Теоретические сведения

Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид:

,

где М - результирующий момент сил, которые действуют на тело, Н·м;

I - момент инерции тела, кг·м²;

ε - угловое ускорение этого тела, рад/с²;

ω - угловая скорость, рад/с.

При вращательном движении тела вокруг неподвижной оси направление векторов момента сил и углового ускорения совпадают с осью вращения. В этом случае для проверки основного уравнения достаточно выполнения соотношения для разных значений и І.

Моментом силы относительно неподвижной оси называется скалярная величина, которая численно равняется произведению силы F на ее плечо l (кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила):

Момент инерции является физической величиной, которая характеризует инертность тела при изменении его угловой скорости под действием вращательного момента.

Момент инерции материальной точки I_i относительно любой оси равняется произведению ее массы m_i на квадрат расстояния r_i до этой оси:

Момент инерции твердого тела I относительно любой оси равняется сумме моментов инерции всех материальных точек тела относительно этой оси:

Для любого твердого тела в случае непрерывного распределения массы тела по его объему формула момента инерции относительно оси вращения может быть записана в виде

где интегрирование ведется по всему объему тела, ρ – плотность тела.

Если ось вращения не проходит через центр масс тела, то его момент инерции определяется по теореме Штейнера, согласно которой момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела I₀ относительно параллельной к ней оси, которая проходит через центр масс, и произведения массы этого тела m на квадрат расстояния d между осями:

.

Основной закон динамики вращательного движения удобно проверить на маятнике Обербека.

Теория метода и описание установки

Маятник Обербека, изображенный на рисунке 1, состоит из четырех одинаковых стрежней, которые укреплены под прямым углом друг к другу на муфте, которая связана с двумя шкивами разных радиусов r₁ и r₂. Муфта закреплена на горизонтальной оси, вокруг которой может свободно вращаться маятник. Для уменьшения трения ось установлена в неподвижных подшипниках. На каждом из четырех стрежней могут перемещаться и фиксироваться в выбранном положении по одному цилиндру одинаковой массы m₀ и размеров. Перемещая эти цилиндры вдоль стрежней, можно изменять момент инерции маятника. На любой из шкивов может наматываться нить, к которой прикрепляется груз массой т_i. Расстояние, которое проходит груз при движении, определяют по линейке.

Рисунок 1- Маятник Обербека

При ускоренном движении груза m_i вниз, на маятник действует отличный от нуля вращательный момент М, который создается силой натяжения нити Т:

, (1)

где r_i – радиус шкива, на который наматывается нить, и который является плечом силы натяжения Т.

Сила натяжения Т может быть определена из уравнения ускоренного движения груза m_i вниз

(2)

или в скалярном виде

(3)

откуда

(4)

Изменяя в процессе эксперимента массу груза m_i, подвешенного на нити, или радиус шкива r_i, можно изменить вращательный момент, который действует на маятник. Радиус r_i изменяют перенесением нити с одного шкива на другой.

Ускорение движения груза найдем из формулы кинематики, которая определяет путь, пройденный телом при равноускоренном движении без начальной скорости, откуда

, (5)

где h – расстояние, на которое переместится груз за время t.

Подставив выражение для ускорения в формулу силы натяжения (4), можно найти вращательный момент, по формуле:

(6)

Примечание: Поскольку кроме силы натяжения нити на маятник Обербека действуют силы трения об воздух и в оси маятника, формулы (1) и (6) являются приближенными. По обыкновению момент силы трения об воздух незначительный, и им можно пренебрегать, а силу трения в оси маятника можно уменьшить, применяя подшипники.

Найденное по формуле (5) ускорение а, является тангенциальным ускорением точек обода шкива ( ) которое связано с угловым ускорением шкива ε соотношением

.

Поэтому угловое ускорение маятника

(7)

Для нахождения момента инерции маятника воспользуемся теоремой Штейнера, учитывая, что момент инерции тела относительно данной оси всегда равняется сумме моментов инерции его частей относительно этой оси:

,

где I₀ - момент инерции маятника без цилиндров, кг·м²;

R - расстояние от центра масс цилиндров до оси вращения, м.

Подставив выражения для углового ускорения ε и момента инерции I маятника в формулу основного закона динамики для вращательного движения, получим

(8)

Результаты расчетов вращательного момента по формулам (6) и (8) должны быть одинаковыми.