Chapter 9

Integral Calculus

=

=

=

=

cмеЕнбзелW=СI=ЦI=мI=о= fеЗЙйЙеЗЙен=о~кб~ДдЙлW=сI=нI= ξ =

fеЗЙСбебнЙ=бенЙЦк~д=зС=~=СмеЕнбзеW= ∫Ñ(ñ)Çñ I= ∫Ö(ñ)Зс I=£= aЙкбо~нбоЙ=зС=~=СмеЕнбзеW= у′(ñ)I= Ñ′(ñ)I= c′(ñ)I=£= oЙ~д=Езелн~енлW=`I=~I=ДI=ЕI=ЗI=в= k~нмк~д=емгДЙклW=гI=еI=бI=а=

=

=

9.1 Indefinite Integral

=

865.∫Ñ(ñ)Çñ = c(ñ)+` =áÑ= c′(ñ)= Ñ(ñ)K=

866.=(∫Ñ (ñ)Çñ)′= Ñ(ñ)=

=

867. ∫âÑ (ñ)Çñ = â∫Ñ(ñ)Çñ =

=

868. ∫[Ñ(ñ)+Ö(ñ)]Çñ = ∫Ñ(ñ)Çñ + ∫Ö(ñ)Çñ =

=

869. ∫[Ñ(ñ)−Ö(ñ)]Çñ = ∫Ñ (ñ)Çñ − ∫Ö(ñ)Çñ =

=

870. ∫Ñ(~ñ)Çñ = ~N c(~ñ)+` =

227

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

871. ∫Ñ(~ñ + Ä)Çñ = ~N c(~ñ + Ä)+` =

=

872. ∫Ñ(ñ)Ñ′(ñ)Çñ = NO Ñ O (ñ)+` =

=

873. ∫ÑÑ′((ññ))Çñ = äå Ñ (ñ)+` =

=

874.jЙнЬзЗ=зС=pмДлнбнмнбзе=

∫Ñ (ñ)Çñ = ∫Ñ (ì(í))ì′(í)Çí =áÑ= ñ = ì(í)K=

=

875. fенЙЦк~нбзе=Ду=m~кнл=

∫ìÇî = ìî − ∫îÇì I==

пЬЙкЙ= м(ñ)I= î(ñ)=~кЙ=ЗбССЙкЙенб~ДдЙ=СмеЕнбзелK==

=

=

=

9.2 Integrals of Rational Functions

=

876. ∫~Çñ = ~ñ +` =

=

877. ∫ñÇñ = ñ O +` =

O

	=
	878. ∫ñ OÇñ =	ñP	+ ` =
		P
	=

ñé+N

879.∫ñ éÇñ = é +N + ` I= é ≠ −NK=

=

228

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

å

(~ñ + Ä)å+N

880.

∫(~ñ +Ä)

Çñ =

~(å +N)

+` I= å ≠ −NK=

=

881.

∫

Çñ

= äå

ñ

+ ` =

ñ

=

882.

∫

Çñ

=

N

äå

~ñ + Ä

+` =

~ñ + Ä

~

=

~ñ + Ä

ÄÅ −~Ç

883.

∫

Çñ =

~

ñ +

äå

Åñ +Ç

+` =

Åñ +Ç

Å

ÅO

=

Çñ

ñ + Ä

884.

∫

=

N

+` I= ~ ≠ Ä K=

äå

(ñ +~)(ñ + Ä)

~ −Ä

ñ +~

=

885.

∫

ñÇñ

=

N

(~ + Äñ −~ äå

~ + Äñ

)+` =

~ + Äñ

ÄO

=

ñOÇñ

N N

O

O

886.

∫

=

(~ + Äñ)

−O~(~ + Äñ)+~

äå

~ + Äñ

+` =

~ + Äñ

Ä

P

O

=

887.

∫

Çñ

=

N

äå

~ + Äñ

+` =

ñ(~ + Äñ)

~

ñ

=

888.

∫

Çñ

N

Ä

~ + Äñ

= −

+

äå

+` =

ñO (~ +Äñ)

~ñ

~O

ñ

=

889.

ñÇñ

N

~

=

äå

~ + Äñ

+

+`

=

∫(~ + Äñ)O

ÄO

~

+ Äñ

=

229

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

890.

∫

ñOÇñ

N

~O

O =

~ + Äñ −O~ äå

~ + Äñ

−

+` =

P

(~ + Äñ)

Ä

~ + Äñ

=

891.

∫

Çñ

=

N

+

N

äå

~ + Äñ

+` =

ñ(~ + Äñ)O

~(~ + Äñ)

~O

ñ

=

892.

∫

Çñ

=

N

äå

ñ −N

+ ` =

ñ

O

−N

O

ñ +N

=

N+ ñ

893.

∫

Çñ

=

N

äå

+ ` =

N

O

O

N− ñ

− ñ

=

894.

∫

Çñ

=

N

äå

~ + ñ

+ ` =

~

O

− ñ

O

O~

~ − ñ

=

895.

∫

Çñ

=

N

äå

ñ − ~

+ ` =

ñ

O

O

O~

ñ + ~

− ~

=

896.

∫

Çñ

= í~å−N ñ +` =

N

O

+ ñ

=

897.

∫

Çñ

=

N

í~å

−N

ñ

+ ` =

~

O

+ ñ

O

~

~

=

ñÇñ

N

O

O

898.

∫

=

äå(ñ

+~

)+` =

ñO +~O

O

=

∫

Çñ

N

Ä

899.

O

=

+` I= ~Ä >M K=

+ Äñ

~êÅí~å ñ

~

~Ä

~

=

230

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

900.

∫

ñÇñ

N

O

~

=

äå

ñ

+

+` =

~ + ÄñO

OÄ

Ä

=

901.

∫

Çñ

=

N

ñO

+` =

ñ(~ + ÄñO )

äå

O~

~ + ÄñO

=

902.

∫

Çñ

=

N

äå

~ + Äñ

+` =

~O −ÄOñO

O~Ä

~ −Äñ

=

903.

∫

Çñ

=

N

O~ñ

~ñO + Äñ +Å

ÄO −Q~Å

äå O~ñ

ÄO −Q~Å >M K=

=

904.

∫

Çñ

=

O

~êÅí~å

~ñO +Äñ +Å

Q~Å −ÄO

ÄO −Q~Å < M K=

=

=

=

+ Ä − ÄO −Q~Å +

` I=

+ Ä + ÄO −Q~Å

O~ñ + Ä +

` I=

Q~Å −ÄO

9.3 Integrals of Irrational Functions

	=
905.	∫	Çñ	=	O	~ñ + Ä +` =
		~ñ + Ä		~
	=
906.	∫	~ñ +Ä Çñ =			O (~ñ + Ä)PO +` =
					P~
	=			O(~ñ −OÄ)
907.	∫	ñÇñ	=			~ñ	+ Ä +` =
		~ñ + Ä			P~O

=

231

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

908.	∫ñ		~ñ + Ä Çñ =		O(P~ñ −OÄ)			(~ñ + Ä)PO +` =
					O
						NR~
	=
909.	∫		Çñ	=		N	äå ~ñ + Ä − Ä −~Å
		(ñ +Å) ~ñ + Ä				Ä −~Å		~ñ + Ä + Ä −~Å
	Ä −~Å > M K=
	=
910.	∫		Çñ	=		N	~êÅí~å		~ñ + Ä +` I==
		(ñ +Å) ~ñ + Ä				~Å −Ä			~Å −Ä
	Ä −~Å < M K=
	=
911.	∫		~ñ + Ä	Çñ = N		(~ñ + Ä)(Åñ +Ç)−=
			Åñ +Ç	Å
			− ~Ç −ÄÅ äå ~(Åñ +Ç)+ Å(~ñ +Ä) +` I= ~
			Å	~Å

=

+` I==

> M K=

912.

