8.5. Математика

Первоначально люди научились воспринимать существенные различия объектов действительности. Для этого они обозначали символами определенные объекты. Символичность языка состоит в том, что объекты и их соотнесения отражены в уме людей определенными знаками. Символы в уме обозначают соотнесение объектов. Человек воспринимает одни и те же элементы действительности однокачественно, а различные элементы разнокачественно.

Различая объекты, люди выявляют особенности объектов. Основные особенности объектов предстают их качественными признаками. Этот уровень отражения действительности происходит на основе повседневного языка и возможностей его символических знаковых структур.

Родной язык передает также количественные различия объектов, что можно понять с помощью такого факта:

человек  люди  народ

(Один) (много) (все)

Более адекватное отражение действительности сталкивается с рядом затруднений на основе лингвистических технологий языков. Возникает математика посредством формирования понятия величины, количества, как средства для более адекватного отражения действительности.

На определенном уровне рассмотрения действительности различия ее объектов отступают из сферы особой важности, и объекты воспринимают как однокачественные. При этом однокачественных объектов оказывается много. При более глубоком сравнении таких множеств однокачественных объектов действительности на первый план выступает различие их множества. Чтобы учесть этот аспект различия мира, необходимо отражать качество с учетом количества, и для этого необходимо особое (скажем, кибернетическое) мышление.

Язык может быть без мышления, а мышления не может быть без языка. Математику обычно называют языком. И имеются некоторые для этого основания – у нее имеются свои знаки идей = символы. Но главное в математике процедуры или алгоритмы действий с символами (числами).

На определенной стадии развития сознания не существовало различий восприятия качественного и количественного аспектов действительности. В детстве данный этап развития истории человечества повторяет каждый человек. Затем значения этих аспектов действительности были выяснены и осознаны. Подход к действительности на основе одновременного качественного и количественного ее аспектов обеспечивает более эффективное поведение людей.

Общим качественного и количественного аспектов действительности можно считать выявление соотнесений ее элементов. Смысл соотнесений действительности может быть или интуитивно осознан, или раскрыт на основе философского ее понимания. При определении общего смысла соотнесений выясняют качественный аспект, при более конкретном отражении необходимо понятие количества на основе соответствующего языка.

Качественный аспект действительности показывают на основе национальных языков, способных давать ее общую оценку. На этой основе происходит возникновение математической формы мышления для измерения количественного аспекта действительности. Тем самым дают более адекватную оценку качества действительности.

Способности родных языков отражать качественный аспект действительности на основе количественного подхода к нему возникли в более поздний период исторического развития. Эти способности надстроились над родными языками, приобрели интернациональный характер. Способность отражать количественный аспект действительности приняла форму развития математики.

Математика как технология мышления построена на основе символов. Математические символы и их системы отражают явления, как и слова обычного языка. В то же время, существенны и особенности математических символов.

В математических формулах следует различать предметную действительность и форму ее выражения. В этом плане говорят, например, о математических формулах в физике. Они отражают законы физики и, следовательно, имеют физическое содержание. В любой формуле следует видеть ее предметное содержание и математическую форму, т.е. определенную символическую форму ее выражения.

Одно и то же предметное содержание может быть выражено различными языками, в том числе математическим.

Математика как символическая знаковая модель действительности развивается по определенным законам, имеет определенную специфику по сравнению с другими символическими знаковыми моделями действительности. Изучение математики  познание не объективной действительности, а науки об особенностях определенной формы мышления.

Математические формулы есть копии, снимки, идеальные образы, модели разных процессов действительности. Легко впасть в заблуждение о сущности собственно математики, которая есть наука о специфичности данного способа отражения действительности, вид интеллектуального ее отражения. Математик (как и лингвист)  специалист по определенному способу отражения действительности, а не по содержанию отражаемого. Несомненно, что первоначально надо изучить данный языковый способ отражения действительности с тем, чтобы затем его использовать для ее отражения.

Развитие способности к отражению одновременно и качественного, и количественного аспектов действительности произошло в виде математической формы научного отражения. Математическая форма количественного отражения является более эффективной и вне этой формы не может успешно проходить развитие научного идеального.

Математизация знаний ведет ко все более точному учету действительности и состоит в том, что степень отражения действительности достигла такого уровня точности, когда необходимо ее изложение с привлечением средств количественного выражения. Математизация выражает прогресс научного отражения действительности.

Математика  элемент действительности. Ее сущность состоит в определенной особенности идеального отражения действительности людьми. Иными словами, математика есть особенность определенной интеллектуальной системы.

Математика служит интеллектуальной формой для отражения действительности. «Математика является своеобразным языком наук, приспособленным для краткого и точного описания изучаемых явлений ...» [261.162]. «Математика не наука, а способ мышления» [109.152].

«Математика  есть язык науки» [116.162 и 604]. Математика  наиболее развитый вид символического языка. «В таких системах взаимоотношения между различными видами высказываний, множеств, аксиом и выводов из них и т.д. выражаются на языке формул» [70].

