§3. Ряди з довільними членами.

Якщо всі члени числового ряду від’ємні, то (за теоремою 3.2) питання про його збіжність вирішується за допомогою ряду з додатними членами , адже . Нехай серед членів ряду є і додатні і від’ємні. Якщо від’ємних членів скінченна кількість, то відкинемо стільки перших членів ряду, щоб у залишку були тільки додатні. Дослідимо на збіжність цей залишок. Аналогічно досліджується ряд, у якому скінченна кількість додатних членів. Отже, досліджуючи ряди з довільними членами, має сенс розглядати тільки такі ряди які мають нескінченну кількість як додатних, так і від’ємних членів. Саме такі ряди надалі і розглядатимуться.

Теорема 3.14 Нехай числовий ряд такий, що ряд складений з модулів його членів є збіжним. Тоді збігається і ряд .

Доведення. Нехай - - на часткова сума ряду , а - - на часткова сума ряду . Позначимо через суму додатних членів серед перших членів ряду , а через - суму модулів від’ємних членів. Тоді , . Оскільки ряд має суму (позначимо її через ), то , . Таким чином, послідовності і монотонні і обмеженні. Отже кожна з них має границю. Позначимо ці границі через і відповідно. Тоді існує границя послідовності часткових сум ряду : . Тобто цей ряд збігається.

Зауваження. Ряд може збігатися і в тому випадку, коли складений з модулів його членів ряд розбігається.

Означення. Якщо ряд, складений з модулів членів ряду збігається, сам ряд називається абсолютно збіжним. Якщо сам ряд збігається, а ряд розбігається, то ряд називають умовно збіжним.

§4. Ряди з чергуванням знаків.

Розглянемо ряд, члени якого по черзі то додатні, то від’ємні. Тобто з числової послідовності додатних чисел складаємо ряд виду

або

Назвемо його рядом з чергуванням знаків.

Теорема 3.15 (ознака Лейбніца). Якщо ряд (3.6) такий, що

1) модулі його членів спадають при зростанні номеру, тобто ,

2)

то ряд збігається.

Доведення. Розглянемо ряд з чергуванням знаків. Запишемо його часткову суму з парним номером : . З першої умови теореми випливає, що . Тоді , і ця часткова сума зростає зі збільшенням . З іншого боку . Отже, послідовність монотонна і обмежена . Тоді вона має границю , . Розглянемо тепер часткову суму з непарним номером: . Тоді, враховуючи другу умову теореми, маємо . Отже ряд збігається і його сума не перевищує першого члена .

Зауваження. 1. Ознака Лейбніца залишається справедливою і в тому випадку, якщо нерівність виконується починаючи з деякого номера.

2. Не так часто зустрічаються ряди, суму яких можна точно обчислити. Найчастіше при розв’язуванні практичних задач діють так: з’ясувавши, що ряд збігається, замінюють його суму - ною частковою сумою . Адже при достатньо великих справедлива наближена рівність . Похибка цього наближення дорівнює сумі залишку ряду . Тому постає питання про оцінку цього залишку. Для ряду, що збігається за ознакою Лейбніца, це питання вирішується досить просто. Адже для залишку також виконані умови теореми . Тоді його сума задовольняє нерівність . Таким чином, похибка має знак першого відкинутого члена ряду і не перевищує його за абсолютною величиною.

Приклади. Дослідити збіжність рядів:

1. .

Розглянемо ряд з модулів . Дослідимо його збіжність за ознакою Даламбера. Запишемо загальний член ряду і наступний . Знайдемо . Отже, ряд з модулів збігається. Тоді досліджуваний ряд з чергуванням знаків збігається абсолютно.

2. .

Ряд з модулів розбігається . Це означає, що досліджуваний ряд з чергуванням знаків не є абсолютно збіжним. Але він може збігатися умовно. Застосуємо ознаку Лейбніца:

1) ,

2) .

Отже ряд збігається умовно.