∫

~ñ + Ä

Çñ = N

(~ñ + Ä)(Åñ +Ç)−=

Åñ +Ç

Å

~(Åñ +Ç)

~Ç −ÄÅ

−

Å

~Å

~êÅí~å

Å(~ñ + Ä) +` I=E ~ <M I= Å >M FK==

=

O(U~O −NO~Äñ +NRÄOñO )

O

P

913.

∫ñ

~

+ Äñ Çñ =

(~ +

Äñ) +` =

NMRÄ

P

=

O(U~O −Q~Äñ +PÄOñO )

914.

∫

ñOÇñ

=

~ + Äñ +`

=

~ + Äñ

NRÄP

=

915.

∫

ñ

Çñ

=

N

äå

~ + Äñ −

~ +` I= ~ >M K=

~ + Äñ

~

~ + Äñ +

~

=

232

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

916.

∫

ñ

Çñ

=

O

~êÅí~å ~ + Äñ +` I= ~ <M K=

~ +

Äñ

−

~

−~

=

917.

∫

~ − ñ

Çñ =

(~ − ñ)(Ä + ñ)+(~ + Ä)~кЕлбе

ñ + Ä +` =

Ä + ñ

~ + Ä

=

918.

∫

~ + ñ

Çñ = −

(~ + ñ)(Ä − ñ)−(~ + Ä)~кЕлбе

Ä −ñ +` =

Ä −ñ

~ + Ä

=

919.

∫

N+ ñ

Çñ = −

N− ñO

+~кЕлбе с +` =

N− ñ

=

920.

∫

Çñ

=O~кЕлбе

ñ −~ +` =

(ñ −~)(Ä −~)

Ä −~

=

Çñ = OÅñ −Ä

921.

∫

~ +Äñ −ÅñO

~ + Äñ −ÅñO + =

QÅ

+ ÄO −Q~Å ~кЕлбе

OÅñ −Ä +` =

U ÅP

ÄO +Q~Å

=

= N äå O~ñ + Ä +O ~(~ñO + Äñ +Å)+` I==

922.

∫

~ñ

O

Çñ

+ Äñ +Å

~

~ > M K=

=

~кЕлбе O~ñ +Ä

923.

∫

O

Çñ

= − N

ÄO −Q~Å +` I= ~ <M K=

~ñ

+ Äñ +Å

~

Q~

=

924.

∫

ñO +~O Çñ =

ñ

ñO +~O +

~O äå ñ +

ñO +~O

+` =

O

O

=

233

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

925. ∫ñ ñO +~O Çñ = PN (ñO +~O )PO +` =

=

926. ∫ñO ñO +~O Çñ = ñU (OñO +~O ) ñO +~O −=

−~Q äå ñ + ñO +~O +` =

U

=

927.

∫

ñO +~O

ñO +~O

ñO

Çñ = −

ñ

+ äå ñ +

ñO +~O

+` =

=

928.

∫

ñ

OÇñ

~

O

= äå ñ +

ñ O + ~O

+ ` =

+

=

929.

∫

ñO +~O

Çñ =

ñ

O

+~

O

+~ äå

ñ

+` =

ñ

~ + ñ

O

+~

O

=

930.

∫

ñÇñO

O

=

ñO +~O +` =

ñ

+~

=

931.

∫

ñOOÇñ

O

=

ñ

ñO +~O

−

~O

äå ñ +

ñO +~O

+` =

ñ

+~

O

O

=

932.

∫

Çñ

=

N

äå

ñ

+` =

ñ

ñ

O

+~

O

~

ñ

O

+

~

O

~ +

=

933.

∫

ñO −~O Çñ =

ñ

ñO −~O

− ~O

äå ñ +

ñO −~O +` =

O

O

=

ñO −~O Çñ = N (ñO −~O )PO +` =

934.

∫ñ

P

234

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

935.

∫

ñO −~O

Çñ =

ñO −~O +~ ~кЕлбе

~

+` =

ñ

ñ

=

936.

∫

ñO −~O

Çñ = −

ñO −

~O

+ äå ñ +

ñO −~O

+` =

ñO

ñ

=

937.

∫

ñ

OÇñ

~

O

= äå ñ +

ñ O

− ~O

+ ` =

−

=

938.

∫

ñÇñO

O

=

ñO −~O

+` =

ñ

−~

=

939.

∫

ñOOÇñ

O

=

ñ

ñO −~O

+

~O

äå ñ +

ñO −~O

+` =

ñ

−~

O

O

=

940.

∫

ÇñO

O

= − N ~кЕлбе

~

+` =

ñ

ñ −~

~

ñ

=

941.

∫

Çñ

O

−~

O

=

N

ñ −~

+` =

(ñ +~) ñ

~ ñ +~

=

942.

∫

Çñ

O

−~

O

= −N

ñ +~ +` =

(ñ −~) ñ

~ ñ −~

=

943.

∫ñO

Çñ

=

ñO −~O

+` =

ñO −~O

~Oñ

=

944.

∫

(ñO

Çñ

= −

ñ

O +` =

P

O

ñ

O

−~

−~O )

O

~

=

235

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

945.

∫(ñO −~O )PO Çñ = −

ñ

(OñO

−R~O ) ñO

−~O

+=

U

+ P~Q

äå ñ + ñO −~O +` =

U

=

946.

∫

~O − ñO Çñ =

ñ

~O − ñO

+ ~O

~кЕлбе

ñ

+` =

O

O

~

=

(~O − ñO )PO +` =

947.

∫ñ

~O − ñO Çñ = −N

P

=

948.

∫ñO

~O − ñO Çñ =

ñ

(OñO −~O )

~O − ñO

+

~Q

~кЕлбе

ñ

+` =

U

U

~

=

949.

∫

~O − ñO

Çñ =

~

O

− ñ

O

+~ äå

ñ

O +` =

ñ

~

O

− ñ

~ +

=

950.

∫

~O − ñO

~O − ñO

ñ

ñO

Çñ = −

ñ

−~кЕлбе

~

+` =

=

951.

∫

Çñ O

= ~кЕлбе с + ` =

N− ñ

=

952.

∫

~

OÇñ

O

= ëáå

ñ

+ ` =

− ñ

~

=

953.

∫

ñÇñO

O

= −

~O − ñO +` =

~

− ñ

=

954.

∫

ñOOÇñ

O

= −

ñ

~O − ñO

+ ~O

~кЕлбе ñ

+` =

~

− ñ

O

O

~

236

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

955.

∫

(ñ

Çñ O

−

ñ

O

= −N

~ − ñ

+` =

+~) ~

O ~ + ñ

=

956.

∫

(ñ

Çñ O

−

ñ

O

= −N

~ + ñ

+` =

−~) ~

O ~ − ñ

=

957.

∫

Çñ

=

N

~кЕлбе

Äñ +~O

+` I= Ä > ~ K=

(ñ

+ Ä) ~

O

−

ñ

O

Ä

O

−

~

O

~(ñ

+ Ä)

=

958.

∫

Çñ

=

N

äå

ñ + Ä

+`I =

(ñ

+ Ä) ~

O

−

ñ

O

~

O

−

Ä

O

O

−Ä

O

~

O

− ñ

O

+~

O

+

~

Äñ

Ä < ~ K=

=

959.

∫ñO

Çñ

~O −

ñO

~O − ñO = −

~Oñ

+` =

=

960.

∫(~O − ñO )PO Çñ =

ñ

(R~O −OñO )

~O −ñO + P~Q

~кЕлбе ñ

+` =

U

U

~

=

961.

∫

Çñ

=

ñ

+` =

P

~

O

~

O

− ñ

O

(~O − ñO ) O

=

=

=

9.4 Integrals of Trigonometric Functions

	=
962.	∫ëáå ñÇñ = −Åçë ñ + ` =
	=
963.	∫Åçë ñÇñ = ëáå ñ + ` =

237

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

964.

∫

ëáåO ñ Çñ =

ñ

−

N

ëáåOñ +` =

O

Q

=

965.