Математика  определенный вид символических моделей действительности, которые наиболее приспособлены для отражения количественных аспектов соотнесений. Математика  наука об определенном способе символического отражения действительности. « ...Математическая теория есть лишь знаковая модель для тех или иных отношений, устанавливаемых опытными (содержательными) науками» [26.8].

"Таким образом, математика  это искусственный язык по отношению к определенной содержательной области, который ввиду характера своей внутренней организации позволяет получить достаточно далекие и строгие следствия из соответствующей системы содержательных утверждений. В настоящее время характеристика математики как языка науки является общепризнанной” [там же, с. 13]. «Математика в современной физике  это наиболее адекватный язык для формулирования основных законов, которые вне этого языка не могут быть обнаружены» [198.64-65].

Наиболее общие соотнесения выражают качественным языком, что достигают с помощью формулировки законов действительности. Более конкретные соотнесения многочисленны, и их труднее достаточно полно выразить на обычном языке. Поэтому их выражение более адекватно на языке математики, в виде математических формул.

Математики обучают не материальной действительности, а определенному методу мышления о ней.

Особенность математической сигнальной системы состоит в том, что более строго определяют системы аксиом, основных (используемых) понятий и правил их соотнесения, оперирования ими. В символических системах отражение связано с решением трех основных проблем: «а) каким логическим требованиям должны удовлетворять системы аксиом или постулатов, исходя из которых строятся те или иные символические системы, б) каким требованиям должны удовлетворять правила логического оперирования знаками в рамках таких систем, в) каким логическим требованиям должно удовлетворять построение выводов и доказательства в этих системах» [70].

Математика познается на основе изучения математических дисциплин, последовательность которых состоит в следующем: арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, высшая математика, математическая логика.

Математика  постоянно развивающийся элемент действительности. Овладение им и эффективное использование его в деятельности предполагает научное его познание. Для этого следует определить множество идеального, называемого математикой, ее элементы и их специфику. В настоящий период таких работ недостаточно. Поэтому должна быть решена задача обобщающего раскрытия математики.

При осознании математики важно ее представить как и все сущее системно или теоретически. Построить такую систему могут только сами математики. Обратим внимание на некоторые ее фрагменты, которые показывают ее диалектичность как особой знаковой системы.

Основой осознания математики, вероятно, является познание таких элементов величины, как:

эталон (мера)  цифра  число  исчисление.

Это системообразующая последовательность элементов математического мышления.

Сущность явлений в первоначальном варианте познается только на основе качественного анализа. Затем эта идеальная картина уточняется с учетом ее величины на основе количественного подхода. Сущность явления выступает исходным для количественного измерения, для которого важно сначала определить эталон, меру.

Эталон меры представляет исходный момент математического подхода к действительности. По существу речь идет о том, что считать единицей и что такое единица. Многообразие единиц меры вытекает из многообразия форм действительности. Система мер постоянно развивается, усложняется и все более унифицируется, превращаясь в единую, универсальную мировую систему. В то же время сохраняются в качестве пережитков почти все существовавшие исторически виды мер. Познание эталонов меры зависит от построения их системности. Такой системности пока нет, но она может быть быстро разработана.

Цифры. Измерение величины предполагает фиксирование результатов этого процесса. Этот результат может быть выражен словесно. Адекватной формой для фиксации результатов измерений служат математические символы, имеющие по сравнению с символами родного языка определенную специфику. Эта определенность имеет преимущества перед символами родного языка: большая однозначность, лаконичность, краткость и т.п. Развитие основных математических символов прошло ряд стадий: буквенные, римские, арабские. Их используют в современной математике. Цифры  наиболее адекватные математические символы, их объединяют в определенные системы, представляющие числа.

Число  есть комбинация цифр по определенным правилам для отражения более сложного количественного аспекта действительности.

Любой языковый элемент есть способ отражения соотнесения действительности. Числа фиксируют соотнесения элементов действительности более строго, чем слова. Число  строго фиксированное соотнесение величин действительности. Числами обозначают соотнесения между элементами действительности, воспринимаемые нами в качестве величин.

Число  способ измерения количественных свойств действительности. Исходной основой для измерения служит установление свойств в виде определенных сущностей, терминологически закрепляемых в виде категорий. Затем необходимо определить величину сущности посредством эталона меры  единицы. На этой основе используют цифры и получают числа. Закономерности образования чисел из цифр зависят от используемого типа счисления.

Исчисление представляет определенные правила действия над цифрами и числами. Имеется ряд видов исчислений. Основными их видами являются символические и позиционные. Переход от символической к позиционной системе исчисления представлял прогресс математического мышления.

Конкретные способы оперирования числами (действия над числами) многообразны. Их основные группы: арифметические, алгебраические, статистические. Более конкретное их рассмотрение предполагает специальное изучение для построения их в виде системы. Умножение есть более сложный и экономный вид сложения, такое же соотношение деления и вычитания.

Способы использования математики различны и постоянно развиваются. Люди все более последовательно количественно отражают действительность  на основе количественной обработки фактического материала (в форме различных вычислений, составления таблиц, графиков и т.п.); математического оформления теорий, математического моделирования действий.

Основой систематики школьной математики является сорит логарифма. Его версия дана в самоучителе мышления.