- •Глава II. Аффинные множества
- •2.2. Аффинные множества
- •2.3. Задание аффинных множеств
- •1. Задание аффинного множества системой линейных уравнений
- •3. Задание аффинного множества
- •2.4. Направляющее подпространство
- •□ Теорема 2.7. Если – аффинное множество в пространстве , то множество является подпространством пространства .
- •1. Направляющее подпространство множества
- •2. Направляющее подпространство аффинной оболочки
- •3. Направляющее подпространство
- •2.5. Размерность аффинного множества
- •2.6. Уравнения аффинного множества
- •1. Уравнение фигуры
- •2. Параметрическое уравнение аффинного множества
- •2. Общее уравнение аффинного множества в пространстве
- •2.7. Прямые гиперплоскости и полупространства
- •1. Прямые в пространстве
- •2. Гиперплоскости в пространстве
- •3. Полупространства пространства
- •2.8.Прямые, плоскости и полупространства в
- •2. Общее уравнение прямой в пространствах и
- •3. Полупространства в пространствах и
2. Общее уравнение аффинного множества в пространстве
□Теорема 2.16. Дано аффинное множество размерности . Тогда справедливо следующее утверждение. Система уравнений
(5)
является уравнением аффинного множества тогда и только тогда, когда множество проходит через точку перпендикулярно линейно независимым векторам .
Необходимость. Дано, что система уравнений (5) уравнение аффинного множества , т.е. множество является множеством решений системы (5).
Так как после подстановки точки в систему (5) вместо вектора получим верные числовые равенства, то точка решение системы уравнений (5) и, значит, .
Докажем, что векторы линейно независимые и перпендикулярны аффинному множеству . Направляющее подпространство задается системой уравнений (теорема 2.10)
Теперь из теоремы 1.24 вытекает, что подпространство . По условию, . Следовательно, (теорема 1.23). Отсюда векторы образуют базис подпространства (теорема 1.8) и, значит, линейно независимы и перпендикулярны аффинному множеству .
Достаточность. Дано, аффинное множество проходит через точку перпендикулярно линейно независимым векторам . Надо доказать, что множество решений системы уравнений (5). Обозначим множество решений системы уравнений (5) и докажем, что . Для этого установим, что общая точка множеств и , и направляющие подпространства этих аффинных множеств совпадают.
Точка является решением системы уравнений (5) и, значит, . Векторы перпендикулярны множеству , а поэтому принадлежат подпространству . Так как
и векторы линейно независимы, то система векторов образует базис подпространства (теорема 1.8) и, значит, . Теперь из теорем 1.22 и 1.23 следует
Далее, из теоремы 2.10 вытекает
Итак, направляющие подпространства аффинных множеств и совпадают. Из теоремы 2.14 вытекает совпадение множеств и .■
Система уравнений (5), где линейно независимые векторы, называется общим уравнением аффинного множества размерности .
◊Замечание. В общем уравнении аффинного множества размерности линейно независимые векторы образуют базис подпространства .
Действительно, так как , то из теоремы 1.8 следует, что базис подпространства .♦
Приведем алгоритм построения общего решения аффинного множества .
1.Задать аффинное множество .
2.Найти точку и базис подпространства .
3.Написать общее уравнение аффинного множества :
Пример
Аффинное множество задано параметрическим уравнением:
Напишите общее уравнение множества .
Решение. Чтобы написать общее уравнение множества достаточно знать координаты точки, принадлежащей , и базис подпространства . Запишем параметрическое уравнение в векторной форме
,
где точка принадлежит и векторы , базис направляющего подпространства . Следовательно, подпространство задается системой уравнений
Векторы
, ,
образуют фундаментальный набор решений однородной системы уравнений, т.е. образуют базис подпространства . Теперь система уравнений
(6)
является общим уравнением множества . Так как
, ,
то система уравнений (6) в координатной форме имеет вид
●
Задачи
1. Если уравнение аффинного множество , то общим уравнением этого множества является общее решение системы линейных уравнений полученное методом Гаусса.
2. Напишите общее уравнение аффинного множества , которое содержит точку (1,2,−1,−2.1) и направляющее подпространство которого совпадает с множеством решений системы уравнений
3.Дано аффинное множество , где
(2,1,2,1), =(1,1,−1,1) , =(2,1,−1,3), =(0,−1,1,1).
Напишите общее уравнение множества .
4. Аффинное множество задано системой уравнений
.
Напишите общее уравнение аффинного множества , которое содержит множество , имеет размерность четыре и
а) содержит точку (2,-5,3,1,4);
б) вектор параллелен множеству .