∫

ÅçëO ñ Çñ =

ñ

+

N

ëáåOñ +` =

O

Q

=

966.

∫

ëáåP ñ Çñ =

N

ÅçëP ñ −Åçë ñ +` =

N

ÅçëPñ −

P

Åçë ñ +` =

P

NO

Q

=

967.

∫ÅçëP ñ Çñ = ëáå ñ −

N

ëáåP ñ +` =

N

ëáåPñ +

P

ëáå ñ +` =

Q

P

NO

=

Çñ

ñ

968.

∫

= ∫ÅëÅ ñ Çñ = äå

í~å

+` =

ëáå ñ

O

=

969.

∫

Çñ

= ∫ëÉÅ ñ Çñ

= äå

ñ

+

π

+` =

í~å

Åçë ñ

O

Q

=

970.

∫

Çñ

= ∫ÅëÅO ñ Çñ = −Åçí ñ +` =

ëáåO ñ

=

971.

∫

Çñ

= ∫ëÉÅO ñ Çñ = í~å ñ +` =

ÅçëO ñ

=

972.

∫

Çñ

∫ÅëÅ

P

Åçë ñ

N

ñ

=

ñ Çñ = −

+

äå

í~å

+` =

ëáåP ñ

OëáåO ñ

O

O

=

973.

∫

Çñ

=

∫

P

ñ Çñ =

ëáå ñ

+

N

ñ

+

π

+` =

ëÉÅ

äå

í~å

ÅçëP

OÅçëO

ñ

ñ

O

O

Q

=

974.

∫ëáå ñ Åçë ñ Çñ = −

N

ÅçëOñ +` =

Q

238

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

975.

∫ëáåO ñ Åçë ñ Çñ =

N

ëáåP

ñ +` =

P

=

976.

∫ëáå ñ ÅçëO ñ Çñ = −

N

ÅçëP ñ +` =

P

=

977.

∫ëáåO ñ ÅçëO ñ Çñ =

ñ

−

N

ëáåQñ +` =

U

PO

=

978.

∫í~å ñÇñ = −äå

Åçë ñ

+ ` =

=

979.

∫

ëáå ñ

N

Çñ =

+` = ëÉÅ ñ +` =

ÅçëO ñ

Åçë ñ

=

980.

∫

ëáåO ñ

Çñ =

ñ

+

π

−ëáå ñ

+` =

äå

í~å

Åçë ñ

O

Q

=

981.

∫í~åO ñ Çñ = í~å ñ − ñ +` =

=

982.

∫Åçí ñÇñ = äå

ëáå ñ

+` =

=

983.

∫

Åçë ñ

Çñ = −

N

+`

= −ÅëÅ ñ +` =

ëáåO ñ

ëáå ñ

=

984.

∫

ÅçëO ñ

Çñ = äå

í~å

ñ

+Åçë ñ +` =

ëáå ñ

O

=

985.

∫ÅçíO ñ Çñ = −Åçí ñ − ñ +` =

=

986.

∫

Çñ

= äå

í~å ñ

+

` =

Åçë ñ ëáå ñ

239

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

987.

Çñ

= −

N

+ äå

ñ

+

π

+` =

í~å

∫ëáåO ñ Åçë ñ

ëáå ñ

O

Q

=

988.

∫

Çñ

=

N

+ äå

ñ

+` =

í~å

ëáå ñ ÅçëO ñ

Åçë ñ

O

=

989.

∫

Çñ

= í~å ñ

−Åçí ñ +` =

ëáåO ñ ÅçëO ñ

=

ëáå(ã +å)ñ

ëáå(ã −å)ñ

990.

∫лбегс лбеес Зс = −

+

+` I=

O(ã +å)

O(ã −å)

ãO ≠ åO K=

=

Åçë(ã +å)ñ

Åçë(ã −å)ñ

991.

∫лбегс Езлес Зс = −

−

+` I=

O(ã +å)

O(ã −å)

ãO ≠ åO K=

=

ëáå(ã +å)ñ

ëáå(ã −å)ñ

992.

∫Езлгс Езлес Зс =

+

+` I=

O(ã +å)

O(ã −å)

ãO ≠ åO K=

=

993.

∫ëÉÅ ñ í~å ñÇñ = ëÉÅ ñ +` =

=

994.

∫ÅëÅ ñ Åçí ñÇñ = −ÅëÅ ñ + ` =

=

995.∫ëáå ñ Åçëå ñ Çñ = −Åçëå+N ñ +` =

å+N

=

996.∫ëáåå ñ Åçë ñ Çñ = ëáåå+N ñ +` =

å+N

=

240

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

997. ∫~кЕлбе с Зс = с ~кЕлбе с + N−ñO +` =

=

998. ∫~кЕЕзл с Зс = с ~кЕЕзл с − N− ñO +` =

=

999. ∫~êÅí~å ñ Çñ = ñ ~êÅí~å ñ − NO äå(ñ O +N)+ ` =

		=							äå(ñ O +N)+ ` =
	1000.	∫~êÅ Åçí ñ Çñ = ñ ~êÅ Åçí ñ +					N
							O
		=
		=
		=
	9.5 Integrals of Hyperbolic Functions
		=
	1001.	∫ëáåÜ ñÇñ = ÅçëÜ ñ +` =
		=
	1002.	∫ÅçëÜ ñÇñ = ëáåÜ ñ +` =
		=
	1003.	∫í~åÜ ñ Çñ = деЕзлЬ с +` =
		=
	1004.	∫ÅçíÜ ñ Çñ = äå		ëáåÜ ñ		+` =
		=
	1005.	∫ëÉÅÜO ñÇñ = í~åÜ ñ +` =
		=
	1006.	∫ÅëÅÜO ñÇñ = −ÅçíÜ ñ +` =
		=
	1007.	∫лЙЕЬс н~еЬ сЗс = −лЙЕЬс +` =
		=
		241

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1008. ∫ЕлЕЬс ЕзнЬ сЗс = −ЕлЕЬс +` =

=

=

=

9.6 Integrals of Exponential and Logarithmic Functions

=

1009.

∫Éñ Çñ =Éñ +` =

=

1010.

∫

~ ñ Çñ =

~ ñ

+ ` =

äå ~

=

1011.

∫

É~ñ

Çñ =

É~ñ

+` =

~

=

1012.

∫

ñÉ~ñ

Çñ =

É~ñ

(~ñ −N)+` =

O

~

=

1013.

∫äå ñ Çñ = ñ äå ñ − ñ +` =

=

1014.

∫

Çñ

=

äå

äå ñ

+` =

ñ äå ñ

=

1015.

∫

ñ

å

äå ñ Çñ = ñ

å+N

äå ñ

−

N

+` =

å +N

(å

O

+N)

=

~ëáå Äñ −ДЕзлДс

1016.

∫

É

~ñ

лбеДс Зс =

É

~ñ

+` =

~

O

+ Ä

O

=

242

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1017. ∫É~ñ ЕзлДс Зс = ~Åçë Äñ +Äëáå Äñ É~ñ +` = ~O +ÄO

=

=

=

9.7 Reduction Formulas

=

1018.

∫

ñ å Éãñ Çñ =

N

ñ å Éãñ −

å

∫ñ å−NÉãñ Çñ =

ã

ã

=

1019.

∫

Éãñ

Éãñ

ã

∫

Éãñ

Çñ = −

+

Çñ I= å ≠NK=

ñ å

(å −N)ñ å−N

å −N

ñ å−N

=

å −N

1020.

∫

ëáåÜå ñÇñ =

N

ëáåÜå−N ñ ÅçëÜ ñ −

∫ëáåÜå−O ñÇñ =

å

å

=

å − O

Çñ

ÅçëÜ ñ

Çñ

1021.

∫

= −

−

∫

I= å ≠NK=

ëáåÜå ñ

(å −N)ëáåÜå−N ñ

å −N

ëáåÜå−O ñ

=

å −N

1022.

