- •Г.В. Соколовська с.Ю. Соколовський вища математика
- •Розділ 1. Інтегральне числення
- •§1. Первісна. Невизначений інтеграл та його властивості
- •Властивості невизначеного інтеграла
- •Основні формули інтегрування
- •§2. Метод заміни змінної (підстановки) у невизначеному інтегралі
- •§3. Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі
- •§4. Інтегрування деяких виразів, що містять квадратний тричлен
- •§5. Інтегрування деяких ірраціональних і тригонометричних виразів
- •§6. Про функції, інтеграли від яких не виражаються через елементарні функції
- •§7. Визначений інтеграл та його властивості
- •Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •Властивості визначеного інтеграла
- •§8. Інтеграл зі змінною верхньою межею
- •§9. Формула Ньютона - Лейбніца
- •§10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •§11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •§12. Невластиві інтеграли
- •1. Інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невластиві інтеграли і роду).
- •2. Інтеграли від розривної функції (невластиві інтеграли роду).
- •§12. Застосування визначеного інтеграла
- •1. Обчислення площі плоскої фігури.
- •2. Обчислення довжини дуги.
- •2. Обчислення об’єму за площею поперечного перерізу.
- •Розділ 2. Звичайні диференціальні рівняння
- •§1. Поняття про диференціальні рівняння
- •§2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •§2. Диференціальні рівняння другого порядку. Рівняння, що допускають зниження порядку.
- •§4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами.
- •Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння.
- •Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами і спеціальним виглядом правої частини.
- •§5. Системи диференціальних рівнянь першого порядку. Системи лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •Розділ 3. Ряди
- •§1. Властивості числового ряду.
- •Основні властивості рядів
- •§2. Ряди з додатними членами.
- •§3. Ряди з довільними членами.
- •§4. Ряди з чергуванням знаків.
- •§5. Функціональні ряди.
- •§6. Степеневий ряд.
- •§6. Розвинення функції в степеневий ряд.
§2. Диференціальні рівняння першого порядку
Диференціальне рівняння першого порядку, має вигляд . Надалі будемо розглядати тільки рівняння, розв’язані відносно похідної невідомої функції, тобто такі диференціальні рівняння першого порядку, які можна записати у вигляді
.
Означення. Будь-яка функція , що задовольняє рівняння (2.3) називається його розв’язком. Графік цієї функції називають інтегральною кривою рівняння (2.3).
Приклад. Довести, що функція є розв’язком рівняння . Дійсно, .
Зауважимо, що будь-яка функція виду, , також є розв’язком цього рівняння. Тобто рівняння має безліч розв’язків.
Означення. Задачею Коші для диференціального рівняння першого порядку називається сукупність диференціального рівняння (2.3) і початкової умови
,
де - деякі числа.
Розв’язати задачу Коші означає знайти такий розв’язок рівняння (2.3), який задовольняє початкову умову (2.4), тобто знайти інтегральну криву рівняння, що проходить через точку .
Теорема 2.1 (достатня умова існування єдиного розв’язку задачі Коші). Якщо в деякій області , що містить початкову точку функція і її частинна похідна неперервні, то задача Коші (2.3), (2.4) має розв’язок, причому лише один, визначений в деякому околі точки .
Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається однопараметричне сімейство функцій , що задовольняє такі умови:
1) будь-яка функція цього сімейства є розв’язком рівняння (2.3);
2) для будь-якої початкової умови (2.4) в цьому сімействі знайдеться функція, що її задовольняє ( початкова точка належить області, в якій виконано умови теореми 2.1).
Частинним розв’язком диференціального рівняння називається розв’язок, який отримаємо із загального при деякому конкретному значенні сталої .
Отже, загальний розв’язок рівняння (2.3) – це сімейство інтегральних кривих. Якщо в околі точки виконано умови теореми 2.1, то через цю точку проходить тільки одна інтегральна крива вказаного сімейства.
Наведемо методи розв’язування декількох типів диференціальних рівнянь першого порядку.
1. Рівняння з відокремлюваними змінними мають вигляд
.
Як бачимо, права частина цього рівняння є добутком функції лише від і функції тільки від . Це дає можливість "відокремити змінні", тобто за допомогою множення обох частин рівняння (2.5) на вираз перетворити його на таке рівняння:
.
Нехай нам відома функція , яка задовольняє рівняння (2.5), тоді в обох частинах рівняння (2.6) стоять диференціали, що є тотожно рівними. Якщо диференціали рівні, то невизначені інтеграли від них можуть відрізнятись лише на сталий доданок. Інтегруючи обидві частини (ліву по , праву по ), одержимо: . Ця рівність неявно задає загальний розв’язок . Її називають загальним інтегралом рівняння (2.6) . Зауважимо, що розділивши обидві частини рівності (2.5) на , ми виключили з розгляду ті значення , при яких . Нехай - таке число, що . Тоді функція також є розв’язком рівняння (2.5). Його називають особливим розв’язком.
Приклад. Розв’язати диференціальне рівняння .
Розв’язання. Запишемо рівняння у вигляді . Помножимо обидві частини на , маємо: . Проінтегруємо і отримаємо загальний інтеграл: або загальний розв’язок:.
Знайдемо особливі розв’язки: .
Приклад. Розв’язати задачу Коші .
Розв’язання. Запишемо рівняння у вигляді і "відокремимо змінні". Отримаємо: ; ; або .
Особливий розв’язок можна приєднати до загального, якщо у сімействі довільна стала зможе також набувати значення . Таким чином, - всі розв’язки диференціального рівняння. Виберемо з цього сімейства частинний розв’язок, що задовольняє початкову умову . У цьому розв’язку стала має бути такою, щоб , тобто . Розв’язок задачі Коші: .
2. Однорідні диференціальні рівняння – це рівняння виду
.
Права частина такого рівняння може розглядатися як функція лише одного аргументу . Вважаємо новою невідомою функцією. При цьому , а . Рівняння (2.7) набуває вигляду або , тобто стає рівнянням з відокремлюваними змінними відносно невідомої функції . Після того, як останнє рівняння буде розв’язане, слід повернутись до невідомої функції, замінивши на .
Приклад. Розв’язати диференціальне рівняння .
Розв’язання. Це однорідне рівняння тому, що розділивши чисельник і знаменник на ми приводимо його до виду . Виконаємо заміну за формулою . Одержимо рівняння або . Останнє рівняння з відокремлюваними змінними розв’яжемо за схемою, наведеною в пункті 1.
.
Замінивши на одержимо загальний інтеграл .
3. Лінійне диференціальне рівняння має вигляд
,
де і - задані функції. Будемо шукати розв’язок лінійного рівняння у вигляді , тоді . Підставивши ці вирази в рівняння (2.8) одержимо: або
.
Підберемо функцію так, щоб вираз в дужках дорівнював нулю. Тобто знайдемо функцію як частинний розв’язок диференціального рівняння з відокремлюваними змінними .Після цього знайдену функцію підставимо в рівняння (2.9), яке тоді матиме вигляд . Знайдемо загальний розв’язок останнього рівняння. Запишемо відповідь у вигляді .
Приклад. Розв’язати диференціальне рівняння .
Розв’язання. Це лінійне рівняння, оскільки воно має вигляд (2.8), де - . Виконаємо заміну отримаємо: або . Функцію знайдемо як розв’язок рівняння . Маємо: .
Тоді . Таким чином, одержимо загальний розв’язок .