60.Теорема2(общем реш-ии лин неоднор-го д/у II порядка).

Теорема:общее реш-ие лин неодно-го д/у II порядка есть сумма общего реш-ия однор-го ур-ия и частного реш-ия неоднор-го.

y``+p(x)у`+g(x)y=f(х) ; y``+p(x)у`+q(x)y=0.

у_он=у_оо+у_чн (15) ; у``<sub>оо</sub>+р(х)у`<sub>оо</sub>+q(x)y<sub>oo</sub>≡0 ; у``_чн+р(х)у`_чн +q(x)y_чн≡f(х) ;

(y_oo+y_чн)``+p(x)(y<sub>oo</sub>+y<sub>чн</sub>)`+q(x)(y<sub>oo</sub>+y<sub>чн</sub>)=(у``_оо+p(x)у`<sub>оо</sub>+q(x)y<sub>oo</sub>)+(у``<sub>чн</sub>+р(х)у`_чн +q(x)y_чн)=

=0+f(х),т.е. (15) яв-ся реш-ем лин неодно-го д/у II порядка. у_оо=с₁у₁(х)+с₂у₂(х),т.е. оно содержит две независ произвольные пост,тогда у_он=с₁у₁(х)+с₂у₂(х)+у_чн,содержит 2 независ произвольные пост и также яв-ся общим решением.

61.Линейные неоднородные д/у II порядка с пост. Коэфициентами.

y``+p(x)у`+g(x)y=f(х),где p и g пост числа.Поскольку мы умеем находить общее решение однородного ур-ия необходимо научиться находить частное решение неоднор ур-ия.В нек-ых случаях это удается сделать.

1)Когда k(x)=e^mx,т.е. y``+p(x)у`+g(x)y=e<sup>mx</sup>.В этом случае частное решение неоднор-го ур-ия ищем в виде : y<sub>чн</sub>=Аe<sup>mx</sup> ; у`<sub>чн</sub>=Аme<sup>mx</sup> ; у``_чн=Аm²e^mx .Подставим в ур-ие.

Аm²e^mx+рАme^mx+gАe^mx=e^mx ; Аe^mx(m²+рm+g)=e^mx ; А(m²+рm+g)=1 => А 1/(m²+рm+g)(1)

Если m не яв-ся корнем характеристического ур-ия, то из (1) А находится единственным образом.

Если m есть корень характеристического ур-ия(m=k),то частное решение исходного ур-ия ищется в виде: y_чн=Ах^se^mx ,где s кратность корня k=m.

2)Когда f(х)=Мcosωx+Nsinωx. Ур-ие имеет вид y``+pу`+gy=Мcosωx+Nsinωx.В этом случае частное реш-ие ищется в виде: y<sub>чн</sub>=Аcosωx+Вsinωx ; у`_чн= -Аωsinωx+Вωcosωx ;

у``_чн= -Аω²cosωx-Вω²sinωx. Получим,подставив:

-Аω²cosωx-Вω²sinωx-Арωsinωx+Врωcosωx+Аgcosωx+Вgsinωx=Мcosωx+Nsinωx.

Тригонометрич равны только,когда коэффициенты при sin и cos равны.

- Аω²+Врω+Аg=М А(g- ω²)+ Врω=М

-Вω² -Арω+Вg=N В(g- ω²)-Арω= N

Получ сис-му для опред коэффициентов А и В частного реш-ия.Если р=0,а g=ω²,то сис-ма несовместна.В этом случае нужно частное реш-ие отыскивать в виде: y_чн=Ахcosωx+Вхsinωx=х(Аcosωx+Вsinωx)

3) f(х)=ах²+bx+c ; y``+pу`+gy=ах²+bx+c. Частное реш-ие ищем в виде y_чн=Ах²+Вx+С ;

у`_чн=2Ах+В ; у``_чн=2А.Подставим 2А+р2Ах+Вр+gАх²+gВх+gС=ах²+bx+c.Равны,когда равны коэффициенты при одинаковых степенях.

Аg=а

2Ар+Вg=b

2А+Вр+gС=с

Если g≠0,то из сис-мы можно получить единственное реш-ие А,В,С имеют опред значения

Если g=0,а р≠0,тогда частное реш-ие неоднородного: y_чн=х(Ах²+Вx+С)

Если g=0 и р=0,тогда частное реш-ие неоднородного: y_чн=х²(Ах²+Вx+С)