- •Г.В. Соколовська с.Ю. Соколовський вища математика
- •Розділ 1. Інтегральне числення
- •§1. Первісна. Невизначений інтеграл та його властивості
- •Властивості невизначеного інтеграла
- •Основні формули інтегрування
- •§2. Метод заміни змінної (підстановки) у невизначеному інтегралі
- •§3. Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі
- •§4. Інтегрування деяких виразів, що містять квадратний тричлен
- •§5. Інтегрування деяких ірраціональних і тригонометричних виразів
- •§6. Про функції, інтеграли від яких не виражаються через елементарні функції
- •§7. Визначений інтеграл та його властивості
- •Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •Властивості визначеного інтеграла
- •§8. Інтеграл зі змінною верхньою межею
- •§9. Формула Ньютона - Лейбніца
- •§10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •§11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •§12. Невластиві інтеграли
- •1. Інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невластиві інтеграли і роду).
- •2. Інтеграли від розривної функції (невластиві інтеграли роду).
- •§12. Застосування визначеного інтеграла
- •1. Обчислення площі плоскої фігури.
- •2. Обчислення довжини дуги.
- •2. Обчислення об’єму за площею поперечного перерізу.
- •Розділ 2. Звичайні диференціальні рівняння
- •§1. Поняття про диференціальні рівняння
- •§2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •§2. Диференціальні рівняння другого порядку. Рівняння, що допускають зниження порядку.
- •§4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами.
- •Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння.
- •Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами і спеціальним виглядом правої частини.
- •§5. Системи диференціальних рівнянь першого порядку. Системи лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •Розділ 3. Ряди
- •§1. Властивості числового ряду.
- •Основні властивості рядів
- •§2. Ряди з додатними членами.
- •§3. Ряди з довільними членами.
- •§4. Ряди з чергуванням знаків.
- •§5. Функціональні ряди.
- •§6. Степеневий ряд.
- •§6. Розвинення функції в степеневий ряд.
§2. Диференціальні рівняння другого порядку. Рівняння, що допускають зниження порядку.
Означення. Диференціальне рівняння другого порядку, розв’язане відносно старшої похідної, має вигляд:
.
Якщо до диференціального рівняння (2.10) приєднані початкові умови
,
то кажуть , що задано задачу Коші (2.10), (2.11).
Теорема 2.2 Якщо функція і її частинні похідні по та по неперервні у деякій області , що містить точку , то існує єдиний розв’язок задачі Коші (2.10), (2.11), визначений у деякому околі точки .
Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння другого порядку називається двопараметричне сімейство функцій , що має такі властивості:
1) будь-яка функція цього сімейства є розв’язком рівняння (2.10);
2) для будь-яких початкових умов (2.11) (точка належить області, в якій виконано умови теореми 2.2), можна так підібрати і , що функція буде їх задовольняти.
Якщо надати сталим і конкретних значень, то отримаємо частинний розв’язок. Розглянемо декілька видів рівнянь (2.10) які зводяться до рівнянь першого порядку, тобто допускають зниження порядку.
1. Нехай рівняння має вигляд . Його можна розв’язати проінтегрувавши двічі обидві його частини.
Приклад. .
Розв’язання. . Тоді
.
2. Розглянемо рівняння , яке не містить невідомої функції в явному вигляді, тоді роль невідомої функції може виконати її похідна . За допомогою заміни таке рівняння зводиться до рівняння першого порядку . Розв’язавши його знайдемо , а потім з рівняння знайдемо .
Приклад. .
Розв’язання. Застосуємо заміну . Отримаємо рівняння першого порядку , яке є однорідним. Виконаємо у ньому заміну . Одержимо ; . Замінивши на отримаємо . Застосувавши метод інтегрування частинами, одержимо загальний розв’язок .
3. Розглянемо рівняння , яке не містить незалежної змінної. Знизити порядок такого рівняння можна за допомогою заміни ( вважаємо незалежною змінною). Тоді і рівняння набуває вигляду . Нехай - загальний розв’язок цього рівняння, тоді . Останнє рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними. Розв’язавши його, отримаємо шукану функцію .
Приклад. Розв’язати задачу Коші .
Розв’язання. Рівняння не містить , тому виконаємо заміну , . Отримаємо рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними . Тоді ; . В останню рівність підставимо обидві початкові умови (обравши перед квадратним коренем знак «+», щоб вони виконувались), одержимо: , звідки . Тоді або . Розв’яжемо останнє рівняння: ; . З початкової умови , маємо: . Отримали загальний розв’язок .
§4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.
Означення. Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння виду , де - задані функції. Якщо , то рівняння називається лінійним однорідним, у протилежному випадку - лінійним неоднорідним.
Лінійні однорідні рівняння.
Розглянемо основні властивості розв’язків лінійних однорідних диференціальних рівнянь
.
1. Диференціальне рівняння (2.12) має тривіальний розв’язок .
2. Якщо функції та - частинні розв’язки рівняння (2.12), то їх лінійна комбінація , також є розв’язком цього рівняння. Дійсно,
.
Отже, лінійна комбінація також задовольняє рівняння (2.12).
Означення. Функції і називаються лінійно незалежними, на відрізку , якщо функція не є сталою на цьому відрізку.
Теорема 2.3 (про загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння). Якщо функції і - лінійно незалежні частинні розв’язки рівняння (2.12), то його загальний розв’язок має вигляд , де і - довільні сталі.
Із доведенням можна ознайомитись у підручниках і .