42. Таблица неопределенных интегралов

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

43. Определенный интеграл. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим Криволинейную трапецию ограниченную сверху непрерывной ф-ей y=f(x), f(x)≥0 с боков вертикалями x=a, x=b где b>a, снижу отрезком [a;b] оси OX. Необходимо найти площадь этой криволинейной трапеции.

Разделим отрезок [a;b] точками разделив на элементарные отрезки ∆x₁, ∆x₂, ∆x_n и проведем в точках деления перпендикуляры, прямые до пересечения с графиком ф-ии y=f(x)

На каждом элементарном отрезке выберем точку x и проведем перпендикуляры до y=f(x). В результате получим ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников высоты f(x) и длины основания ∆x площадь каждого i-прямоугольника S ступенчатой фигуры равна сумме площадей этих прямоугольников

Геометрический смысл определенного интеграла

Очевидно, что при , ,

Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченный сверху непрерывной ф-ей y=f(x), f(x)≥0 с боков прямыми x=a, x=b, b>a снизу отрезком [a;b] оси OX

44. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Рассмотрим ф-ию это S_{криволин трап}. Дадим x приращение ∆x: x+∆x. Тогда ф-ия получит приращение ∆Ф

Обозначим через m=min f(x) когда x Є [x; x+∆x], а через M=max f(x), x Є [x; x+∆x]. Тогда точка ∆x ≤∆Ф≤M∆x (1)

Разделим на ∆x

(2)

Очевидно что т.е. правая и левая части неравенства (2) имеют одинаковый предел f(x) тогда по 1-му признаку существованию предела, но

Получается что производная определенного интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной ф-ии в точке верхнего предела.

45. Связь определенного интеграла с неопределенным. Ф-ла Ньютона-Лейбница. Интеграл с переменным внешним пределом.

имеет производную равную f(x) Ф’(x)=f(x)

Пусть F(x) есть первообразная ф-ии f(x) т.е. F’(x)=f(x) тогда ф-ии Ф(x) и F(x) есть первообразные одной и той же ф-ии f(x) а тогда по следствию 1

Ф(x)=F(x)+C

(3)

Положим в (3) x=a

Следовательно C=-F(a)

(4)

Положим в (4) что x=b тогда

(5)

Формула (5) называется формулой Ньютона-Лейбница

Свойство определенного интеграла:

• Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной т.к. он равен приращению производной

• Если пределы определенного интеграла одинаковы то интеграл равен нулю это следует из геометрического смысла определенного интеграла и из формулы Ньютона-Лейбница

• Если поменять местами пределы интегрирования то интеграл изменит знак на противоположный

• Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

• Если ф-ия f(x) непрерывна и интегрируема на [a;b], [a;c], [c;b] то интеграл равен интегралу

И действительно

Отметим что точка c может и не принадлежать отрезку [a;b]

• Если ф-ии f(x), g(x), h(x) непрерывны и интегрируемы на [a;b] то

Интеграл от алгебраической суммы равен сумме интегралов от этих ф-ий.

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Известно, что d(uv)=uvd+vdu (7)

Udv=d(uv)-vdu (8)

Проинтегрируем (8) на [a;b] предполагая что ф-ии u(x) и v(x) дифференцируемы на [a;b] ф-ия v(x) интегрируема на [a;b]

(9)

(9) – формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Интегрирование подстановкой в определенном интеграле

Рассмотрим

Положим x=φ(t) ф-ия определенная и дифференцируемая на [α;β] причем φ(α)=a,φ(β)=b тогда

Формула доказана и в одну и в другую сторону

46. Приложение определенного интеграла

1. S крив трап

В случае если ф-ия непрерывна положительна и сверху и снизу

П усть нужно найти S фигуры ограниченной сверху непрерывной ф-ей f1(x) снизу непрерывной f2(x) и с боков прямыми x=a, x=b

Тогда

Пусть нужно найти площадь фигуры ограниченной замкнутой непрерывной ф-ей f(x)

Спроектируем на

Разделим фигуру крайней точкой на y_в и y_н

Е сли фигура ориентирована вдоль оси ординат, то S лучше вычислять по (10)

(10)

2. Объем тела

Пусть некоторое тело ориентировано вдоль оси OX в точке x проведено сечение перпендикулярно оси OX. Пусть Sсеч в точке x есть непрерывная ф-ия S(x)

Взяв точку x+∆x проведем в этой точке так же сечение S(x+∆x) тогда объем тела расположенного между сечениями S(x) и S(x+∆x) Обозначим ∆v Обозначим

, xЄ(x;x+∆x)

, xЄ(x;x+∆x)

Тогда ∆v

(11)

Разделим (11) на ∆x и перейдем в (12) к пределу в котором ∆x→0

Тогда на основании 1-го признака существования предела или теоремы о 2-х милиционерах мы получим

, но следовательно v(x)=S(x) т.е.

(13)

Найдена формула объема тела через известное поперечное сечение (13). Найдем объем тела, образованного вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции

Каждая точка криволинейной трапеции описывает окружность

Объем тела полученного в результате вращения вокруг оси OY криволинейной трапеции