- •Глава II. Аффинные множества
- •2.2. Аффинные множества
- •2.3. Задание аффинных множеств
- •1. Задание аффинного множества системой линейных уравнений
- •3. Задание аффинного множества
- •2.4. Направляющее подпространство
- •□ Теорема 2.7. Если – аффинное множество в пространстве , то множество является подпространством пространства .
- •1. Направляющее подпространство множества
- •2. Направляющее подпространство аффинной оболочки
- •3. Направляющее подпространство
- •2.5. Размерность аффинного множества
- •2.6. Уравнения аффинного множества
- •1. Уравнение фигуры
- •2. Параметрическое уравнение аффинного множества
- •2. Общее уравнение аффинного множества в пространстве
- •2.7. Прямые гиперплоскости и полупространства
- •1. Прямые в пространстве
- •2. Гиперплоскости в пространстве
- •3. Полупространства пространства
- •2.8.Прямые, плоскости и полупространства в
- •2. Общее уравнение прямой в пространствах и
- •3. Полупространства в пространствах и
2.3. Задание аффинных множеств
1. Задание аффинного множества системой линейных уравнений
Точка пространства называется решением системы уравнений , если .
□Теорема 2.4. Все решения совместной системы уравнений образуют в пространстве аффинное множество.
Доказательство. Обозначим через множество решений данной системы уравнений и пусть и – произвольные точки из этого множества, т.е.
.
Рассмотрим точку для которой
,
и покажем, что . Имеем:
.
Итак, и, значит, . Теперь из определения аффинного множества следует, что – аффинное множество. ■
2. Задание аффинного множества системой точек
Аффинной оболочкой точек называется множество всех таких точек пространства для которых вектор принадлежит подпространству Аффинную оболочку точек будем обозначать символом и тогда
◊Замечание. Точки принадлежат аффинной оболочке
Так как и вектор , то точка принадлежит аффинной оболочке . Из разложения
вытекает, что и, значит, точка ♦
□Теорема 2.5. Аффинная оболочка точек является аффинным множеством.
Доказательство. Пусть и – произвольные точки из множества . Докажем, что множеству принадлежат все такие точки пространства , для которых Имеем
(2)
Так как точки и принадлежат , то из определения аффинной оболочки следует
Теперь из равенства (2) и теоремы 1.2 следует
■
3. Задание аффинного множества
точкой и системой векторов
Пусть точка и векторы пространства . Обозначим через множество точек пространства , которые являются решениями уравнения
где произвольные числа.
◊ Замечание. Точка является решением этого уравнения, если можно подобрать такие числа что выполняется векторное равенство .
Так как равенство
справедливо, то точка принадлежит множеству .♦
□Теорема 2.6. Множество точек пространства является аффинным множеством.
Доказательство. Рассмотрим две произвольные точки и из множества . Из определения этого множества следует, что
Покажем, что каждая точка пространства , для которой , принадлежит множеству . Это утверждение вытекает из следующей цепочки импликаций:
.
Теперь из определения аффинного множества вытекает, что – аффинное множество. ■
Задачи
1.Выяснить, принадлежат ли точки аффинной оболочке точек ?
2.Доказать, что аффинная оболочка содержит бесконечно много точек..
3.Доказать, что в пространстве аффинная оболочка двух различных точек и совпадает с прямой, проходящей через эти точки.
4.Доказать, что в пространстве аффинная оболочка трёх точек , не лежащих на одной прямой, совпадает с плоскостью, проходящей через эти точки.
5.Точки являются частью системы точек . Доказать, что .
6.Точки , и принадлежат пространству . Доказать, что тогда и только тогда, когда .
7.Доказать, что тогда и только тогда, когда .
8.Доказать, что если точки принадлежат аффинной оболочке , то .
9. Доказать, что аффинная оболочка тогда и только тогда, когда , .
10.Выяснить, содержатся ли аффинные оболочки и в аффинной оболочке , где
11.Даны точки из пространства . Доказать, что .
12.Доказать, что .
13. Доказать, что , где точка .
14.Дано: , , . Принадлежат ли точки и множеству
15.Какую фигуру в пространствах или образуют точки аффинного множества
16. Какую фигуру в пространстве образуют точки аффинного множества ненулевые векторы