- •Глава I. Векторные пространства
- •1.1. Линейная оболочка системы векторов
- •1.2. Подпространства
- •1.3. Базисы подпространств
- •Базисы пространства
- •Базисы линейной оболочки
- •Базисы подпространства решений однородной системы линейных уравнений
- •Доказать, что множество всех n-мерных векторов, у которых сумма четных координат равна сумме нечетных, образует подпространство; найти базис этого подпространства.
- •Размерность подпространства
- •1.5. Представление подпространств
- •1.6. Действия над подпространствами Пересечение подпространств
- •Сумма подпространств
- •1.7. Ортогональное дополнение
- •1.8. Ортогональные и ортонормированные базисы подпространств
Размерность подпространства
Все базисы подпространства L состоят из одного и того же числа векторов. Действительно, пусть и – два базиса подпространства L. Тогда каждая из этих систем векторов является базисом системы векторов . Теперь из теоремы 2.15 [1] следует, что
Размерностью подпространства называется число векторов в любом его базисе. Если размерность подпространства L равна k, то будем писать: dim L=k.
Примеры
1. Из теоремы 1.5 вытекает, что .
2. , так как левая и правая части равны количеству векторов в базисе системы (теорема 1.6).
3. Из теоремы 1.7 следует, что размерность подпространства решений однородной системы уравнений равна где n – число неизвестных в системе уравнений, – ранг матрицы А.
□ Теорема 1.8. Дано подпространство L, размерность которого равна k, и система векторов из L, содержащая столько векторов, какова размерность L. Тогда следующие утверждения равносильны:
1) базис подпространства L;
2) каждый вектор подпространства L разлагается по системе векторов ;
3) система векторов линейно независимая.
Доказательство
1) 2). Вытекает из определения базиса подпространства.
2) 3). Доказательство от противного. Предположим, что система векторов линейно зависима и − базис этой системы. Тогда . Из условия 2 утверждения 5 §1 [1] следует, что каждый вектор из L разлагается по векторам и, значит, − базис подпространства L. Следовательно, , что противоречит условию теоремы.
3) 1). Доказательство от противного. Если линейно независимая система векторов не является базисом L, то ее можно дополнить до базиса подпространства L (теорема 1.3). Следовательно, что противоречит условию теоремы. ■
Пример
Выяснить, образуют ли векторы , базис подпространства решений системы линейных уравнений
Решение. Прежде всего надо проверить, что векторы и являются решениями системы уравнений. После подстановки координат векторов в систему вместо неизвестных получим верные числовые равенства. Координаты векторов и не пропорциональны и, значит, они образуют линейно независимую систему. Размерность подпространства равна , где основная матрица системы уравнений, число неизвестных в системе уравнений. Ранг матрицы равен двум, , а поэтому . Теперь из теоремы 1.8 следует, что векторы будут базисом подпространства .
Весьма часто необходимо знать, когда два подпространства, из которых одно содержится в другом, совпадают.
□ Теорема 1.9. Пусть и подпространства пространства и . Тогда справедливы следующие утверждения:
1. .
2. = = .
Доказательство
1. Пусть − базис подпространства и, значит, линейно независимая система векторов. Из условия вытекает, что векторы принадлежат подпространству , а, следовательно, линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса . Отсюда следует, что dim L ≤ dim L .
2. Необходимость. Пусть dim L = dim L = k и − базис подпространства . Из условия следует, что линейно независимые векторы принадлежат , и система содержит столько векторов, какова размерность подпространства . Из теоремы 1.8 вытекает, что система векторов − базис . Итак, и обладают общим базисом и, значит, (следствие из теоремы 1.2).
Достаточность. Если , то они имеют общий базис и dim L dim L . ■
Следствие. Если − подпространство пространства , то справедливы следующие утверждения:
1. ;
2. .
Доказательство
Заметим, что и n dim . Теперь следствие есть частный случай теоремы, когда и .
Задачи
1. Подпространство имеет размерность . Доказать, что ранг системы векторов , принадлежащих подпространству , не больше .
2. Доказать, что подпространство является линейной оболочкой системы векторов из подпространства тогда и только тогда, когда размерность равна рангу системы векторов .
3. Подпространство имеет размерность и является линейной оболочкой системы векторов . Доказать, что − базис подпространства .
4. Подпространство содержится в подпространстве и линейно независимые векторы из подпространства . Доказать, что , если размерность равна .
5. Сформулировать алгоритм, позволяющий установить совпадение двух подпространств и в следующих случаях:
а) и − линейные оболочки системы векторов;
б) и − подпространства решений однородной системы линейных уравнений;
в) ; .
6. Выяснить, совпадет ли пространство с линейной оболочкой :
а) ;
б) .
7. Выяснить, совпадают ли подпространства и пространства , где задано системой уравнений
а − линейная оболочка системы векторов .
8. Система векторов эквивалентна базису подпространства . Доказать, что базис подпространства .