∫

ÅçëÜ å ñÇñ =

N

ëáåÜ ñ ÅçëÜå−N ñ ÅçëÜ ñ +

∫ÅçëÜå−O ñÇñ =

å

å

=

å − O

Çñ

ëáåÜ ñ

Çñ

1023.

∫

= −

+

∫

I= å ≠NK=

ÅçëÜå ñ

(å −N)ÅçëÜå−N ñ

å −N

ÅçëÜå−O ñ

=

1024.

∫

ëáåÜå ñ ÅçëÜã ñÇñ =

ëáåÜå+N ñ ÅçëÜã−N ñ

=

å +ã

ã −N

+

∫ëáåÜå ñ ÅçëÜã−O ñÇñ =

å +ã

=

1025.

∫

ëáåÜå ñ ÅçëÜã ñÇñ =

ëáåÜå−N ñ ÅçëÜã+N ñ

=

å +ã

243

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

−

å −N

∫ëáåÜå−O ñ ÅçëÜã ñÇñ =

å +ã

=

1026.

∫

í~åÜå ñÇñ = −

N

í~åÜå−N ñ +∫í~åÜå−O ñÇñ I= å ≠NK=

å −N

=

1027.

∫

ÅçíÜå ñÇñ = −

N

ÅçíÜå−N

ñ +∫ÅçíÜå−O ñÇñ I= å ≠NK=

å −N

=

1028.

∫

ëÉÅÜå ñÇñ =

ëÉÅÜå−Oñ í~åÜ ñ

+

å −O

∫ëÉÅÜå−OñÇñ I= å ≠NK=

å −N

å −N

=

å −N

1029.

∫

ëáåå ñÇñ = −

N

ëáåå−N ñ Åçë ñ +

∫ëáåå−O ñÇñ =

å

å

=

å − O

Çñ

Åçë ñ

Çñ

1030.

∫

= −

+

∫

I= å ≠NK=

ëáåå ñ

(å −N)ëáåå−N ñ

å −N

ëáåå−O ñ

=

å −N

1031.

∫

Åçëå ñÇñ =

N

ëáå ñ Åçëå−N ñ +

∫Åçëå−O ñÇñ =

å

å

=

å − O

Çñ

ëáå ñ

Çñ

1032.

∫

=

+

∫

I= å ≠NK=

Åçëå ñ

(å −N)Åçëå−N ñ

å −N

Åçëå−O ñ

=

1033.

∫

ëáåå ñ Åçëã ñÇñ =

ëáåå+N ñ Åçëã−N ñ

=

ã −N

å + ã

+

∫ëáåå ñ Åçëã−O

ñÇñ =

å + ã

=

1034.

∫

ëáåå ñ Åçëã ñÇñ = −

ëáåå−N ñ Åçëã+N ñ

=

å + ã

244

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

+

å −N

∫ëáåå−O ñ Åçëã ñÇñ =

å + ã

=

1035.

∫

í~åå ñÇñ =

N

í~åå−N ñ −∫í~åå−O ñÇñ I= å ≠NK=

−N

å

=

1036.

∫

Åçíå ñÇñ = −

N

Åçíå−N ñ − ∫Åçíå−O ñÇñ I= å ≠NK=

å −N

=

1037.

∫

ëÉÅå ñÇñ =

ëÉÅå−O ñ í~å ñ

+

å −O

∫ëÉÅå−O

ñÇñ I= å ≠NK=

å −N

å −N

=

1038.

∫

ÅëÅå ñÇñ = −

ÅëÅå−O ñ Åçí ñ

+

å −O

∫ÅëÅå−O ñÇñ I= å ≠NK=

å −N

å −N

=

1039.

∫

ñ å äåã ñÇñ =

ñ å+N äåã ñ

−

ã

∫ñ å äåã−N ñÇñ =

å +N

å +N

=

1040.

∫

äåã ñ

Çñ = −

äåã ñ

+

ã

∫

äåã−N ñ

Çñ I= å ≠NK=

ñ å

(å −N)ñ å−N

å −N

ñ å

=

1041.

∫äåå ñÇñ = ñ äåå ñ −å∫äåå−N ñÇñ =

=

1042.

∫ñ å ëáåÜ ñÇñ = ñ å ÅçëÜ ñ − å∫ñ å−N ÅçëÜ ñÇñ =

=

1043.

∫ñ å ÅçëÜ ñÇñ = ñ å ëáåÜ ñ −å∫ñ å−N ëáåÜ ñÇñ =

=

1044.

∫ñ å ëáå ñÇñ = −ñ å Åçë ñ + å∫ñ å−N Åçë ñÇñ =

=

1045.

∫ñ å Åçë ñÇñ = ñ å ëáå ñ − å∫ñ å−N ëáå ñÇñ =

245

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1046.	∫ñå ëáå−N ñÇñ =	ñå+N	ëáå−N ñ −	N	∫
		å +N		å +N
	=
1047.	∫ñå Åçë−N ñÇñ =	ñå+N	Åçë−N ñ +	N		∫
		å +N		å +N

=

ñå+N

N− ñO Çñ =

ñå+N

N− ñO Çñ =

1048.

∫

å

−N

ñÇñ =

ñå+N

−N

−

N

∫

ñå+N

ñ

í~å

í~å

ñ

Çñ =

å +N

å +N

N+ ñO

=

1049.

∫

ñ å Çñ

=

ñ

−

Ä

∫

Çñ

=

~ñ

å

+ Ä

~

~

~ñ

å

+

Ä

=

− O~ñ − Ä

1050.

∫

Çñ

=

=

(~ñ

O

+ Äñ +

å

(å

−N)(Ä

O

− Q~Å)(~ñ

O

+ Äñ +

å−N

Å)

Å)

−

O(Oå −P)~

∫

Çñ

I= å ≠NK=

(å −N)(ÄO − Q~Å)

(~ñ O + Äñ + Å)å−N

=

Oå −P

1051.

∫

Çñ

=

ñ

+

∫

Çñ

I

(ñ

O

+ ~

O

å

O(å −N)~

O

(ñ

O

+

~

O

å−N

O(å −N)~

O

(ñ

O

O

å−N

)

)

+ ~

)

å ≠NK=

=

1052.

∫

Çñ

= −

ñ

=

(ñ

O

− ~

O

å

O(å −N)~

O

(ñ

O

− ~

O

å−N

)

)

−

Oå −P

∫

Çñ

I= å ≠NK=

O(å −N)~O

(ñ O − ~O )å−N

=

=

=

=

=

246

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

9.8 Definite Integral

=

aЙСбебнЙ=бенЙЦк~д=зС=~=СмеЕнбзеW= ∫Ä Ñ(ñ)Çñ I= ∫Ä Ö(ñ)Çñ I=£=

~

~

å

oáÉã~åå=ëìãW= ∑Ñ(ξá )∆ñá ==

á=N

pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ñá == ^енбЗЙкбо~нбоЙлW= c(ñ)I= d(ñ)== iбгбнл=зС=бенЙЦк~нбзелW=~I=ДI=ЕI=З=

=

			=
Ä		å
1053. ∫Ñ(ñ)Çñ =	äáãå→∞	∑Ñ(ξá	)∆ñ á I==
~	ã~ñ ∆ñá →M á=N

пЬЙкЙ== ∆ñá = ñá −ñá−N I== ñá−N ≤ξá ≤ ñá K==

=

=

=

Figure 179.

