- •Глава I. Векторные пространства
- •1.1. Линейная оболочка системы векторов
- •1.2. Подпространства
- •1.3. Базисы подпространств
- •Базисы пространства
- •Базисы линейной оболочки
- •Базисы подпространства решений однородной системы линейных уравнений
- •Доказать, что множество всех n-мерных векторов, у которых сумма четных координат равна сумме нечетных, образует подпространство; найти базис этого подпространства.
- •Размерность подпространства
- •1.5. Представление подпространств
- •1.6. Действия над подпространствами Пересечение подпространств
- •Сумма подпространств
- •1.7. Ортогональное дополнение
- •1.8. Ортогональные и ортонормированные базисы подпространств
1.8. Ортогональные и ортонормированные базисы подпространств
Базис подпространства называется ортогональным, если – ортогональная система векторов.
Диагональная система векторов образует, очевидно, ортогональный базис пространства . Покажем, что каждое подпространство пространства обладает ортогональным базисом. Предварительно докажем следующую теорему.
□ Теорема 1.25. Каждую ортогональную систему ненулевых векторов из подпространства L можно дополнить до ортогонального базиса L.
Доказательство. Пусть . Из свойства ортогональных систем векторов следует, что система векторов линейно независимая и, значит, ее можно дополнить до базиса
(33)
подпространства L (теорема 1.4). Подвергнем систему векторов (33) процессу ортогонализации. После этого получим ортогональную систему ненулевых векторов
(34)
содержащую в качестве части данную систему векторов ,…, . Из эквивалентности систем векторов (33) и (34) вытекает, что каждый вектор из подпространства разлагается по системе векторов (34). Линейная независимость системы векторов (34) следует из ее ортогональности. Этим установлено, что система векторов (34) является ортогональным базисом подпространства . ■
Следствие. Каждое ненулевое подпространство обладает ортогональным базисом.
Доказательство. Пусть вектор и . Тогда − ортогональная система, которую можно дополнить до ортогонального базиса подпространства .
Базис подпространства называется ортонормированным, если является ортонормированной системой векторов. Связь между ортогональными и ортонормированными базисами устанавливается в следующей теореме.
□ Теорема 1.26. Справедливы следующие утверждения:
1. Если система векторов
−
ортогональный базис подпространства , то
− (35)
ортонормированный базис подпространства .
2. Каждую ортонормированную систему векторов из подпрост-ранства можно дополнить до ортонормированного базиса этого подпространства.
Доказательство
1. Так как − базис подпространства L, то , . Теперь из ортогональности системы следует
т. е. система (35) – ортонормированная система векторов и, значит, линейно независимая. Отсюда и из теоремы 1.8 вытекает, что система векторов (35) – базис подпространства L.
2. Пусть дана ортонормированная система векторов из подпространства L
,…, . (36)
Она является ортогональной системой ненулевых векторов. Следовательно, ее можно дополнить до ортогонального базиса подпространства L (теорема 1.25)
,…, , ,…, . (37)
Умножим каждый вектор системы (37) на величину, обратную его длине. Получим ортонормированный базис подпространства L (первое утверждение теоремы 1.26)
,…, ,…, . (38)
Ортонормированный базис (38) содержит в качестве части данную систему векторов (36). ■
Задачи
1. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис линейной оболочки данной системы векторов:
а) (1, 1, 1), (2, 1, 0);
б) (1, –1, 1, –1), (3, 0, –1, 1), (1, 0, 1, 1).
2. Установить, что следующие системы векторов ортогональны, и дополнить их до ортогонального базиса пространства :
а) (2, –1, 1, 0), (1, 1, –1, 1);
б) (–1, 0, 2, 1), (1, 1, 1, –1).
3. Дополнить следующие системы векторов до ортонормированных базисов пространства :
а) , ;
б)
4. Пусть ортогональный базис пространства . Доказать, что ортогональным дополнением линейной оболочки системы векторов является линейная оболочка системы .
5. Доказать, что – ортогональный базис пространства , если и − ортогональные базисы соответственно подпространств и .
6. Доказать, что дополнением ортогональной системы до ортогонального базиса пространства является ортогональный базис подпространства
7. Найти ортогональный базис подпространства , если подпространство задано системой уравнений
8. Найти ортонормированный базис подпространства , если подпространство задано системой уравнений