Основні властивості рядів

Теорема 3.2 Якщо всі члени збіжного ряду з сумою помножити на одне й теж число , то одержимо збіжний ряд, сума якого дорівнює .

Доведення. Нехай ряд збігається, - його сума, - - на часткова сума. Знайдемо границю - ної часткової суми ряду, який отримаємо після множення кожного члена на :

.

Теорему доведено.

Теорема 3.3 Якщо ряди і збігаються і їх суми відповідно дорівнюють і , то збігаються ряди, отримані їх по членним додаванням і відніманням. При цьому .

Доведення. , що і треба довести.

Означення. В числовому ряді (3.1) відкинемо перші членів. Ряд, що залишиться: назвемо залишком ряду (3.1) після -го члена.

Теорема 3.4 Ряд (3.1) і його залишок збігаються або розбігаються одночасно.

Доведення. Зафіксуємо номер . - - на часткова сума ряду (3.1), - часткова сума його залишку. Тоді . Нехай ряд (3.1) збігається, і його сума дорівнює , тоді існує скінченна границя . Тобто залишок також збігається. Нехай тепер збігається залишок ряду (3.1) після - го члена. Позначимо його суму через . Тоді - скінченне число. Остання рівність означає, що ряд (3.1) збігається, його суму позначимо через . Отже . Нехай тепер ряд (3.1) розбігається. Тоді розбігається і його залишок. Адже у випадку збіжності залишку збігався б і ряд (3.1). По аналогії отримаємо: із розбіжності залишку випливає розбіжність ряду. Теорему доведено.

Наслідки. 1.Теорему 3.4 можна розуміти ще і таким чином: відкидання декількох перших членів ряду або додавання на початку ряду скінченної кількості нових членів не впливає на його збіжність, а може змінити лише його суму.

2. Числовий ряд збігається тоді і тільки тоді, коли сума його залишку прямує до нуля коли . Адже з рівності випливає: ; .

Теорема 3.5 (необхідна умова збіжності ряду) Якщо ряд збігається, то його загальний член прямує до 0 при .

Доведення. Нехай - сума ряду. Оскільки , то

.

Зауваження. Доводити збіжність рядів за допомогою цієї теореми неможливо, можна лише стверджувати, що ряд розбігається, якщо . Адже у будь-якого збіжного ряду .

Приклади. Дослідити збіжність ряду .

Розв’язання. . Ряд розбігається.

Теорема 3.6 Якщо ряд збігається, то можна (не переставляючи його члени) об’єднувати їх у групи зі скінченною кількістю членів за допомогою дужок. Ця операція не порушує збіжності ряду і не змінює його суму.

§2. Ряди з додатними членами.

Розглянемо ряд, всі члени якого додатні

.

Теорема 3.7 (необхідна і достатня умова збіжності ряду з додатними членами). Для того, щоб ряд (3.2) збігався необхідно і достатньо, щоб послідовність його часткових сум була обмежена зверху, тобто існувало таке число , що .

Доведення. Необхідність. Нехай ряд (3.2) збігається. Тоді послідовність його часткових сум має скінченну границю. Ця послідовність монотонно зростає, адже . Тоді вона має бути обмежена зверху, адже у протилежному випадку .

Достатність. Якщо послідовність обмежена зверху, то враховуючи, що вона монотонно зростає, одержимо: ця послідовність має скінченну границю за теоремою Вейерштраса. Отже, ряд збігається.

Теорема 3.8 (інтегральна ознака збіжності). Нехай члени ряду (3.2) співпадають зі значенням неперервної, незростаючої, невід’ємної при функції , якщо , тобто . Тоді ряд (3.2) збігається або розбігається одночасно з невластивим інтегралом .

Д оведення. Нехай - деяке натуральне число. Розглянемо криволінійну трапецію, обмежену лініями . Її площа дорівнює визначеному інтегралу .

Заключимо цю криволінійну трапецію в ступінчасту фігуру (див. рис. 3.1 для ), що складається з прямокутників, одна зі сторін яких дорівнює , а друга . Тоді площа цієї фігури дорівнює . Розглянемо також вписану у криволінійну трапецію ступінчасту фігуру, зображену на рисунку 3.2. Її площа: . Оскільки , то , де - на часткова сума ряду (3.2). З останньої нерівності маємо:

;

.

Нехай невластивий інтеграл збігається, тоді нескінченна криволінійна трапеція, побудована на проміжку , має скінченну площу . Отже , . Тоді з нерівності (3.3) маємо: , тобто часткові суми ряду (3.2) обмежені зверху. Таким чином, ряд збігається. Якщо невластивий інтеграл розбігається , тобто , то з нерівності (3.4) випливає, що необмежена. Отже ряд розбігається. Нехай тепер збігається ряд (3.2), тоді збігається і невластивий інтеграл. Адже у протилежному випадку розбігався б і ряд. По аналогії доводиться той факт, що із розбіжності ряду випливає розбіжність інтегралу.

