§5. Функціональні ряди.

Функціональний ряд – це ряд, членами якого є функції , визначені в деякій області . Отже функціональний ряд має вигляд

У будь-який точці функціональний ряд перетворюється на числовий: , який може виявитися збіжним або розбіжним. Якщо числовий ряд збігається (розбігається), то кажуть, що функціональний ряд збігається (розбігається) в точці . Сукупність всіх таких точок, в яких збігається ряд (3.7), називається його областю збіжності.

Часткова сума ряду (3.7) - функція змінної . Для будь-якого числа , що належить області збіжності, виконано . Функція називається сумою функціонального ряду. Тобто .

Залишок ряду - це також функція визначена в області збіжності цього ряду. Як бачимо, .

Ряд (3.7) називається мажоровним на відрізку , якщо існує такий збіжний ряд з додатними членами , що , , . При цьому називається мажорантою або мажоруючим рядом. Наприклад, ряд має мажоранту , оскільки , , , і ряд збігається. Безпосередньо з самого означення випливає, що мажоровний на відрізку ряд абсолютно збігається в усіх точках цього відрізка.

Сформулюємо без доведення основні властивості мажоровних рядів.

Теорема 3.16 Нехай функціональний ряд (3.7) мажоровний на відрізку . Тоді для будь-якого додатного числа знайдеться такий номер , що для всіх нерівність ( - сума залишку ряду (3.7) після - го члена) виконується одразу для всіх .

Теорема 3.17 Якщо всі члени мажоровного на відрізку ряду неперервні, то його сума також неперервна на .

Теорема 3.18 Нехай ряд (3.7) з неперервних функцій є мажоровним на , - його сума. Тоді ряд можна почленно інтегрувати по проміжку і виконана рівність: .

Теорема 3.19 Нехай ряд, складений із функцій , що мають неперервні похідні , збігається на відрізку . Якщо ряд , складений з похідних, мажоровний на , то справедлива рівність: .

§6. Степеневий ряд.

Степеневим рядом називається функціональний ряд виду

,

де - деякі числа. Числа називають коефіцієнтами степеневого ряду. Якщо , то степеневий ряд має вигляд:

.

Степеневий ряд за допомогою заміни зводиться до ряду , тому надалі кажучи про степеневий ряд, будемо мати на увазі тільки ряди виду .

Теорема 3.20 (теорема Абеля).

1. Якщо степеневий ряд збігається у точці , то він абсолютно збігається у будь-якій точці , для якої виконано: .

2. Якщо степеневий ряд розбігається у точці , то він розбігається при будь-якому , для якого: .

Доведення. Якщо збігається, то його загальний член прямує до 0, коли . Тоді існує таке число , що . Нехай - будь-яке число, для якого виконано: , тобто . Розглянемо ряд . Для його членів маємо: . Таким чином, модулі членів цього ряду не перевищують членів збіжного геометричного ряду . Тоді ряд збігається. Отже ряд збігається абсолютно.

2. Нехай розбігається в точці . Якби він міг збігатися в якій-небудь точці , , то (за доведеним у першому пункті) він збігався б в усіх точках, в яких . Таким чином, збігався б і ряд . Отримане протиріччя доводить другий пункт теореми.

Розглянемо питання про те , як знайти область збіжності степеневого ряду. З’ясуємо спочатку , при яких значеннях степеневий ряд є абсолютно збіжним. Дослідимо ряд з модулів за ознакою Даламбера: , , . Ряд з модулів збігається при таких значеннях , що , тобто при . Введемо позначення . Отже в інтервалі або степеневий ряд збігається абсолютно. Якщо , то для ряду з модулів маємо , тобто ряд розбігається на підставі необхідної умови збіжності (). Тоді загальний член степеневого ряду також не прямує до при . Таким чином, степеневий ряд збігається в інтервалі і розбігається при . Інтервал називають інтервалом збіжності степеневого ряду, число - радіусом збіжності. Для того, щоб дізнатись, чи приєднувати до області збіжності точки , їх слід підставити в ряд і дослідити отримані числові ряди.

Приклад. Знайти область збіжності степеневого ряду .

Розв’язання. Дослідимо ряд з модулів . Застосуємо ознаку Даламбера:, .

Інтервал збіжності степеневого ряду: . Якщо , то ряд розбігається. Залишилось дослідити ряд при .

При одержимо числовий ряд , який розбігається за ознакою порівняння (адже він поводить себе так само, як і розбіжний ряд ).

При одержимо ряд з чергуванням знаків . Дослідимо його за ознакою Лейбніца: 1) , 2). Отже, ряд збігається.

Таким чином, область збіжності степеневого ряду: .

Зауваження.

1. Існують ряди, що збігаються при ( наприклад ряд ). Якщо інтервал збіжності , то вважаємо, що .

2. Не існує рядів, які розбігаються при . Хоча б в одній точці збігається будь-який степеневий ряд. Якщо область збіжності містить лише одну цю точку, то вважаємо, що .

3. Якби для дослідження ряду було застосовано ознаку Коші, а не Даламбера, то для радіуса збіжності отримали б іншу формулу: .

4. Інтервал збіжності ряду задається нерівністю: ; ; .

Теорема 3.21 Нехай степеневий ряд збігається в інтервалі , тоді він є мажоровним на будь-якому відрізку , де .

Доведення. В інтервалі збіжності степеневий ряд збігається абсолютно. Тобто при будь-якому числовий ряд збігається. Але при всіх маємо: , . Таким чином, степеневий ряд мажоровний на відрізку .

Зауважимо, що тоді на степеневий ряд можна перенести всі властивості мажоровних рядів.

Теорема 3.22 Сума ряду неперервна у будь-якій точці інтервалу збіжності.

Теорема 3.23 Нехай степеневий ряд має інтервал збіжності і - його сума. Тоді ряд, отриманий його почленним диференціюванням має такий самий інтервал збіжності і його сума , .

Теорема 3.24 Степеневий ряд можна почленно інтегрувати по будь-якому проміжку, що лежить всередині інтервалу збіжності, тобто для будь-яких .