=

247

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1054. ∫Ä NÇñ = Ä −~ =

~

=

1055. ∫Ä âÑ (ñ)Çñ = â∫Ä Ñ(ñ)Çñ =

~~

=

1056. ∫Ä [Ñ (ñ)+Ö(ñ)]Çñ = ∫Ä Ñ(ñ)Çñ + ∫Ä Ö(ñ)Çñ =

~

~

~

=

1057. ∫Ä [Ñ (ñ)−Ö(ñ)]Çñ = ∫Ä Ñ (ñ)Çñ − ∫Ä Ö(ñ)Çñ =

~

~

~

=

1058. ∫~ Ñ(ñ)Çñ = M =

~

=

1059. ∫Ä Ñ(ñ)Çñ = −∫~ Ñ(ñ)Çñ =

~Ä

=

1060. ∫Ä Ñ(ñ)Çñ = ∫Å Ñ (ñ)Çñ + ∫Ä Ñ (ñ)Çñ =Ñçê= ~ < Å < Ä K=

~

~

Å

=

1061. ∫Ä Ñ(ñ)Çñ ≥ M =áÑ= Ñ(ñ)≥M =çå=[~IÄ]K=

~

=

1062. ∫Ä Ñ(ñ)Çñ ≤ M =áÑ= Ñ(ñ)≤M =çå=[~IÄ]K=

~

=

=

=

=

248

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1063. cмеЗ~гЙен~д=qЬЙзкЙг=зС=`~дЕмдмл=

Ä

∫Ñ(ñ)Çñ = c(ñ)~Ä = c(Ä)−c(~)=áÑ= c′(ñ)= Ñ(ñ)K=

~

=

1064. jЙнЬзЗ=зС=pмДлнбнмнбзе==
fÑ= ñ = Ö(í)I=íÜÉå==
Ä	Ç
∫					′
	Ñ(ñ)Çñ = ∫Ñ (Ö(í))Ö (í)Çí I==
~	Å
пЬЙкЙ=
Å = Ö−N(~)I= Ç = Ö−N(Ä)K=
=
1065. fенЙЦк~нбзе=Ду=m~кнл=
∫Ä ìÇî =(ìî)				~Ä − ∫Ä îÇì =
~	~
=
1066. qк~йЙтзбЗ~д=oмдЙ=							á ) =
∫	Ñ(ñ)Çñ = Ä −~ Ñ (ñM )+Ñ(ñå )+O∑Ñ(ñ
Ä						å−N
~		Oå				á=N
=

249

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=

=

Figure 180.

=

1067. pбгйлзе∞л=oмдЙ==

∫Ä Ñ(ñ)Çñ = ÄP−å~ [Ñ (ñM )+QÑ (ñN )+OÑ(ñO )+QÑ (ñP )+ =

~

+OÑ(ñQ )+K+QÑ(ñå−N )+Ñ(ñå )]I==

пЬЙкЙ==

ñá = ~ + Ä å−~ á I= á =MINI OIKI å K==

=

250

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=

=

Figure 181.

=

1068. ^êÉ~=råÇÉê=~=`ìêîÉ=

p = ∫Ä Ñ(ñ)Çñ =c(Ä)−c(~)I==

~

пЬЙкЙ= c′(ñ)= Ñ(ñ)K=

=

251

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=

=

Figure 182.

=

1069. ^кЙ~=_ЙнпЙЙе=qпз=`мкоЙл=

p = ∫Ä [Ñ(ñ)−Ö(ñ)]Çñ = c(Ä)−d(Ä)−c(~)+d(~)I==

~

пЬЙкЙ= c′(ñ)= Ñ(ñ)I= d′(ñ)= Ö(ñ)K=

=

252

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=

=

Figure 183.

=

=

=

9.9 Improper Integral

=

1070. qЬЙ=ЗЙСбебнЙ=бенЙЦк~д== ∫Ä Ñ(ñ)Çñ =áë=Å~ääÉÇ=~å=бгйкзйЙк=бенЙЦк~д=

~

áÑ==

• ~=зк=Д=бл=беСбебнЙI=

• Ñ(ñ)==Ь~л==зеЙ==зк==гзкЙ=йзбенл=зС==ЗблЕзенбембну=

=====бе=нЬЙ=бенЙко~д=[~IÄ]K=

=

1071. fÑ= Ñ(ñ)=бл=~=Езенбемзмл=СмеЕнбзе=зе=[~I∞)I=íÜÉå==

∞å

∫Ñ (ñ)Çñ = äáãå→∞ ∫Ñ (ñ)Çñ K=

~~

=

253

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=

=

Figure 184.

=

1072. fÑ= Ñ(ñ)=бл=~=Езенбемзмл=СмеЕнбзе=зе= (−∞IÄ]I=íÜÉå==

∫Ä Ñ(ñ)Çñ =	åäáã→ −∞ ∫Ä Ñ (ñ)Çñ K=
−∞	å
=

=

=

Figure 185.

254

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

kзнЙ=W=qЬЙ=бгйкзйЙк=бенЙЦк~дл=бе=NMTNI=NMTO=~кЙ=ЕзеоЙкЦЙен= бС=нЬЙ=дбгбнл=Йсблн=~еЗ=~кЙ=СбебнЙX=знЬЙкпблЙ=нЬЙ=бенЙЦк~дл=~кЙ= ЗбоЙкЦЙенK=

=

1073. ∞∫Ñ(ñ)Çñ = ∫Å Ñ (ñ)Çñ + ∞∫Ñ (ñ)Çñ =

−∞

−∞

Å

=

=

=

Figure 186.

=

fС=Сзк=лзгЙ=кЙ~д=емгДЙк=ЕI=ДзнЬ=зС=нЬЙ=бенЙЦк~дл=бе=нЬЙ=кбЦЬн=

лбЗЙ= ~кЙ= ЕзеоЙкЦЙенI= нЬЙе= нЬЙ= бенЙЦк~д=	∞∫Ñ(ñ)Çñ = áë= ~äëç=====
	−∞

ЕзеоЙкЦЙенX=знЬЙкпблЙ=бн=бл=ЗбоЙкЦЙенK=

=

1074. `згй~кблзе=qЬЙзкЙгл=

iÉí== Ñ(ñ)=~åÇ== Ö(ñ)==ДЙ==Езенбемзмл==СмеЕнбзел==зе=нЬЙ=ЕдзлЙЗ= бенЙко~д= [~I∞)K= pмййзлЙ= нЬ~н= M ≤ Ö(ñ)≤ Ñ(ñ)= Ñçê= ~ää= ñ= áå= [~I∞)K=

255

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

• fÑ= ∞∫Ñ(ñ)Зс =бл=ЕзеоЙкЦЙенI=нЬЙе= ∞∫Ö(ñ)Çñ =áë=~äëç=

~

~

=====ЕзеоЙкЦЙенI=

• fÑ= ∞∫Ö(ñ)Зс =бл=ЗбоЙкЦЙенI=нЬЙе= ∞∫Ñ(ñ)Зс =бл=~длз=ЗбоЙкЦЙенK=

~

~

=

1075. ^ДлздмнЙ=`зеоЙкЦЙеЕЙ=

=

fÑ= ∞∫Ñ (ñ)Зс =бл=ЕзеоЙкЦЙенI=нЬЙе=нЬЙ=бенЙЦк~д ∞∫Ñ(ñ)Çñ =áë=~Äëç-

~

~

дмнЙду=ЕзеоЙкЦЙенK===

=

1076. aблЕзенбемзмл=fенЙЦк~еЗ=

iÉí= Ñ(ñ)=ДЙ=~=СмеЕнбзе=пЬбЕЬ=бл=Езенбемзмл=зе=нЬЙ=бенЙко~д== [~IÄ)=Дмн=бл=ЗблЕзенбемзмл=~н= с = Ä K=qÜÉå==

Ä	Ä−ε
∫Ñ(ñ)Çñ = εäáã→M+	∫Ñ (ñ)Çñ =
~	~
=

=

=

Figure 187.

256

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1077. iÉí= Ñ (ñ)=ДЙ=~=Езенбемзмл=СмеЕнбзе=Сзк=~дд=кЙ~д=емгДЙкл==с==бе= нЬЙ=бенЙко~д==[~IÄ]==ЙсЕЙйн==Сзк==лзгЙ=йзбен==Е==бе= (~IÄ)K=qÜÉå=

Ä	Å−ε	Ä
∫Ñ(ñ)Çñ = ε→äáãM+	∫Ñ(ñ)Çñ +δ→äáãM+	∫Ñ(ñ)Çñ K=
~	~	Å+δ
=

=

=

Figure 188.

