4.3 Нормальное распределение и его характеристики
Рассматривая случайные погрешности как один из видов случайных событий, немецкий математик Гаус установил закон распределения погрешностей измерений в зависимости от своей величины. Этот закон называется законом нормального распределения или распределением Гауса. На рисунке 4 приведена кривая, которая отвечает этому закону.
Кривая показывает:
1) наиболее вероятные случайные погрешности, близкие к нулю;
2) с увеличением величины погрешности вероятность их появления быстро уменьшается;
3) погрешности, равные по величине, но противоположные по знаку, ровновероятны;
4) при измерениях с одинаковой точностью наиболее возможным значением измеренной величины есть среднее арифметическое из всех результатов.
f(x)
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ
Отклонение от действительного значения
Рисунок 4 - График нормального распределения
Кривая нормального распределения отвечает теоретическому случаю бесконечно большого количества измерений n, при котором величины погрешностей неотрывно заполняют всю область значений ±Δх. Аналитическое выражение, которое описывает кривую нормального распределения (закон Гауса) имеет вид:
,
где σ2 – дисперсия распределения величины Δх.
Из теории следует, что при n >30
,
где
- отклонение
значения измеренной величины от среднего,
которое называется случайной абсолютной
погрешностью единичного измерения.
Величину
называют
дисперсией, а
- генеральной средне квадратичной
погрешностью.
При довольно точных измерениях величина σ мала, а при грубых измерениях наблюдается большой разброс результатов, и значение σ будет большим. В случае реального количества измерений их количество всегда будет конечным. В этом случае не имеет смысла говорить о вероятности появления погрешности данной величины, а говорят о вероятности появления погрешности, которая лежит в пределах некоторого интервала ±Δх. Интервал ±Δх называется доверительным, а вероятность Р попадания любого значения измеренной величины в доверительный интервал, называется доверительной вероятностью или надежностью.
Расчеты площадей,
ограниченных кривой распределения, для
разных
дают следующие результаты:
±Δх |
≤0,1σ |
≤0,5σ |
≤σ |
≤2σ |
≤3σ |
Р |
0,08 |
0,38 |
0,68 |
0,95 |
0,98 |
Для обычных измерений можно ограничиться Р = 0,95. Для измерений, в которых необходимая высокая надежность, задают Р = 0,98.
4.4. Расчет случайной погрешности по методу Стьюдента
В условиях физического практикума тяжело проводить измерение больше 3...5 раз. В этом случае необходимо использовать методику, предложенную в 1908 году английским ученым У. Гассетом (псевдоним - Стьюдент). Он доказал, что статистический подход в достаточной мере возможен и при малом числе измерений (n <30).
Для оценки точности конечного числа измерений вместо σ пользуются выборочным средне квадратичным отклонением среднего арифметического
.
Величина, которая равняется отношению
называется коэффициентом Стьюдента. Ниже в таблице 1 приведенные значения коэффициента Стьюдента для любых n и Р
Таблица 1 - Значение коэффициента Стьюдента
P n |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
3 |
0,62 |
0,82 |
1,06 |
1,30 |
1,90 |
2,9 |
4,3 |
7,0 |
9,9 |
4 |
0,58 |
0,77 |
0,98 |
1,30 |
1,60 |
2,4 |
3,2 |
4,5 |
5,8 |
5 |
0,57 |
0,74 |
0,94 |
1,20 |
1,50 |
2,1 |
2,8 |
3,7 |
4,6 |
6 |
0,56 |
0,73 |
0,92 |
1,20 |
1,50 |
2,0 |
2,6 |
3,4 |
4,0 |
7 |
0,55 |
0,72 |
0,90 |
1,10 |
1,40 |
1,9 |
2,4 |
3,1 |
3,7 |
8 |
0,55 |
0,71 |
0,90 |
1,10 |
1,40 |
1,9 |
2,4 |
3,0 |
3,5 |
9 |
0,54 |
0,71 |
0,90 |
1,10 |
1,40 |
1,9 |
2,3 |
2,9 |
3,4 |
10 |
0,54 |
0,70 |
0,88 |
1,10 |
1,40 |
1,8 |
2,3 |
2,8 |
3,3 |
15 |
0,54 |
0,69 |
0,87 |
1,10 |
1,30 |
1,8 |
2,1 |
2,6 |
3,0 |
20 |
0,53 |
0,69 |
0,86 |
1,10 |
1,30 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,9 |
25 |
0,53 |
0,69 |
0,86 |
1,10 |
1,30 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
30 |
0,53 |
0,68 |
0,85 |
1,10 |
1,30 |
1,7 |
2,0 |
2,5 |
2,8 |
40 |
0,53 |
0,68 |
0,85 |
1,10 |
1,30 |
1,7 |
2,0 |
2,4 |
2,7 |
60 |
0,53 |
0,68 |
0,85 |
1,00 |
1,30 |
1,7 |
2,0 |
2,4 |
2,7 |