51. Экстремум ф-ии нескольких переменных

Определение

М аксимумом ф-ии называется такое ее значение f(x₀,y₀) которое является наибольшим в некоторой окрестности точки M(x₀,y₀). Аналогично, минимумом ф-ии называетмя такое ее значение f(x₁,y₁) которое является наименьшим в некоторой окрестности точки M(x₁,y₁)

Максимумы и минимумы ф-ии называются экстремумами ф-ии, а точки в которых достигаются экстремумы называются точками экстремума ф-ии.

Теорема 1 (необходимый признак)

Если в точке M(x₀,y₀) дифференцируемая ф-ия достигает экстремума, то ее частные производные в этой точке равны нулю.

Док-во

Для доказательства зафиксируем и положив y=y₀ получим ф-ию которая зависит только от x

(к дано)

Когда мы зафиксировали y то получили ф-ию от 1 переменного v по необх условию ее производная равна 0

Если x=x₀ то f(x₀,y)

Такие как и для ф-ии 2-х независимых переменных если ф-ия f(x,y,z) дифференцируема и имеет в точке (x₀,y₀,z₀) то

Точка M(x0,y0) в которой частные производные обращаются в 0 называется стационарной точкой

Теорема 2(достаточный признак экстремума)

Если точка M(x0,y0) есть стационарная точка дважды дифференцируемой ф-ии

- смешанная производная в точке M

- значение производной по y в точке M

1. >0 то экстремум есть, причем если A>0 – min, A<0 – max

2. <0 экстремума нет

3. =0 требуется дополнительное исследование ибо никакое заключение о характере стационарной точки сделать не можем.

52. Метод наименьших квадратов.

Пусть мы хотим найти зависимость между 2-мя величинами x и y значения которых помещены в таблицу.

X	X1	X2	.	.	.	Xn
y	Y1	Y2	.	.	.	yn

Рассмотрим x и y как прямоугольные координаты. Нанесем их на координатную плоскость. Будем полагать что точки почти лежат в некоторой прямой

(1)

Где k и b параметры подлежащие определению.

Для удобства примем (1) в виде (2) kx+b-y=0. При подстановке в (2) вместо x и y их значения из таблицы, поскольку точки лишь приблизительно лежат на прямой получим (3)

Где – некоторые числа которые мы будем называть невязками. Они могут иметь различные знаки. При способе наименьших квадратов k и b подбирают таким образом чтобы сумма квадратов этих невязок была наименьшей, т.е. составляют ф-ию

- есть ф-ия 2-х переменных k и b которые подберем так, что бы S получило возможно наименьшее значение. Пользуясь необх усл экстремума видим, что для этого должно выполняться

Так

Сокращаем на u группируя относительно k и bполучим

Для нахождения k и b получается простая система (4) 2-х уравнений 1-ой степени с 2-мя неизвестными

53. простейшие дифференциальные уравнения.

Дифференциальным (обыкновенным) уравнением называется соотношение связывающее независимую переменную, ф-ию и ее производные различных порядков от одного и того же аргумента x.

Часто д.у. записывается в виде разрешенном относительно старшей производной.

Порядком д.у. называется порядок старшей производной.

Общим решением д.у. n-го порядка является ф-ия определенная в некотором интервале (A;B) обращающая д.у. в тождество и содержащее столько независимых производных постоянных C_i каков порядок д.у.

Термин «незав произв постоянные» означает что число их не может быть уменьшено путем введения новых независимых производных постоянных.

Частичным решением д.у. называется решение д.у. получаемое из общего при определенных значениях производных постоянных входящих в общее решение

Общий интеграл д.у. называется общее решение д.у. записанное в неявном виде.

Д.у. первого порядка.

Д.у. 1-го порядка называется соотношение связывающее независимую переменную ф-ии и ее производную.

(3)

Задача Коши.

Пусть дано д.у. (3) и требуется найти решение этого уравнения удовлетворяющее начальному условию

(5)

Таким образом задача Коши состоит в нахождении решения уравнения (3) удовлетворяющего начальному условию (5).

График решения д.у. называется интегральной кривой. Учитывая это можно сформулировать геометрический смысл задачи Коши. Найти интегральную кривую уравнения (3) проходящую через точку (x₀,y₀)

(x₀,y₀)

Теорема Коши (существования и единственности)

Пусть в уравнение (3) ф-ия f(x,y) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике R содержащим

(x₀,y₀) є R

Частная производная непрерывна тогда уравнение имеет единственное решение проходящее через точку (x₀,y₀)

Задача интегрального исчисления y’=f(x) где f(x) – известно, а y – неизвестно является простейшим д.у. имеющим решение без задачи.

Решение содержит одну производную постоянную т.е. является однопараметрическим семейством.

54. Д.у. с разделенными переменными

Одни имеют вид (6) где при дифференциалах dx и dy стоят соответственно ф-ии только от x или только от y.

Пусть F(x) – первообразная ф-ии X(x) а ф-ия G(x) – ф-ии Y(y) тогда общий интеграл уравнения (6) имеет вид (7)

Док-во.

Пусть y=y(x) – решение уравнения (6) тогда при подстановке в (6) оно обращает его в тождество

Или

Мы получим общий интеграл уравнения. Посмотрим в каком случае можно получить общее решение уравнения. Пусть G’(y) отлично от 0, т.е. - ф-ия возрастает, - ф-ия убывает, но она монотонна. Поскольку она дифференцируема то по т о независимости между диф-ю и непрерывностью она непрерывна.

Д.у. с разделяющимися переменными.

(8)

Где при дифференциалах dx и dy стоит произведение ф-ий одна из которых зависит только от x, 2-ая только от y. Для решения произведения (8) разделим его на

(9)

Уравнение (9) уравнение с разделенными переменными и его общий интеграл имеет вид

(10)

В результате деления могут быть потеряны решения:

1. Если x=a, то M₁(x)=0, M₁(a)=0

2. Если y=b, то N(y)=0, N(b)=0

X=a, x=b является решениями подозрительными на особые. Они будут особыми решениями если не получаются из (10) не при каких произв пост С. В этом случае их через запятую прибавляют к (10)

55. линейное дифференцированное уравнение 1-го порядка

Им является уравнение (11)

(11)

Которое содержит ф-ию и ее производную в первой степени и не содержит их производные

P(x) и g(x) – непрерывны

Если то уравнение (11) называется линейным неоднородным 1-го порядка, если то уравнение имеет вид и называется линейное однородное д.у. 1-го порядка

Для решения уравнения (11) сделаем подстановку y=uv где u(x) – независ ф-ия, а v(x) – некоторая ф-ия которую мы определим в дальнейшем.

- подставим производную в (11)

(13)

c=1

(14)