=

=

=

9.10 Double Integral

=

cмеЕнбзел=зС=нпз=о~кб~ДдЙлW= С(ñIó)I= Ñ(ìIî)I=£= aзмДдЙ=бенЙЦк~длW= ∫∫Ñ(ñIó)ÇñÇó I= ∫∫Ö(ñIó)ÇñÇó I=£=

o

o

oáÉã~åå=ëìãW= ∑∑ã å Ñ (ìá Iîà )∆ñá∆óà =

á=N à=N

pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ñá I= ∆óà =

oЙЦбзел=зС=бенЙЦк~нбзеW=oI=p== mзд~к=ЕззкЗбе~нЙлW= к I= θ=

257

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

^êÉ~W=^=

pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=

sздмгЙ=зС=~=лздбЗW=s=

j~лл=зС=~=д~гбе~W=г= aЙелбнуW= ρ(ñIó)= cбклн=гзгЙенлW= jñ I= jó =

jзгЙенл=зС=беЙкнб~W= fñ I= fó I= fM =

`Ь~кЦЙ=зС=~=йд~нЙW=n= `Ь~кЦЙ=ЗЙелбнуW= σ(ñIó)=

`ззкЗбе~нЙл=зС=ЕЙенЙк=зС=г~ллW= ñ I= ó = ^оЙк~ЦЙ=зС=~=СмеЕнбзеW=µ=

=

1078. aЙСбебнбзе=зС=aзмДдЙ=fенЙЦк~д= qЬЙ=ЗзмДдЙ=бенЙЦк~д=зоЙк=~=кЙЕн~еЦдЙ= [~I Ä]×[ÅI Ç]=бл=ЗЙСбеЙЗ=

íç=ÄÉ==

∫∫Ñ (ñI ó)Ç^ =

[~I Ä]×[ÅI Ç]

ã~ñäáã∆ñ →M	∑∑ã å	Ñ (ìá I î à )∆ñ á ∆ó à I==
ã~ñ ∆óáà →M	á=N à=N

пЬЙкЙ= (ìá Iîà )=бл=лзгЙ=йзбен=бе=нЬЙ=кЙЕн~еЦдЙ=

(ñá−N Iñá )×(óà−N Ióà )I=~åÇ= ∆ñá = ñá −ñá−N I= ∆óà = óà − óà−N K=

=

====

Figure 189.

258

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

qЬЙ=ЗзмДдЙ=бенЙЦк~д=зоЙк=~=ЦЙеЙк~д=кЙЦбзе=o=бл==

∫∫Ñ(ñIó)Ç^ =	∫∫Ö(ñIó)Ç^ I==
o	[~I Ä]×[ÅI Ç]

пЬЙкЙ=кЙЕн~еЦдЙ=[~I Ä]×[ÅI Ç]=Åçåí~áåë=oI==

Ö(ñIó)=Ñ(ñIó)=áÑ= Ñ(ñIó)=áë=áå=o=~åÇ= Ö(ñIó)=M =знЬЙкпблЙK=

=

=

=

Figure 190.

=

1079. ∫∫[Ñ (ñIó)+Ö(ñIó)]Ç^ = ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ + ∫∫Ö(ñIó)Ç^ =

o

o

o

=

1080. ∫∫[Ñ (ñIó)−Ö(ñIó)]Ç^ = ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ − ∫∫Ö(ñIó)Ç^ =

o

o

o

=

1081. ∫∫âÑ (ñIó)Ç^ = â∫∫Ñ(ñIó)Ç^ I==

o

o

пЬЙкЙ=в=бл=~=Езелн~енK=

=

1082. fÑ= Ñ(ñIó)≤Ö(ñIó)=çå=oI=íÜÉå= ∫∫Ñ(ñIó)Ç^ ≤ ∫∫Ö(ñIó)Ç^ K=

o

o

=

1083. fÑ= Ñ(ñIó)≥ M =çå=o=~åÇ= p o I=íÜÉå=

259

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

= ∫∫Ñ(ñIó)Ç^ ≤ ∫∫Ñ(ñIó)Ç^ K=

p

o

=

=

=

Figure 191.

=

1084. fÑ= Ñ(ñIó)≥ M =çå=o=~åÇ=o=~åÇ=p=~êÉ=åçå-зоЙкд~ййбеЦ= кЙЦбзелI=нЬЙе= ∫∫Ñ(ñIó)Ç^ = ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ + ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ K==

o p

o

p

eЙкЙ= o p =бл=нЬЙ=мебзе=зС=нЬЙ=кЙЦбзел=o=~еЗ=pK=

=

=

=

Figure 192.

=

=

260

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1085. fнЙк~нЙЗ=fенЙЦк~дл=~еЗ=cмДбеб∞л=qЬЙзкЙг=

	Ä	è(ñ )
∫∫Ñ(ñIó)Ç^ = ∫		∫Ñ(ñIó)ÇóÇñ ==
o	~ é(ñ )

Сзк=~=кЙЦбзе=зС=нуйЙ=fI==

o ={(ñIó)ö ~ ≤ ñ ≤ ÄI é(ñ)≤ ó ≤è(ñ)}K=

=

=

=

=		Figure 193.
		î(ó )
	Ç
∫∫Ñ(ñIó)Ç^ = ∫		∫Ñ (ñIó)ÇñÇó ==
o	Å ì(ó )

Сзк=~=кЙЦбзе=зС=нуйЙ=ffI=

o ={(ñIó)ö ì(ó)≤ ñ ≤ î(ó)I Å ≤ ó ≤Ç}K=

=

261

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=

=

Figure 194.

=

1086. aзмДдЙ=fенЙЦк~дл=зоЙк=oЙЕн~еЦмд~к=oЙЦбзел=

=

fС=o=бл=нЬЙ=кЙЕн~еЦмд~к=кЙЦбзе=[~IÄ]×[ÅIÇ]I=íÜÉå==

Ä Ç

Ç Ä

∫∫Ñ(ñIó)ÇñÇó = ∫

∫Ñ(ñIó)Çñ

∫Ñ(ñIó)Çó Çñ =

∫

Çó K==

o

~

Å

Å

~

=

fе=нЬЙ=лйЙЕб~д=Е~лЙ=пЬЙкЙ=нЬЙ=бенЙЦк~еЗ= С(ñIó)=Å~å=ÄÉ=ïêáí-

íÉå=~ë= Ö(ñ)Ü(ó)=ïÉ=Ü~îÉ==

∫∫Ñ(ñIó)ÇñÇó = ∫∫Ö(ñ)Ü(ó)ÇñÇó =

Ä

Ç

∫Ö(ñ)Çñ

∫Ü(ó)Çó K==

o

o

~

Å

=

1087. `Ü~åÖÉ=çÑ=s~êá~ÄäÉë=

∂(ñIó)

∫∫Ñ(ñIó)ÇñÇó = ∫∫Ñ[ñ(ìIî)Ió(ìIî)]

ÇìÇî I==

∂(ìIî)

o

∂(ñIó)

p

∂ñ

∂ñ

пЬЙкЙ=

=

∂ì

∂î

≠ M áë= íÜÉ= à~ÅçÄá~å= çÑ= íÜÉ= íê~åë-

∂(ìIî)

∂ó

∂ó

∂ì

∂î

Сзкг~нбзел= (ñIó)

→(ìIî)

I=~еЗ=p=бл=нЬЙ=ймддД~Ев=зС=o=пЬбЕЬ=

262

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Е~е=ДЙ=ЕзгймнЙЗ=Ду= с = ñ(ìIî)I= ó = ó(ìIî)=бенз=нЬЙ=ЗЙСбеб-

íáçå=çÑ=oK==

=

1088. mзд~к=`ззкЗбе~нЙл=

ñ = êÅçëθI= ó = êëáåθK==

=

=

=

Figure 195.

