2.7. Прямые гиперплоскости и полупространства
в пространстве
В этом параграфе рассматриваются наиболее важные для приложений множества: прямые, гиперплоскости и полупространства.
1. Прямые в пространстве
Прямой
в
пространстве
называется
аффинное
множество, размерность которого равна
единице.
Ненулевой вектор , параллельный прямой , называется ее направляющим вектором. Направляющий вектор прямой принадлежит подпространству . Это подпространство одномерно и направляющий вектор является его базисом. Отсюда следует, что каждые два направляющих вектора прямой пропорциональны.
□Теорема 2.17. Справедливы следующие утверждения.
1) Уравнение
является уравнением прямой тогда и только тогда, когда прямая проходит через точку параллельно ненулевому вектору .
2) Система уравнений
является
уравнением прямой тогда и только тогда,
когда прямая проходит через точку
перпендикулярно линейно независимым
векторам
.
Доказательство
следует
из теорем 2.15
и
2.16, в формулировке которых
.■
□Следствие.
Множество
решений
уравнения
,
является прямой, проходящей через точку
параллельно вектору
.
Доказательство.
Из условия следствия вытекает
,
а из теоремы 2.13 следует
,
и, значит,
прямая. Теперь утверждение следствия
вытекает из необходимости теоремы
2.17.■
Через каждые две точки в пространствах и можно провести только одну прямую. Этот утверждение справедливо и в пространстве .
□ Теорема
2.18.
Пусть
и
различные точки пространства
.
Тогда совокупность
всех таких точек
пространства
,
для которых
является единственной прямой в
пространстве
,
проходящей через точки
и
.
Доказательство. Из условия теоремы следует:
т.е.
прямая,
проходящая через точку
параллельно вектору
и
Рассмотрим
произвольную прямую
в пространстве
,
проходящую через точки
и
,
т.е.
.
Тогда
и
так как размерность
равна 1, то
.
Итак, множества и имеют общую точку и их направляющие подпространства совпадают. Из теоремы 2.9 вытекает совпадение множеств и .■
Множество
точек
называется
отрезком
в
пространстве
.
Отрезок
содержит точки
и
:
точку
получаем, при значении
,
а точку
– при значении
.
Точки
и
называются концами отрезка
.
Точка
,
принадлежащая отрезку и не совпадающая
с его концами, называется внутренней
точкой этого отрезка. Очевидно, что
отрезок
является подмножеством прямой, проходящей
через точки
и
.
В пространстве прямая и плоскость либо не имеют общих точек, либо имеют одну общую точку, либо все точки прямой принадлежат плоскости. Обобщением этого утверждения является нижеследующая теорема.
□ Теорема 2.19. Прямая и аффинное множество в пространстве либо не имеют общих точек, либо имеют одну общую точку, либо все точки прямой принадлежат аффинному множеству.
Доказательство. Зададим прямую параметрическим уравнением , а аффинное множество – системой линейных уравнений . Общие точки прямой и аффинного множества являются решениями системы
Эта система уравнений имеет столько решений, сколько их имеет уравнение
или уравнение
.
(7)
Возможны
два случая: 1)
и 2)
.
В
первом случае уравнение (7) имеет
единственное решение, если векторы
и
пропорциональны, и не имеет решения в
противном случае.
Во
втором случае уравнение (7) не имеет
решений, если
.
Если же
,
то уравнение (7) имеет решение при любом
значении
Итак, уравнение (7) или не имеет ни одного решения, или имеет одно решение, или имеет решение при любом значении . Отсюда следует утверждение теоремы.■
Примеры
1.
Даны координаты точек:
Выяснить, пересекаются ли отрезки
и
Решение.
Напишем уравнения отрезков
и
:
Эти отрезки имеют общую точку тогда и только тогда, когда имеет решение система уравнений:
(8)
Так как координаты векторов
то уравнение системы (8) в координатной форме имеет вид:
Решением
этой системы уравнений являются числа:
Так
как значение
не принадлежит
,
то отрезки
и
не пересекаются.
2. Аффинное множество задано системой линейных уравнений
Написать уравнение прямой, не имеющей общих точек с множеством
Решение.
Как
следует
из
теоремы 2.19, прямая
не имеет общих точек с аффинным множеством
если, во-первых,
т.е. вектор
является решением уравнения
,
и, во-вторых,
т.е.
точка
не является решением уравнения
.
Вектор
решение
уравнения
а точка
не является решением уравнения
.
Следовательно, прямая
или
не имеет общих точек с множеством ●
Задачи
Доказать, что две пересекающиеся прямые в пространстве содержатся в двумерном аффинном множестве.
Доказать, что две прямые в пространстве , направляющие векторы которых пропорциональны, содержатся в двумерном аффинном множестве.
Доказать, что наименьшее аффинное множество, содержащее две прямые, которые не пересекаются и направляющие векторы которых не пропорциональны, имеет размерность больше двух.
Прямая и аффинное множество имеют две общие точки. Будет ли прямая принадлежать аффинному множеству?
Доказать, что множество в пространстве будет аффинным, если оно содержит каждую прямую, проходящую через две различные точки из множества .
Даны параметрические уравнения прямых:
Построить аффинное множество наименьшей размерности, содержащее эти прямые.
Задать две прямые, которые не содержатся в двумерном аффинном множестве.
Прямая и аффинное множество имеют общую точку. Направляющий вектор прямой принадлежит подпространству L
.
Доказать,
что прямая содержится в аффинном
множестве
9. Прямая содержит точку, которая не принадлежит аффинному множеству . Будет ли прямая иметь общие точки с аффинным множеством, если направляющий вектор прямой не принадлежит направляющему подпространству L ?
10. Найти параметрическое уравнение прямой, принадлежащей аффинному множеству, заданному уравнением
