1.5 Умови однозначності

Для розв’язку конкретної задачі теплопровідності середовища необхідно додати крайові умови, які б визначали розглядаючий процес. Таким чином, повний математичний опис тієї чи іншої задачі теплопроводності повинен містити в собі не тільки рівняння теплопроводності, але й особливості, що виступають у вигляді геометричних та фізичних характеристик, а також крайових умов, які іменуються умовами однозначності і включають:

а) геометричні умови, що характеризують розмір та форму тіла;

б) фізичні умови, які визначають теплофізичні властивості та розподіл внутрішніх джерел тепла;

в) початкові умови (тільки для нестаціонарних задач), які задають поле температур в початковий момент часу (τ=0). Загальний вигляд початкової умови можна записати як

, .

В найпростішому і доволі розповсюдженому випадку

,

г) граничні умови. Вони можуть задаватися різними способами:

– граничні умови 1-го роду – задається розподілом температури на границях системи, яку ми розглядаємо , де x,y,z – координати точок, які належать поверхні тіла. В найпростішому випадку температура на поверхні може підтримуватись постійною, тобто ;

– граничні умови 2-го роду означають, що задано розподіл теплового потоку на границях системи . В найпростішому випадку . На підставі закону Фурьє можно записати

,

де n – напрямок нормалі до границі. Таким чином, при λ = const можно стверджувати, що граничні умови 2-го роду задають поле похідних від температури на поверхні, тобто

;

– граничні умови 3-го роду припускають, що умови теплообміну на поверхні задано. При цьому виходять з природнього припущення, що теплові потоки, які підходять зсередини тіла до границі і ті, що знімаються з поверхні, дорівнюються один одному (рис. 1.5), тобто .

Для системи, яку ми розглядаємо

.

Що ж стосується теплового потоку, який знімається з поверхні, то він обчислюється залежно від конкретних умов теплообміну. Якщо тепло, наприклад, відводиться рідиною або газом, то

. (1.12)

Р

Рис. 1.5 До визначення граничних умов 3-го роду

Рис. 1.6 Температурне та теплове зрощення у випадку ідеального (а) та неідеального контакту

івняння (1.12) – це математичний вираз закону Ньютона – Ріхмана і встановлює зв΄язок між щільністю теплового потоку, який знімають або підводять до поверхні теплообміну, і різницею температур між цією поверхнею і рідиною (газом). Коефіцієнт пропорційності α носить назву коефіцієнта теплопередачі. При аналізі задач теплопроводності величина α вважається відомою і входить в умови однозначності. Таким чином, граничні умови 3-го роду при наявності конвективного теплообміну на поверхні твердого тілу приймає вигляд

або

– граничні умови 4-го роду. Вірогідний і такий випадок, коли розглядаюче тіло граничить з іншим тілом або з об΄ємом рідини (газу), яка знаходиться в стані спокою. У випадку ідеального теплового контакту граничничні умови приймають вигляд:

або

При цьому одночасно виконується рівність температур середовищ, що наведенні в доторканні в місці контакту Т₁ = Т₂ ( рис.1.6). На практиці часто приходиться мати справу з неідеальним тепловим контактом ( наприклад, в механічних з΄єднань). При передачі тепла на такій границі з’являється перепад температури, що визначається контактним термічним опором.