6.16. Построение логических схем по логическим функциям.

логические законы и правила преобразования логических выражений

1. Закон двойного отрицания:

А = .

Двойное отрицание исключает отрицание.

2. Переместительный (коммутативный) закон:

— для логического сложения:

A V B = B V A

— для логического умножения:

A&B = B&A.

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

В обычной алгебре 2 + 3 = 3 + 2, 2 ´ 3 = 3 ´ 2.

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:

— для логического сложения:

(A Ú B) Ú C = A Ú (BÚ C);

— для логического умножения:

(A&B)&C = A&(B&C).

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

В обычной алгебре: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 2 + 3 + 4, 5 ´ (6 ´ 7) = 5 ´ (6 ´ 7) = 5 ´ 6 ´ 7.

4. Распределительный (дистрибутивный) закон:

— для логического сложения:

(A Ú B)&C = (A&C) Ú (B&C);

— для логического умножения:

(A&B) Ú C = (A Ú C)&(B Ú C).

Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

В обычной алгебре: (2 + 3) ´ 4 = 2 ´ 4 + 3 ´4.

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):

— для логического сложения

= &

— для логического умножения:

= Ú

6. Закон идемпотентности

— для логического сложения:

A Ú A = A;

— для логического умножения:

A&A = A.

Закон означает отсутствие показателей степени.

7. Законы исключения констант:

— для логического сложения:

A Ú 1 = 1, A Ú 0 = A;

— для логического умножения:

A&1 = A, A&0 = 0.

8. Закон противоречия:

A& = 0.

Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

9. Закон исключения третьего:

A Ú = 1.

10. Закон поглощения:

— для логического сложения:

A Ú (A&B) = A;

— для логического умножения:

A&(A Ú B) = A.

11. Закон исключения (склеивания):

— для логического сложения:

(A&B) Ú ( &B) = B;

— для логического умножения:

(A Ú B)&( Ú B) = B.

12. Закон контрапозиции (правило перевертывания):

(A Û B) = (BÛ A).

┐(А→В) = А&┐В

┐А&(АÚВ)= ┐А&В

АÚ┐А&В=АÚВ

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных.

6.17.Полусумматор двоичных чисел, его предназначение и логическая схема.

базовые логические элементы компьютера

Логические элементы – это электронные схемы с одним или несколькими входами и одним выходом, через которые проходят электрические сигналы, представляющие цифры 0 и 1.

Полусумматор двоичных чисел - логическая схема имеющая два входа и два выхода. используется для построения двоичных сумматоров. Позволяет вычислять сумму A+B, где A и B — это разряды двоичного числа, при этом результатом будут два бита S,C, где S — это бит суммы, а C — бит переноса.

Простейшим логическим элементом является элемент НЕ (инвертор). Этот элемент имеет один вход и один выход.

Функция Логика

(инверсия)

x	z
0	1
1	0

z=не(x)

z=

Работа этого элемента состоит в том, что если на его вход Х поступает сигнал 0, то на выходе Z появится сигнал 1, а если на входе 1, то на выходе 0.

Логика работы элемента НЕ (инвертора) заключается в формировании сигнала-отрицания Z, значение которого противоположно значению входного сигнала Х.

Второй основной элемент реализует логическую функцию И. Это элемент И или конъюнктор.

Функция Логика

x	y	z
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

(конъюнкция)

Z=XиY

Z=X&Y

Z=XΛY

Z=X·Y

Логика элемента И (конъюнктора) заключается в том, что на его выходе Z сигнал 1 будет сформирован тогда и только тогда, когда сигнал 1 будет и на первом, и на втором входе. Если хотя бы на одном из входов будет 0, то и на выходе также будет 0.

Третий логический элемент реализует логическую функцию ИЛИ, которая соответствует объединяющему союзу или. Это элемент ИЛИ (дизъюнктор).

Функция Логика

x	y	z
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

(дизъюнкция)

Z=XилиY

Z=X+Y

Z=X Y

Работа элемента ИЛИ предполагает, что сигнал 1 на выходе будет получен, если сигнал 1 поступает хотя бы на один вход: либо на Х, либо на Y, либо и на Х и на Y одновременно. Сигнал 0 на выходе элемента ИЛИ появляется только в том случае, если сигнал 1 не поступил ни на один вход.

Процесс построения функциональных схем для разработки устройств ПК можно описать следующим образом:

На основании анализа функции, которую реализует устройство, составляется таблица истинности.

По этой таблице находят логическую функцию.

а) в заданной таблице выбираются наборы переменных, при которых значение функции равно 1.

б) для каждого такого набора записываются конъюнкции всех входных переменных, имеющих значение 1. При этом те переменные, которые имеют значение 0, записываются с отрицанием.

в) все полученные конъюнкции объединяются знаками дизъюнкции. Это и будет искомая логическая функция, которую предстоит далее упростить.

3. Производится упрощение логической функции.

4. По упрощённой логической функции строится функциональная логическая схема устройства.

Рассмотрим пример построения функциональной схемы. Имеем таблицу истинности

X	Y	Z
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Находим логическую функцию:

а) выбираем наборы переменных, при которых значение функции равно 1.

В нашем случае их 3.

б) записываем конъюнкции всех входных переменных, имеющих значение 1, те переменные, которые имеют значение 0, записываем с отрицанием.

Получаем 3 конъюнкции: и , и Y, X и

в) полученные конъюнкции объединяем знаками дизъюнкции. Имеем:

Z = ( и ) или ( и Y) или (X и ).

Соответствующая этому описанию логическая схема из элементов И, ИЛИ, НЕ будет иметь вид: