin х, u=х² => у=Sinх²

Обратная.Когда у независимая переменная, а х- зависимая. Тогда х будет являться ф-ей переменной, которая называется ф-ей,обратной к данной. у= f(x) и х= φ(у).

Неявная ф-ия- ф-ия неразрешенная относительно ординаты. 2х+3у-5=0

Если вместе с х,-х принадлежит D ,значит ф-ия четная. f(-х)=f(х). График симметричен относительно оси ординат.

Если вместе с х,-х не принадлежит D,значит ф-ия нечетная f(-х)= -f(х). График симметричен относительно начала координат.

Ф-ия общего вида-ни четная,ни нечетная.

Если сущ-ет такое число Т>0,что (х±Т)сD, хсD и выполняется f(х±Т)=f(х), то ф-ия называется периодической с периодом Т

Ограниченная ф-ия. Ф-ия f(х) называется ограниченной при хсХ,если сущ-ет такое число М>0 : /f(х)/≤М, хсМ

-М≤ f(х) ≤М, хсМ

3 Предел ф-ии. Определение. Геометрический смысл предела.

Число А называется пределом ф-ии f(х) при стремлении х к а (или в точке а), если для любого числа ε>0 сущ-ет такое число δ>0, что для всех х≠а, удовлетворяющих условию /х-а/< δ, имеет место неравенство /f(х)-А/< ε

Обозначается: lim f(х)=А или f(х)→А при х →а

Определение. Число А называется пределом ф-ии f(х) при стремлении х к бесконечности(или в бесконечности), если для любого числа ε>0 сущ-ет такое положительное число N, что для всех х, удовлетворяющих условию /х/>N, имеет место неравенство /f(х)-А/< ε . При этом пишут lim f(х)=А

Геом. смысл предела.

Говорят,что ф-ия f(х)→∞ при х→ х₀, если М>0(каким бы не было большим) сущ-ет U_δ,х0

lim f(х)=∞, х→ х₀

4 Св-ва ф-ий,имеющих предел. Теоремы1,2

Теорема1.Если сущ-ет предел limf(х)=а,при а>r,при х→ х₀ ,то сущ-ет U_δ,х0 ,в которой и ф-ия f(х)>r,хс U_δ,х0

Док-во

limf(х)=а, при х→ х₀ это означает

/f(х)-а/< ε,хс U_δ,х0

- ε< f(х)-а<ε

Т.к. а>r,следовательно а-r>0,

Возьмем ε>0,но такое маленькое,что бы а-r>ε ; а-ε>r ; r-а<-ε, тогда

f(х)-а>-ε>r-а => f(х)-а>r-а ; f(х)>r, хс U_δ,х0

Теорема2. Предел постоянной равен самой постоянной. limс=с, при х→ х₀ ,

Док-во: f(х)=с

/f(х)-с/<ε,хс U_δ,х0

/с-с/=0 /с-с/<ε, , >0, => limс=с, при х→ х₀