Вопрос 19. Модель в. Леонтьева. Межотраслевого баланса.

Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

Рассмотрим n отраслей, каждая из которых производит один агрегированный продукт. Объемы валовой продукции отраслей обозначим x1,x2,...,xn. Вся продукция xi i-ой отрасли (i = 1,2,...,n) делится на промежуточную zi и конечную yi. Промежуточная продукция расходуется в процессе производства, а конечная поступает в сферу конечного потребления.

Обозначим xij – объем продукции i-ой отрасли, используемой за отчетный период в процессе производства в j-ой отрасли.

Система балансовых уравнений имеет вид:

x1=z1+y1=x12+x13+...x1n+y1

x2=z2+y2=x21+x22+...x2n+y2 (1)

................................................

xn = zn+yn=xn1+xn2+...xnn+yn

Обозначим отношение xij/xj = aij. Параметры aij называются коэффициентами прямых затрат. Они показывают, какое количество продукции i – ой отрасли необходимо истратить на текущее производственное потребление в j-ой отрасли при выпуске ею единицы продукции.

Введем обозначения:

x1 y1 a11 a12 ... a1n

x = x2 ; y = y2 ; A = a21 a22 ... a2n

... ... .........................

xn yn an1 an2 ... ann

Систему балансовых уравнений (1) можно преобразовать и записать в матричной форме в виде:

X = AX + Y (2) или

X = (E-A)¯¹Y (3)

Здесь E – единичная матрица. Матрица C = (E-A)¯¹ называется матрицей коэффициентов полных затрат.

Баланс продукции на основе коэффициентов прямых затрат дает возможность определить объемы валовой продукции, которые бы обеспечили получение конечной продукции отраслей в заданных объемах.

Вопрос 20. Применение функций в экономике.

Функции находят широкое применение в экономической тео­рии и практике. Спектр исполь­зуемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получае­мых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие, как дробно - рациональные, степенные (квадратная, куби­ческая и т.д.), показательные (экспоненциальные), логарифмиче­ские и другие функции. Периодичность, колеблемость ряда эко­номических процессов позволяет также использовать тригоно­метрические функции.

Наиболее часто используются в экономике следующие функ­ции:

1. Функция полезности (функция предпочтений) - в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция - зависимость результата про­изводственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) - зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек (частный вид производственной функции) - зависимость издержек производства от объема продукции.

5. Функции спроса, потребления и предложения - зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Учитывая, что экономические явления и процессы обуслов­ливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций выделяются мультипликативные функции, позволяю­щие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающего его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторных перемен­ных на зависимую переменную, и в частности, аддитивные функ­ции, представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факто­ров, так и при одновременном их воздействии.

Если действием побочных факторов можно пренебречь или удается зафиксировать эти факторы на определенных уровнях, то влияние одного главного фактора изучается с помощью функции одной переменной. Приведем примеры:

1. Исследуя зависимости спроса на различные товары от дохода

y = b₁(x-a₁) (x> a₁) y = b₂(x-a₂) (x> a₂) y = b₃x(x-a₃) (x> a₃)

x-c₁ x-c₂ x-c₃

(функции Л.Торнквиста), мы можем установить уровни доходов a₁ – товары первой необходимости, a₂ - товары второй необходимости , a₃ – предметы роскоши при которых начинается приобретение тех или иных товаров и уровни (точки) насыщения b₁, b₂ для групп товаров первой и второй необходимости (рис. 5.22).

2. Рассматривая в одной системе координат кривые спроса и пред­ложения, можно установить равновесную (рыночную) цену данного товара в процессе формирования цен в условиях конкурентного рынка (паутинообразная модель) (рис. 5.23).

3. Изучая в теории потребительского спроса кривые безразличия (линии, вдоль которых полезность двух благ х и у одна и та же), напри­мер, задаваемые в виде ху = U, и линию бюджетного ограничения р_xx + р_yу = при ценах благ р_x и р_y и доходе потребителя I, мы можем уста­новить оптимальные количества благ х₀ и у₀, имеющих максимальную полезность U₀ (рис. 5.24).

4. Рассматривая функции издержек (полных затрат) с(q) и дохода фирмы r(q), мы можем ус­тановить зависимость прибыли п(q) = с(q) - r(q) от объема производства q (рис. 5.25) и вы­явить уровни объема производства, при которых производство продук­ции убыточно (0<q<q₂) и приносит прибыль (q₂<q<q₄), дает мак­симальный убыток {q=q₁) и максимальную прибыль (q=q₃) и найти размеры этих убытков или прибыли.

Очевидно, что перечень подобных примеров применения функций в экономической тео­рии и практике можно было бы продолжить.

11