=

1089. aзмДдЙ=fенЙЦк~дл=бе=mзд~к=`ззкЗбе~нЙл=

=

qЬЙ=aбССЙкЙенб~д=ЗсЗу=Сзк=mзд~к=`ззкЗбе~нЙл=бл==

ÇñÇó = ∂((ñIó))ÇêÇθ= êÇêÇθ K==

∂ êIθ

=

iЙн=нЬЙ=кЙЦбзе=o=бл=ЗЙнЙкгбеЙЗ=~л=СзддзплW=

M ≤ Ö(θ)≤ ê ≤ Ü(θ)I= α ≤ θ≤β I=пЬЙкЙ=β−α ≤ OπK== qÜÉå==

	β Ü(θ)
∫∫Ñ(ñIó)ÇñÇó = ∫ ∫Ñ(êÅçëθIêëáåθ)êÇêÇθK=
o	α Ö(θ)

=

263

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=

=

Figure 196.

=

fС=нЬЙ=кЙЦбзе=o=бл=нЬЙ=éçä~ê=êÉÅí~åÖäÉ=ЦбоЙе=Ду== M ≤ ~ ≤ ê ≤ Ä I= α ≤θ≤β I=пЬЙкЙ=β−α ≤OπI===

íÜÉå==

βÄ

∫∫Ñ(ñI ó)ÇñÇó = ∫∫Ñ(ê Åçë θIê ëáå θ)êÇêÇθK==

o

α ~

=

=

=

Figure 197.

=

=

264

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1090. ^кЙ~=зС=~=oЙЦбзе=

Ä Ñ (ñ )

^ = ∫ ∫ЗуЗс =EСзк=~=нуйЙ=f=кЙЦбзеFK=

~ Ö(ñ )

=

=

=

Figure 198.

=

Ç è(ó )

^ = ∫ ∫ЗсЗу =EСзк=~=нуйЙ=ff=кЙЦбзеFK=

Å é(ó )

=

=

=

Figure 199.

=

=

265

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1091. sздмгЙ=зС=~=pздбЗ= s = ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ K==

o

=

=

=

Figure 200.

=

fС=o=бл=~=нуйЙ=f=кЙЦбзе=ДзмеЗЙЗ=Ду= с = ~ I= ñ = Ä I= ó = Ü(ñ)I= ó = Ö(ñ)I=íÜÉå==

	Ä	Ö(ñ )
s = ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ = ∫		∫Ñ(ñIó)ÇóÇñ K==
o	~ Ü(ñ )

=

fС=o=бл=~=нуйЙ=ff=кЙЦбзе=ДзмеЗЙЗ=Ду= у = Å I= ó =Ç I= ñ = è(ó)I= ñ = é(ó)I=íÜÉå=

	Ç	è(ó )
s = ∫∫Ñ(ñIó)Ç^ = ∫		∫Ñ(ñIó)ÇñÇó K==
o	Å é(ó )

=

266

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

fÑ== Ñ(ñIó)≥ Ö(ñIó)==зоЙк==~==кЙЦбзе==oI==нЬЙе==нЬЙ==оздмгЙ==зС= нЬЙ= лздбЗ= ДЙнпЙЙе= тN =Ñ(ñIó)= ~åÇ= òO =Ö(ñIó)= çîÉê= o= áë=

ЦбоЙе=Ду=

s = ∫∫[Ñ(ñIó)−Ö(ñIó)]Ç^ K==

o

=

1092. ^кЙ~=~еЗ=sздмгЙ=бе=mзд~к=`ззкЗбе~нЙл= fС=p=бл=~=кЙЦбзе=бе=нЬЙ=су-йд~еЙ=ДзмеЗЙЗ=Ду= θ= α I= θ=βI= ê = Ü(θ)I= ê = Ö(θ)I==

íÜÉå==

	β Ö(θ)
^ = ∫∫Ç^ = ∫ ∫êÇêÇθI==
p	α Ü(θ)

s = ∫∫Ñ (êIθ)êÇêÇθ K==

p

=

=

=

Figure 201.

=

1093. pìêÑ~ÅÉ=^êÉ~=

		∂ò	O		O
p = ∫∫					∂ò	ÇñÇó =
	N+			+
o		∂ñ			∂ó

=

267

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1094. j~ëë=çÑ=~=i~ãáå~= ã = ∫∫ρ(ñIó)Ç^ I==

o

пЬЙкЙ==нЬЙ==д~гбе~==зЕЕмйбЙл==~==кЙЦбзе==o=~еЗ==бнл==ЗЙелбну==~н= ~=йзбен=EсIуF=бл= ρ(ñIó)K===

=

1095. jзгЙенл= qЬЙ=гзгЙен=зС=нЬЙ=д~гбе~=~Дзмн=нЬЙ==с-~сбл==бл=ЦбоЙе=Ду=Сзк-

ãìä~=

jñ = ∫∫óρ(ñIó)Ç^ K==

o

=

qЬЙ=гзгЙен=зС=нЬЙ=д~гбе~=~Дзмн=нЬЙ=у-~ñáë=áë= jó = ∫∫ñρ(ñIó)Ç^ K=

o

					=
	qЬЙ=гзгЙен=зС=беЙкнб~=~Дзмн=нЬЙ=с-~ñáë=áë=
	fñ = ∫∫óOρ(ñIó)Ç^ K==
		o
					=
	qЬЙ=гзгЙен=зС=беЙкнб~=~Дзмн=нЬЙ=у-~ñáë=áë=
	fó = ∫∫ñOρ(ñIó)Ç^ K==
		o
					=
	qЬЙ=йзд~к=гзгЙен=зС=беЙкнб~=бл=
	fM = ∫∫(ñO + óO )ρ(ñIó)Ç^ K==
		o
	=
	1096. `ЙенЙк=зС=j~лл=					∫∫ñρ(ñIó)Ç^
	ñ =	jó	=	N	∫∫ñρ(ñIó)Ç^ =
						o	I==
						∫∫ρ(ñIó)Ç^
		ã		ã o

o

268

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

ó =	jñ	=	N	∫∫óρ(ñIó)Ç^ =	∫∫óρ(ñIó)Ç^
					o	K==
					∫∫ρ(ñIó)Ç^
ã			ã o
					o

=

1097. `Ü~êÖÉ=çÑ=~=mä~íÉ= n = ∫∫σ(ñI ó)Ç^ I==

o

пЬЙкЙ=ЙдЙЕнкбЕ~д=ЕЬ~кЦЙ=бл=ЗблнкбДмнЙЗ=зоЙк=~=кЙЦбзе=o=~еЗ=бнл= ЕЬ~кЦЙ=ЗЙелбну=~н=~=йзбен=EсIуF=бл= σ(ñIó)K===

=

1098. ^оЙк~ЦЙ=зС=~=cмеЕнбзе=

µ= N ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ I== p o

пЬЙкЙ= p = ∫∫Ç^ K==

o

=

=

=

9.11 Triple Integral

=

cмеЕнбзел=зС=нЬкЙЙ=о~кб~ДдЙлW= С(ñIóIò)I= Ö(ñIóIò)I=£= qкбйдЙ=бенЙЦк~длW= ∫∫∫ Ñ(ñIóIò)Çs I= ∫∫∫ Ö(ñIóIò)Çs I=£=

d

d

oáÉã~åå=ëìãW= ∑∑∑ã å é Ñ (ìá Iîà I ïâ )∆ñá∆óà∆òâ =

á=N à=N â=N

pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ñá I= ∆óà I= ∆òâ =

iбгбнл=зС=бенЙЦк~нбзеW=~I=ДI=ЕI=ЗI=кI=л=

oЙЦбзел=зС=бенЙЦк~нбзеW=dI=qI=p== `удбеЗкбЕ~д=ЕззкЗбе~нЙлW= к I= θ I=т= pйЬЙкбЕ~д=ЕззкЗбе~нЙлW= к I= θI= ϕ= sздмгЙ=зС=~=лздбЗW=s=

