- •Глава I. Векторные пространства
- •1.1. Линейная оболочка системы векторов
- •1.2. Подпространства
- •1.3. Базисы подпространств
- •Базисы пространства
- •Базисы линейной оболочки
- •Базисы подпространства решений однородной системы линейных уравнений
- •Доказать, что множество всех n-мерных векторов, у которых сумма четных координат равна сумме нечетных, образует подпространство; найти базис этого подпространства.
- •Размерность подпространства
- •1.5. Представление подпространств
- •1.6. Действия над подпространствами Пересечение подпространств
- •Сумма подпространств
- •1.7. Ортогональное дополнение
- •1.8. Ортогональные и ортонормированные базисы подпространств
1.6. Действия над подпространствами Пересечение подпространств
Пусть даны подпространства и векторного пространства . Совокупность всех векторов пространства , которые принадлежат и , и , называется пересечением подпространств и , т. е.
.
□ Теорема 1.13. Пересечение подпространств и пространства является подпространством.
Доказательство. Пусть и – произвольные векторы из множества . Из определения пересечения подпространств вытекает, что и . Отсюда и из определения подпространства вытекает
, , (5)
, . (6)
Теперь из равенств (5)–(6) получаем, что , , т. е. – подпространство пространства . ■
Чтобы найти пересечение подпространств и достаточно задать подпространство в виде линейной оболочки системы векторов или в виде множества решений однородной системы уравнений.
□ Теорема 1.14. Если подпространства и заданы в виде множества решений системы линейных уравнений
, ,
то подпространство совпадает множеством решений системы уравнений
Доказательство. Действительно,
Û Û
− решение системы уравнений ■
Пример
Даны линейная оболочка и подпространство решений системы линейных уравнений . Доказать, что пересечение
,
где матрица, столбцами которой являются координаты векторов системы , система векторов фундаментальный набор решений системы уравнений
Решение вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:
В дальнейшем изучении курса полезно будет знать, когда пересечение подпространств совпадает с нулевым подпространством.
□ Теорема 1.15. Даны подпространства и – базис , – базис . Пересечение подпространств и совпадает с нулевым подпространством тогда и только тогда, когда объединение базисов , подпространств и является линейно независимой системой векторов.
Необходимость. Дано, что . Докажем линейную независимость системы векторов , . Пусть
(7)
произвольное разложение вектора по системе векторов , . Рассмотрим вектор
(8)
Вектор разлагается по базису подпространства и, значит, . С другой стороны, из равенств (7) и (8) следует, что
. (9)
Из равенства (9) вытекает, что вектор разлагается по базису подпространства , а поэтому вектор . Итак, вектор и, значит, . Отсюда и из равенств (8) и (9) получаем
(10)
(11)
Теперь из линейной независимости систем векторов и , равенств (10) и (11) вытекает .
Этим доказана линейная независимость системы векторов .
Достаточность. Дано – линейно независимая система векторов. Покажем, что . Пусть − произвольный вектор из подпространства . Тогда вектор , , а поэтому вектор разлагается как по базису подпространства , так и по базису подпространства , т. е.
(12)
(13)
Из равенств (12) и (13) вытекает, что (14)
Теперь из линейной независимости системы векторов и равенства (14) получаем . Отсюда из равенства (12) следует, что . Этим установлено, что . ■
Следствие. Даны линейно независимые системы векторов и . Пересечение линейных оболочек и равно нулевому подпространству тогда и только тогда, когда , – линейно независимая система векторов.
Доказательство. Утверждение следствия вытекает из теоремы 1.15, так как и – базисы соответственно подпространств и