§5. Системи диференціальних рівнянь першого порядку. Системи лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

Розглянемо систему двох диференціальних рівнянь першого порядку

Розв’язок системи (2.18) - пара функцій і , що задовольняє обидва рівняння.

Задачею Коші назвемо сукупність системи (2.18) і початкових умов

Теорема 2.6 Нехай функції та їх частинні похідні по і , неперервні в області , що містить точку . Тоді задача Коші (2.18), (2.19) має єдиний розв’язок, визначений в деякому околі точки .

Загальним розв’язком системи називається двопараметричне сімейство пар функцій , , що задовольняє такі умови:

1) будь-яка пара функцій цього сімейства є розв’язком системи;

2) якими б не були початкові умови (2.19) (точка належить області, де виконано умови теореми 2.6), в цьому сімействі знайдеться пара функцій, що їх задовольняє.

Розглянемо систему диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

,

де - деякі функції, . Розв’язати таку систему можна звівши її до одного лінійного рівняння другого порядку. Покажемо на прикладі, як це можна зробити.

Приклад. Розв’язати задачу Коші , .

Розв’язання. З першого рівняння знайдемо : . Продиференціюємо по обидві частини цього рівняння . Маємо . Підставимо обидві ці рівності в друге рівняння системи. Одержимо:

або .

Отримали лінійне неоднорідне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами, яке було розглянуто у §4. Його розв’язок має вигляд: (пропонуємо перевірити самостійно). Одна з шуканих функцій знайдена. Другу знайдемо з рівняння . Оскілки , то

; .

Таким чином, загальний розв’язок системи:

; .

Підставивши початкові умови, отримаємо: . Розв’язавши цю систему, знайдемо: . Розв’язок задачі Коші

, .

Розділ 3. Ряди

§1. Властивості числового ряду.

Означення. Розглянемо пронумеровану сукупність чисел . Назвемо її числовою послідовністю. Використовують позначення: . Числову послідовність доцільно задавати формулою її загального члена, тобто функцією від номера . Наприклад, формулою загального члена задається послідовність . Числова послідовність називається зростаючою, якщо , і спадною, якщо. Якщо послідовність зростає або спадає, то її називають монотонною. Кажуть, що числова послідовність , обмежена, якщо існує таке число , що . Число називають границею числової послідовності , якщо для будь-якого додатного числа можна підібрати такий номер , що . Якщо послідовність має границю, то кажуть, що вона збігається.

Теорема 3.1 ( Вейерштраса) Монотонна і обмежена числова послідовність має границю.

Означення. Числовим рядом називається сума членів числової послідовності. Пишуть

.

Числа називаються членами ряду, - його загальним членом.

Суму перших членів ряду назвемо його - ною частковою сумою. Введемо позначення . Надаючи значень одержимо числову послідовність - послідовність часткових сум ряду (3.1). Кажуть, що ряд збігається, якщо збігається послідовність його часткових сум, тобто якщо існує скінченна границя . Число називають сумою числового ряду (3.1), тобто вважають, що

.

Приклади. Дослідити збіжність ряду.

1) .

Розв’язання.

Запишемо - ну часткову суму . Зауважимо, що , . Тоді

; . Отже, ряд збігається і його сума дорівнює 1.

2) .

Розв’язання. Такий ряд називається геометричним, оскільки він є сумою членів геометричної прогресії . Скористаємося відомою формулою суми перших членів геометричної прогресії: .

Нехай , тоді . Отже, геометричний ряд збігається, якщо , і його сума дорівнює .

Якщо , то . Тоді . Якщо , то не існує, оскільки не існує . Таким чином, геометричний ряд розбігається при .

Залишилось розглянути тільки випадки . Покажемо, що і в цих випадках ряд розбігається. Якщо , то ряд має вигляд . Тоді , отже ряд розбігається. Якщо , то ряд також розбігається, оскільки послідовність його часткових сум має вигляд , тобто не має границі.