269

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

j~лл=зС=~=лздбЗW=г== aЙелбнуW= µ(ñIóIò)=

`ззкЗбе~нЙл=зС=ЕЙенЙк=зС=г~ллW= ñ I= ó I= т = cбклн=гзгЙенлW= jñó I= jóò I= jñò = jзгЙенл=зС=беЙкнб~W= fñó I= fóò I= fñò I= fñ I= fó I= fò I= fM =

=

=

1099. aЙСбебнбзе=зС=qкбйдЙ=fенЙЦк~д= qЬЙ=нкбйдЙ=бенЙЦк~д=зоЙк=~=й~к~ддЙдЙйбйЙЗ= [~I Ä]×[ÅI Ç]×[êI ë]=

бл=ЗЙСбеЙЗ=нз=ДЙ==

		ã å	é	)∆ñ á ∆ó à∆òâ I
∫∫∫ Ñ (ñI óIò)Çs =	ã~ñäáã∆ñ →M	∑∑∑Ñ (ìá I î à I ï â
[~I Ä]×[ÅI Ç]×[êI ë]	ã~ñ ∆óáà →M	á=N à=N â=N
	ã~ñ ∆òâ →M

пЬЙкЙ= (ìá Iîà I ïâ )=бл=лзгЙ=йзбен=бе=нЬЙ=й~к~ддЙдЙйбйЙЗ=

(ñá−NIñá )×(óà−NIóà )×(òâ−NIòâ )I=~åÇ= ∆ñá = ñá −ñá−N I= ∆ó à = ó à − ó à−N I= ∆òâ =òâ −òâ−N K=

=

1100. ∫∫∫ [Ñ(ñI óIò)+ Ö(ñI óIò)]Çs = ∫∫∫ Ñ(ñI óIò)Çs + ∫∫∫ Ö(ñI óIò)Çs

d

d

d

=

1101. ∫∫∫[Ñ (ñIóIò)−Ö(ñIóIò)]Çs = ∫∫∫ Ñ(ñIóIò)Çs −∫∫∫ Ö(ñIóIò)Çs

d

d

d

=

1102. ∫∫∫ âÑ (ñIóIò)Çs = â∫∫∫ Ñ (ñIóIò)Çs I==

d

d

пЬЙкЙ=в=бл=~=Езелн~енK=

=

1103. fÑ== Ñ(ñIóIò)≥ M =~еЗ=d=~еЗ=q=~кЙ=езезоЙкд~ййбеЦ=Д~лбЕ=

кЙЦбзелI=нЬЙе==

∫∫∫ Ñ (ñIóIò)Çs = ∫∫∫ Ñ(ñIóIò)Çs + ∫∫∫ Ñ(ñIóIò)Çs K==

d q

d

q

eЙкЙ= d q =бл=нЬЙ=мебзе=зС=нЬЙ=кЙЦбзел=d=~еЗ=qK=

=

270

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1104. bо~дм~нбзе=зС=qкбйдЙ=fенЙЦк~дл=Ду=oЙйЙ~нЙЗ=fенЙЦк~дл= fС=нЬЙ=лздбЗ=d=бл=нЬЙ=лЙн=зС=йзбенл= (ñIóIò)=ëìÅÜ=íÜ~í=

= (ñI ó) oI χN (ñI ó)≤ò ≤χO (ñI ó)I=íÜÉå==

	χO		(ñIó )
= ∫∫∫ Ñ (ñI óIò)ЗсЗуЗт = ∫∫		N	∫Ñ(ñI óIò)Çò ÇñÇó I==
			(ñIó )
d	o	χ

пЬЙкЙ=o=бл=йкзаЙЕнбзе=зС=d=зенз=нЬЙ=су-éä~åÉK=

=

fС=нЬЙ=лздбЗ=d=бл=нЬЙ=лЙн=зС=йзбенл= (ñIóIò)=ëìÅÜ=íÜ~í=

~ ≤ ñ ≤ ÄI ϕN(ñ)≤ ó ≤ ϕO (ñ)I χN(ñIó)≤ò ≤ χO (ñIó)I=íÜÉå==

	Ä ϕO		(ñ ) χO			(ñ Ió )
∫∫∫ Ñ (ñI óIò)ЗсЗуЗт = ∫		∫				∫Ñ (ñI óIò)Çò Çó Çñ ==
d		N	(ñ )		N	(ñIó )
	~	ϕ			χ

=

1105. qкбйдЙ=fенЙЦк~дл=зоЙк=m~к~ддЙдЙйбйЙЗ= fС=d=бл=~=й~к~ддЙдЙйбйЙЗ=[~I Ä]×[ÅI Ç]×[êI ë]I=íÜÉå=

	Ä Ç	ë
∫∫∫ Ñ(ñIóIò)ЗсЗуЗт = ∫ ∫		∫Ñ(ñIóIò)Çò Çó Çñ K==
d		ê
	~ Å

=

fе==нЬЙ=лйЙЕб~д=Е~лЙ==пЬЙкЙ=нЬЙ=бенЙЦк~еЗ== С(ñIóIò)==Е~е=ДЙ= пкбннЙе=~л= Ц(ñ)Ü(ó)â(ò)=ïÉ=Ü~îÉ==

∫∫∫		Ä		Ç			ë
	Ñ(ñIóIò)ЗсЗуЗт =	∫Ö(ñ)Çñ		∫Ü(ó)Çó			∫â(ò)Çò K==
d	~		Å			ê
=
1106. `Ü~åÖÉ=çÑ=s~êá~ÄäÉë=
∫∫∫ Ñ (ñIóIò)ЗсЗуЗт = =
d						∂(ñI óIò)
= ∫∫∫ Ñ[ñ(ìI îI ï)I ó(ìI îI ï)Iò(ìI îI ï)]									ЗсЗуЗтI =
						∂(ìI îI ï)
p

271

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

				∂ñ	∂ñ	∂ñ
	∂(ñIóIò)			∂ì	∂î	∂ï
пЬЙкЙ==			=	∂ó	∂ó	∂ó	≠ M ==áë==íÜÉ==à~ÅçÄá~å==çÑ=
	∂(ìIîI ï)			∂ì	∂î	∂ï
				∂ò	∂ò	∂ò

∂ì ∂î ∂ï

нЬЙ= нк~елСзкг~нбзел= (ñIóIò)→(ìIîI ï)I= ~åÇ= p= áë= íÜÉ= éìää- Д~Ев= зС= d= пЬбЕЬ= Е~е= ДЙ= ЕзгймнЙЗ= Ду= с = ñ(ìI îI ï)I=

ó= ó(ìI îI ï)=

ò=ò(ìI îI ï)=бенз=нЬЙ=ЗЙСбебнбзе=зС=dK=

= =

1107. qкбйдЙ=fенЙЦк~дл=бе=`удбеЗкбЕ~д=`ззкЗбе~нЙл= qЬЙ=ЗбССЙкЙенб~д=ЗсЗуЗт=Сзк=ЕудбеЗкбЕ~д=ЕззкЗбе~нЙл=бл==

ЗсЗуЗт = ∂((ñIóIò))ÇêÇθÇò = êÇêÇθÇò K== ∂ êIθIò

=

iЙн=нЬЙ=лздбЗ=d=бл=ЗЙнЙкгбеЙЗ=~л=СзддзплW= (ñI ó) oI χN (ñI ó)≤ò ≤χO (ñI ó)I=

пЬЙкЙ=o=бл=йкзаЙЕнбзе=зС=d=зенз=нЬЙ=су-éä~åÉK=qÜÉå==

∫∫∫ Ñ(ñIóIò)ЗсЗуЗт = ∫∫∫ Ñ(êÅçëθIêëáåθIò)êÇêÇθÇò =

d				p
= ∫∫	χO		(êÅçëθIêëáåθ)
		N	∫Ñ(êