2.4. Направляющее подпространство

Пусть – подмножество точек пространства Вектор называется параллельным множеству , если найдется такая пара точек из множества , что . Из этого определения следует, что вектор , где и – точки из множества , параллелен . Множество всех векторов пространства , которые параллельны множеству , обозначим символом .

□ Лемма (о параллельном векторе).

Если вектор , параллельный аффинному множеству , отложить от некоторой точки C множества : , то конец D этого вектора также принадлежит , т.е.

, , C D

Доказательство. Так как вектор параллелен множеству , то найдутся такие точки М, N из множества , что . Теперь имеем

.

Из леммы §2.2 следует, что точка принадлежит множеству . ■

Следствие. Если точка принадлежит аффинному множеству , то справедливы следующие утверждения:

1) вектор , ;

2) точка

Доказательство.

1) Необходимость. Дано, что вектор . Отложим его от точки множества : . Из леммы о параллельном векторе следует N .

Достаточность. Вектор , . Так как точка принадлежит множеству , то, вектор параллелен множеству т.е. .

2) Необходимость. Из условия следует, что оба конца вектора принадлежат множеству , а поэтому

Достаточность. Дано, что вектор , т.е. вектор параллелен множеству и отложен от точки этого множества. Из леммы о параллельном векторе следует ■

□ Теорема 2.7. Если – аффинное множество в пространстве , то множество является подпространством пространства .

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно установить справедливость следующих двух утверждений:

1. если , то ;

2. если , то при любом .

1) Рассмотрим два произвольных вектора из множества . Отложим их от некоторой точки : . Из леммы о параллельном векторе следует, что точки и принадлежат множеству . Отложим вектор от той же точки М, и пусть . Покажем, что точка принадлежит множеству . Из равенств и следует

= − = + − .

Теперь из леммы §2.2 вытекает, что точка принадлежит аффинному множеству . Итак, и точки и принадлежат аффинному множеству . Следовательно, вектор параллелен множеству и, значит, принадлежит .

2) Рассмотрим произвольный вектор из множества . Отложим его от некоторой точки : . Из леммы о параллельном векторе следует, что . Вектор также отложим от точки и докажем, что точка принадлежит множеству . Так как и , то имеем

− = k −k = (1−k) + k .

Из определения аффинного множества вытекает, что точка принадлежит . Таким образом, и точки . Следовательно, вектор параллелен множеству и, значит, принадлежит .

Из утверждений 1) и 2) следует, что множество − подпространство. ■

Подпространство называется направляющим подпространством аффинного множества .

Вектор называется перпендикулярным аффинному множеству , если для каждых двух точек множества выполняется условие: Эту ситуацию будем обозначать символом . Множество всех векторов перпендикулярных аффинному множеству обозначим .

◊ Лемма. Множество всех векторов пространства перпендикулярных аффинному множеству совпадает с подпространством

Доказательство вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:

.♦

Подпространство называется нормальным подпространством аффинного множества .

Направляющее подпространство играет значительную роль при изучении аффинных множеств. В нижеследующих теоремах на языке направляющих подпространств решается вопрос о том, когда одно аффинное множество содержится в другом и когда они совпадают.

□Теорема 2.8. Если точки принадлежат аффинному множеству , то аффинная оболочка содержится во множестве .

Доказательство. Используя определение аффинной оболочки, теоремы 2.7, 1.2 и 2-е утверждение леммы о параллельном векторе, имеем следующую цепочку импликаций

■

□ Теорема 2.9. Если аффинные множества и имеют общую точку М , то справедливы следующие утверждения:

1) ;

2) = .

Доказательство.

1. Необходимость. Если вектор , то найдутся принадлежащие множеству такие точки и , что . Из условия следует . Следовательно, вектор параллелен множеству и, значит, . Этим установлено, что .

Достаточность. Докажем, что . Пусть точка М . По условию точка и, значит, вектор . Отсюда и из условия следует . Применяя лемму о параллельном векторе, получаем и, значит,

2. Доказательство этого утверждения использует первое утверждение теоремы 2.5 и вытекает из следующей цепочки импликаций:

= , , ■

○ Примеры

1) Направляющим подпространством прямой в пространстве или в пространстве является одномерное векторное подпространство , где − ненулевой вектор, параллельный прямой.

Решение. Совпадение подпространств и вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:

вектор параллелен прямой и

коллинеарные векторы

2) Направляющим подпространством плоскости в пространстве является двумерное подпространство , где пара неколлинеарных векторов, параллельных плоскости.

Решение. Рассмотрим следующую цепочку равносильных утверждений:

вектор параллелен плоскости концы векторов

отложенных от точки плоскости , принадлежат

плоскости

Отсюда вытекает, что ●