§6. Розвинення функції в степеневий ряд.

Нехай функція є сумою степеневого ряду . Тобто в інтервалі виконано рівність:

.

Назвемо цю рівність розвиненням функції в ряд по степеням . Нехай функція в кожній точці інтервалу має похідні будь-якого порядку. Оскільки степеневий ряд можна почленно диференціювати в кожній точці інтервалу збіжності, то продиференціювавши обидві частини рівності (3.8), маємо:

.

Можна продиференціювати обидві частини рівності (3.8) скільки завгодно разів.

;

;

;

.

Підставивши в ці рівності і в рівність (3.8) замість отримаємо:

Таким чином,

.

Отже, справедлива

Теорема 3.25 Якщо функція допускає розвинення в степеневий ряд в інтервалі , то це розвинення єдине.

Тобто коефіцієнти розвинення функції в ряд по степеням однозначно знаходяться за формулами (3.9).

Ряд

називають рядом Тейлора для функції .

Якщо , то ряд (3.10) набуває вигляду:

.

Він називається рядом Маклорена для функції .

Як бачимо, ряд Тейлора можна побудувати для будь-якої функції, яка диференційовна скільки завгодно разів в деякому околі точки . Але знак рівності між самою функцією і її рядом Тейлора можна поставити не завжди. Якщо - - на часткова сума ряду Тейлора, - сума залишку після - ного члена, то рівність виконана лише в тому випадку, коли (адже ).

Теорема 3.26 Ряд Тейлора представляє задану функцію тільки тоді, коли .

Розвинення деяких функцій в ряд Маклорена.

1. Запишемо ряд Маклорена для функції . Враховуючи, що , тобто . Маємо: . Знайдемо радіус збіжності цього ряду . Тоді область збіжності: .

Оцінимо залишок ряду . Вважаючи, що (адже - скінченне число, а ) в правій частині нерівності маємо геометричний ряд, сума якого дорівнює .

Тоді . Таким чином, коли . Отже при справедливе розвинення:

2. Аналогічно можна отримати розвинення:

.

3. Продиференціювавши обидві частини рівності (3.12) одержимо рівність:

.

4. Розвинення функції , називають біноміальним. Обчислимо його коефіцієнти:

,

,

, ,

.

Отже біноміальний ряд має вигляд:

.

Обчислимо його радіус збіжності

. Отже біноміальний ряд має інтервал збіжності . Можна довести, що при . Тоді одержимо рівність

Поведінка ряду на межах інтервалу залежить від того, яким числом є показник степеня .

Зауважимо,що коли - натуральне число, біноміальний ряд стає многочленом (адже коефіцієнти при всіх вищих за степенях нульові), а формула (3.14) перетворюється на формулу бінома Ньютона .

5. Запишемо розвинення функції за формулою (3.14):

.

Проінтегруємо обидві частини цієї рівності в межах від до . Отримаємо:

.

Область збіжності: .

6. Якщо в формулі (3.15) замінити на і також проінтегрувати обидві частини, то отримаємо розвинення функції .

.

Область збіжності: .

Розглянемо деякі приклади застосування степеневих рядів до наближених обчислень.

Приклад. Обчислити наближене значення функції в точці з точністю .

Розв’язання. Скористаємось розвиненням (3.11) при . Отримаємо: . Зауважимо, що , а . Замінимо суму ряду сумою перших трьох його членів . Цей числовий ряд задовольняє умови ознаки Лейбніца, тому похибка наближення не перевищує модуля першого відкинутого члена ряду . Отже, потрібна точність забезпечена.

Приклад. Обчислити наближено визначений інтеграл , розклавши підінтегральну функцію в ряд по степеням і проінтегрувавши перші два його члени. Оцінити похибку.

Розв’язання. Зауважимо, що первісна функції не виражається через елементарні функції, тобто цей інтеграл не може бути обчислений методами розглянутими в розділі . Скориставшись формулою (3.12), маємо: . Оцінимо похибку наближення: .

Приклад. Записати три перших відмінних від нуля члени розвинення в ряд по степеням розв’язку задачі Коші: .

Розв’язання. Як бачимо, це диференціальне рівняння не можна віднести до жодного з розглянутих у розділі типів, тому ми не маємо можливості знайти його загальний розв’язок. Будемо шукати розв’язок задачі Коші у вигляді ряду Маклорена:

.

Перші два члена задаються початковою умовою і диференціальним рівнянням , . Продиференціюємо обидві частини диференціального рівняння. Одержимо:

;

.

Тоді розв’язок задачі Коші має вигляд: або .

Для більш детального вивчення рядів рекомендуємо звернутись до підручників .

Література

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов, т.1, 2, – М.: Наука, 1970-1985.

2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики, - М.: Наука, 1975.

3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов, - М.: Наука, 1977.

4. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа, - М.: Наука, 1989.

5. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, - М.: Наука, 1958.

6. Матвеев Н.М. Ряды – Ленинград, 1972.

55