- •Г.В. Соколовська с.Ю. Соколовський вища математика
- •Розділ 1. Інтегральне числення
- •§1. Первісна. Невизначений інтеграл та його властивості
- •Властивості невизначеного інтеграла
- •Основні формули інтегрування
- •§2. Метод заміни змінної (підстановки) у невизначеному інтегралі
- •§3. Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі
- •§4. Інтегрування деяких виразів, що містять квадратний тричлен
- •§5. Інтегрування деяких ірраціональних і тригонометричних виразів
- •§6. Про функції, інтеграли від яких не виражаються через елементарні функції
- •§7. Визначений інтеграл та його властивості
- •Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •Властивості визначеного інтеграла
- •§8. Інтеграл зі змінною верхньою межею
- •§9. Формула Ньютона - Лейбніца
- •§10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •§11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •§12. Невластиві інтеграли
- •1. Інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невластиві інтеграли і роду).
- •2. Інтеграли від розривної функції (невластиві інтеграли роду).
- •§12. Застосування визначеного інтеграла
- •1. Обчислення площі плоскої фігури.
- •2. Обчислення довжини дуги.
- •2. Обчислення об’єму за площею поперечного перерізу.
- •Розділ 2. Звичайні диференціальні рівняння
- •§1. Поняття про диференціальні рівняння
- •§2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •§2. Диференціальні рівняння другого порядку. Рівняння, що допускають зниження порядку.
- •§4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами.
- •Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння.
- •Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами і спеціальним виглядом правої частини.
- •§5. Системи диференціальних рівнянь першого порядку. Системи лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •Розділ 3. Ряди
- •§1. Властивості числового ряду.
- •Основні властивості рядів
- •§2. Ряди з додатними членами.
- •§3. Ряди з довільними членами.
- •§4. Ряди з чергуванням знаків.
- •§5. Функціональні ряди.
- •§6. Степеневий ряд.
- •§6. Розвинення функції в степеневий ряд.
1. Обчислення площі плоскої фігури.
Ми вже знаємо, як обчислити площу криволінійної трапеції. Застосуємо метод диференціалу для обчислення площі плоскої фігури обмеженої лініями , де при (рис.4).
Обчислимо диференціал , замінивши його площею прямокутника, який на рисунку 4 заштриховано.
. Тоді .
Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями , .
Розв’язання. Побудуємо параболу і пряму (рис.5). Точки їх перетину знайдемо як розв’язок системи рівнянь.
або .
Тоді
квадратних одиниць.
2. Обчислення довжини дуги.
Н ехай рівняння задають лінію, довжину дуги якої між точками і (рис.6) треба знайти. Вважаємо, що точці відповідає значення параметра , а точці - .
Обчислимо диференціал довжини дуги , що дорівнює довжині дуги , де . Замінимо довжину дуги довжиною відрізка : . Таким чином, довжина дуги кривої обчислюється за формулою:
Якщо лінія задана в прямокутній декартовій системі координат рівнянням , то замінивши в рівності (1.14) параметр на , одержимо: .
Приклад. Знайти довжину першої арки циклоїди: , .
Розв’язання. Знайдемо . Тоді
,
одиниць довжини.
2. Обчислення об’єму за площею поперечного перерізу.
Нехай треба обчислити об’єм тіла зображеного на рис.7. Вважаємо, що відома площа перерізу цього тіла будь-якою площиною, перпендикулярною до осі . Ця площа залежить від положення такої площини, тобто вона є функцією .
Знайдемо диференціал об’єму , замінивши його на об’єм циліндра, основою якого служить вказаний переріз, а висота дорівнює . Маємо: . Тоді
.
Розглянемо фігуру, яка утворена обертанням навколо осі криволінійної трапеції, що обмежена лініями (рис.8). поперечним перерізом такої фігури є круг, радіус якого при заданому дорівнює . Тоді , тому формула (1.15) набуває вигляду .
Приклад. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, що обмежена лініями .
Розв’язання. кубічних одиниць.
Для більш детального вивчення інтегрального числення рекомендуємо звернутись до навчальних посібників .
Розділ 2. Звичайні диференціальні рівняння
§1. Поняття про диференціальні рівняння
Розглянемо спочатку фізичну задачу, яка приводить до диференціального рівняння. Нехай треба знайти закон, за яким змінюється швидкість тіла ( - час), що рухається по інерції. Цим тілом може бути, наприклад, судно, яке ще рухається після вимикання двигуна. При цьому тіло зазнає опору оточуючого середовища, який є пропорційним до швидкості, тобто дорівнює . Нехай - маса тіла, - прискорення, причому . Тоді сила, що діє на тіло у напрямі його руху дорівнює . Оскільки ж ця сила за абсолютною величиною дорівнює силі опору середовища, а за напрямом їй протилежна, то отримаємо рівняння
.
Отже шукана функція є розв’язком рівняння (2.1), яке крім самої функції містить також її похідну.
Означення. Звичайним диференціальнім рівнянням називається рівняння, що пов’язує між собою незалежну змінну , невідому функцію та її похідні:
.
Порядком диференціального рівняння називають найвищий з порядків похідних невідомої функції, які воно містить. Рівняння (2.2) - диференціальне рівняння - го порядку.