Приклад. Дослідити збіжність ряду .

Розв’язання. Цей ряд називають узагальненим гармонічним рядом, а у випадку - просто гармонічним рядом.

За інтегральною ознакою, питання про його збіжність вирішується за допомогою невластивого інтеграла . Який було розглянуто в §12 розділу . Оскільки цей інтеграл збігається при і розбігається при , то і ряд збігається у випадку і розбігається при .

Теорема 3.9 (перша ознака порівняння). Нехай для рядів і виконано нерівність . Тоді із збіжності ряду випливає збіжність ряду . Якщо ряд розбігається, то і ряд також розбігається.

Доведення. Введемо позначення , . Очевидно, . Якщо ряд збігається, то послідовність обмежена зверху, тоді послідовність також обмежена зверху. Отже, ряд також збігається. Нехай ряд розбігається, тоді ряд збігається не може. Адже у цьому випадку (за доведеним вище) збігався б і ряд .

Приклади. Дослідити збіжність рядів:

1) .

Розв’язання. Оскільки , а геометричний ряд збігається, то збігається і ряд .

2) .

Розв’язання. Очевидно, що . Гармонічний ряд розбігається, тому розбігається і ряд .

Зауваження. Теорема 3.9 справедлива і в тому випадку, коли нерівність виконується не для всіх , а починаючи з деякого номера , тобто . Адже відкидання декількох перших членів ряду не впливає на його збіжність.

Теорема 3.10 (друга ознака порівняння) Якщо ряди з додатними членами і такі, що існує скінченна границя , то ряди збігаються або розбігаються одночасно.

Доведення. Те, що означає, що для будь-якого числа знайдеться такий номер , що для всіх виконано нерівність . Тоді ; ; . Якщо ряд збігається, то за теоремою 3.2 збігається і ряд . Тоді за теоремою 3.9 збігається і ряд. Нехай збігається ряд , тоді з нерівності ( вважаємо настільки малим, що ) випливає, що ряд збігається.

Нехай будь-який з рядів і розбігається, тоді за доведеним вище другий ряд збігатись не може, адже в цьому випадку збігався б і перший.

Приклад. Дослідити збіжність ряду .

Розв’язання. Розглянемо збіжний ряд ( див. узагальнений гармонічний ряд, ). Обчислимо границю , замінивши нескінченно малу величину на еквівалентну їй . Тоді. За теоремою 3.10 досліджуваний ряд поводить себе так само, як і ряд , тобто збігається.

Теорема 3.11 (ознака Даламбера) Нехай ряд з додатними членами (3.2) такий, що існує (скінченна або нескінченна границя) . Тоді при ряд збігається, при - розбігається.

Доведення. З означення границі маємо: для будь-якого числа знайдеться такий номер , що при . Тоді

.

Позначимо через . Нехай , будемо вважати таким малим, що . Тоді , тобто

;

;

.

Це означає, що члени ряду (залишку ряду ) менші за відповідні члени геометричного ряду , який збігається. За теоремою порівняння збігається і ряд . Тоді і ряд також збігається.

Нехай , візьмемо настільки мале, що . Тоді з нерівності (3.5) маємо: . Таким чином, члени ряду після - ного члену зростають при зростанні номеру . Це означає, що . Отже ряд розбігається.

Приклад. Дослідити збіжність ряду .

Розв’язання. Загальний член ряду , тоді наступний член . Тоді . Отже ряд збігається.

Теорема 3.12 (ознака Коші коренева). Нехай ряд з додатними членами такий, що існує границя (скінченна або нескінченна). Тоді при ряд збігається, а при - розбігається. Пропонуємо довести цю теорему самостійно по аналогії з доведенням ознаки Даламбера.

Теорема 3.13 Якщо ряд , збігається, і його сума дорівнює , то ту ж саму суму має ряд отриманий будь-якою перестановкою його членів.

Доведення. Нехай - - на часткова сума ряду . Переставимо якимось чином його члени і знайдемо суму перших членів отриманого ряду: . Позначимо через найбільший з номерів . Тоді . Тобто послідовність часткових сум отриманого ряду обмежена зверху. Отже ряд збігається, і його сума задовольняє нерівність . Таким чином, сума ряду, отриманого перестановкою членів ряду не може бути більшою за . Але ж вона не може буди і меншою. Адже після зворотної перестановки ми отримаємо ряд , сума якого має задовольняти нерівність . Таким чином . Теорему доведено.