1.3. Чисельне інтегрування. Методи лівих, правих та середніх прямокутників. Методи трапецій та парабол.

Метод прямокутників.

Найпростішим методом наближеного обчислення інтеграла є метод прямокутників, геометрична інтерпретація якого зводиться до знаходження визначеного інтеграла як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою h= xi=xi+1-xi), отриманих розділень відрізка[a,b] на N рівних частин, до того ж якщо розділити на прямокутники зліва на право, то отримаємо формулу лівих прямокутників: In= f(x)dx» Si=h[f(x0)+f(x1)+...+f(xn-1)]= f(xi); якщо ж розділити на N прямокутників справа на ліво, то отримаємо формулу правих прямокутників:

Iпр= f(x)dx»h[f(xn)+...+f(x1)]= f(xi).

Метод трапецій.

Суть методу трапеції, полягає в тому, що інтеграл обчислюється по-іншому, відрізок інтегрування поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива f(x) замінюється кусково- лінійною функцією j(x), отриманою стягуванням ординат N відрізків хордами. Обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження сум площ S_i прямокутних трапецій N. Площа кожної такої трапеції визначається як: S_i=h (f(x_i)+f(x_i+1)).

Отже,формулатрапеції: I= » S_i=h( f(x₀)+f(x₁)+f(x₂)+...+f(x_n-1)+ f(x_N)= = [ (f(x₀)+f(x_n))+ f(x_i)]. Графічна модель Похибка обчислення інтеграла за формулою трапецій оцінюється як   Де М₂ –максимальне значення другої похідної.f(x) при h-крок обчислень.

Рис.1.3.1.

Метод парабол.

Цей метод також використано у курсовій роботі, близький до методу трапецій у тій частині, що інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка інтегрування [а, b] на множину відрізків (N пар відрізків). Однак, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному відрізку [Xi, Xi+2] підінтегральної функції f(x) замінюють квадратичною параболою j(x), обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми N криволінійних трапецій Si: I= f(x)dx» Si [1].

Рисунок 1.3.2.

Графічна модель. Площа кожної такої трапеції визначається за формулою Сімпсона: Si=  [f(xi)+4f( xi+1)+f(xi+2)], тобто (y₀+4y₁+y₂), (y₂+4y₃+y₄), (y₄+4y₅+y₆), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (y_2n-2+4y_2n-1+y_2n), Тоді чисельне значення визначеного інтеграла на відрізку [a,b] дорівнюватиме сумі інтегралів, тобто [y₀+y_2n+4(y₁+...+y_2n-1)+2(y₂+...+y_2n-2)], або [y₀+y_2n+4 y_2i-1+2 y_2i],(1.8) де h =(b-a)/2N. Похибка обчислення інтеграла за формулою Сімпсона оцінюється як де М₄ –максимальне значення четвертої похідної. f(x) при , h-крок обчислень.

1.4. Використання системи Math Cad для розв’язання технічних завдань. Основні особливості та методи роботи із системою.

MathCAD працює з документами. З погляду користувача, документ - це чистий аркуш паперу, на якому можна розміщати блоки трьох основних типів: математичні вирази, текстові фрагменти і графічні області.

Розташування нетекстових блоків у документі має принципове значення – зліва направо і зверху вниз.