Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами.

Розглянемо лінійне однорідне рівняння виду

.

Його називають рівнянням зі сталими коефіцієнтами і . Будемо шукати розв’язок рівняння (2.13) у вигляді . Тоді . Підставивши ці вирази у (2.13) маємо: . Оскільки, то є розв’язком рівняння:

.

Його називають характеристичним рівнянням. Розв’язавши квадратне рівняння (2.14) отримаємо три випадки.

1. Якщо корені характеристичного рівняння і дійсні і , то частинні розв’язки рівняння (2.13) і є лінійно незалежними. Дійсно, . Тоді загальний розв’язок рівняння має вигляд , і - довільні сталі.

2. Нехай корені характеристичного рівняння і дійсні і співпадають . Тоді маємо частинний розв’язок . Доведемо, що функція також є частинним розв’язком рівняння (2.13). Знайдемо похідні , і підставимо в рівняння. Маємо: . В останньому виразі перший доданок дорівнює нулю через те, що - корінь характеристичного рівняння. Другий доданок також дорівнює нулю, оскільки в цьому випадку дискримінант рівняння (2.14) і . Отже, маємо два розв’язки рівняння (2.13) і . При цьому , тобто вони лінійно незалежні. Тоді загальний розв’язок рівняння має вигляд , і - довільні сталі.

3. Якщо дискримінант характеристичного рівняння від’ємний, тобто його корені комплексні , , то лінійно незалежними розв’язками рівняння (2.13) є і . Пропонуємо студентам самостійно в цьому переконатися, враховуючи, що , . Отже, загальний розв’язок рівняння (2.13) запишемо у вигляді , і - довільні сталі.

Приклади. 1).

Розв’язання. Запишемо характеристичне рівняння . Його корені дійсні і різні , . Загальний розв’язок рівняння: .

2) .

Розв’язання. Характеристичне рівняння має нульовий дискримінант. Його корені співпадають. Загальний розв’язок диференціального рівняння: .

3) .

Розв’язання. Характеристичне рівняння має від’ємний дискримінант , . Знайдемо комплексні корені , . Тобто . Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд: .

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння.

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння виду

.

Теорема 2.4 (про загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння). Загальний розв’язок рівняння (2.15) має вигляд , де - загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння , - будь-який частинний розв’язок самого рівняння (2.15).

Теорема 2.5 (принцип суперпозиції розв’язків).Якщо - частинний розв’язок рівняння , - частинний розв’язок рівняння , то функція є частинним розв’язком рівняння .

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами і спеціальним виглядом правої частини.

1. Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння виду

де , - многочлен степеня . Його загальний розв’язок знайдемо за теоремою 2.4. Загальний розв’язок рівняння ми вже вміємо знаходити. Можна довести, що існує частинний розв’язок рівняння (2.16), який має вигляд . Тут - многочлен того ж степеня, що і в правій частині рівняння, - кількість коренів характеристичного рівняння , які співпадають з числом . Отже

, якщо ;

, якщо один з коренів характеристичного рівняння дорівнює;

, якщо .

Приклади. 1) .

Розв’язання. Шукаємо загальний розв’язок у вигляді . Для знаходження , загального розв’язку рівняння , розв’яжемо характеристичне рівняння . Маємо: . Тоді . Зауважимо, що права частина лінійного неоднорідного рівняння має вигляд де , - многочлен нульового степеня . Тому його частинний розв’язок слід шукати у вигляді , де - поки що невизначений коефіцієнт. Знайдемо підставивши в лінійне неоднорідне рівняння. Оскільки , то . Звідки маємо: . Тоді , загальний розв’язок: .

2) .

Розв’язання. Спочатку розв’яжемо лінійне однорідне рівняння за допомогою характеристичного рівняння . Його корені , . Тому . Праву частину лінійного неоднорідного рівняння можна розглядати як добуток многочлена першого степеня і ( тобто ). Тому частинний розв’язок слід шукати у вигляді або . Тоді . Підставивши ці вирази в рівняння маємо:

або .

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях в лівій і правій частинах останньої рівності.

. Розв’язавши отриману систему лінійних алгебраїчних рівнянь, одержимо .Тоді , загальний розв’язок рівняння має вигляд:

.

3) .

Розв’язання. Знайдемо - загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння . Запишемо його характеристичне рівняння . Його корені співпадають . Тому . Частинний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді (оскільки обидва корені характеристичного рівняння співпадають з , тобто ). Знайдемо , . Підставивши ці вирази в лінійне неоднорідне рівняння маємо: або . Звідки . Таким чином, . Загальний розв’язок рівняння:

.

2. Нехай лінійне неоднорідне рівняння має вигляд

,

. Можна довести, що існує частинний розв’язок рівняння (2.17) виду . Тут , - кількість коренів характеристичного рівняння, які співпадають з комплексним числом .

Приклад. .

Розв’язання. Знайдемо загальний розв’язок рівняння . Його характеристичне рівняння ; . Тоді . Частинний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді . Тоді , . Підставимо ці вирази в рівняння і прирівняємо коефіцієнти в лівій і правій частині при і . Маємо:

;

. Розв’язавши систему одержимо , . Отже . Тоді загальний розв’язок рівняння має вигляд:

.

3. Нехай лінійне неоднорідне рівняння має вигляд

- многочлени степенів та відповідно. Частинний розв’язок такого рівняння слід шукати у вигляді , де ; - многочлени степенів , - кількість коренів характеристичного рівняння, які співпадають з комплексним числом . Рівняння, розглянуті в пунктах 1 і 2, також є рівняннями цього вигляду. Дійсно, у випадку 1 маємо: , у випадку 2: .

Зауваження. Нехай права частина лінійного неоднорідного рівняння є сумою декількох функцій, розглянутих у пункті 3. Тоді для знаходження частинного розв’язку можна скористатися принципом суперпозиції розв’язків. Наприклад, частинний розв’язок рівняння слід шукати у вигляді , де - невизначені коефіцієнти. Якщо права частина рівняння не відповідає жодному з розглянутих видів, то для його розв’язання можна скористатися методом варіації сталих. З цим методом пропонуємо, ознайомитися самостійно (дивитися , ).