10. Основные понятия теории игр.

Игрой называется математическая модель конфликтной ситуации.Стороны, участвующие в конфликте называются участниками игры или игроками, а исход конфликта-выигрыш.В систему условий, регламентирующих возможные варианты действия сторон, объем информации каждой стороны о поведении другой, а также результат, к которому приводит данная совокупность действий составляет правила игры. Игра состоит из ходов. Причем под ходом понимается выбор одного из предусмотренных правилами игры действий. Ходы бывают личные и случайные. Решение, принятое игроком при личном ходе называется выбранным ходом. Случайным ходом называется выбор и осуществление одного из предписанных правилами игры действия, которое производится не самим игроком, а некоторым механизмом случайного выбора. Для каждого случайного хода аправила игры определяют распределение ероятностей возможных исходов. Возможное для игрока действие называют стратегией. Стратегия называется оптимальной, если она при многократном повторении игры обеспечивает игроку максимальную возможность среднего выигрыша. Заинтересованность игроков в ситуации проявляется в том, что каждому игроку I в каждой ситуации приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в этой ситуации. Это число называется выигрышом игрока I в ситуации и обозначается через H( ). Если число стратегий у каждого игрока конечно, то игра называется крнечной. Если у игрока А m-стратегии, а у игрока В n-стратегии, то игра называется игрой M×N. В общем виде постановка задачи теории игр производится следующим образом. Имеется некоторая операция,в которой участвуют 2 игрока А и В с противоположными интересами. Имеются правила, регламентирующие результаты, к которым приводят возможные варианты действий игроков. Результаты действий выражены в количественной форме и обозначены (математическое ожидание выигрыша игрока А, сделавшего свой i-ый ход при j-ом ходе игрока В. Тогда целью теории игр является выработка оптимальных для игроков стратегий, которые при многократном повторении игры обеспечивают максимально возможный выигрыш и минимально возможный средний проигрыш. Рассмотрим конечную игру m×n, в которой игрок А имеет m-стратегию (а1,а2, . . .аn), а игрок В n-стратегию(b1,b2, …bn). Если игроки используют только личные ходы, то выбор стратегии А и В однозначно определяет , т.е. число, характеризующее выигрыш игрока А при проигрыше игрока В. Причем может быть и положительным и отрицательным. Будем считать, что при ≥0 игрок аА выигрывает, а игрок В проигрывает величину .Если < 0, то выигрывает игрок В и проигрывает игрок А. В этом случае вместо проигрыша говорят об отрицательном выигрыше игрока А. Если в игре используют случайные ходы, то выигрыш при 2 стратегии ai и aj является случайным. В этом случае за оценку ожидания выирыша берется его мат.ожидание. Предположим, что нам известны все значения в игре m×n. Эти значения запишем в виде таблицы, называемой платежной матрицей. Строки матрицы соответствуют стратегии ai, а столбцы – стратегии aj.

Построение платежной матрицы не всегда просто, поскольку количество стратегий m,n могут оказаться очень большими. Однако любая конечная игра может быть приведена к матричному виду.

Игры с нулевой суммой относят к классу антогонистических игр.

Среди всех чисел ai выберем наибольшее: { }. Число а называется нижней ценой игры. Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В.

Среди всех чисел выберем наименьшее. Это гарантированный проигрыш игрока В.

Фактический выигрыш игрока А при разумных действиях партнеров ограничен нижней и верхней ценой игры. Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры называется ценой игры. В эом случае игра называется вполне определенной или игрой с Седловой точкой. Седловой точкой называется элемент платежной матрицы, одновременно мин в своей строке и макс в своем столбце. Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков Ai и Bj, их совокупность – это решение игры, которое обладает следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого отклонение от его оптимальной стратегии невыгодно. В этом случае говорят, что игра имеет решение в чистых стратегиях.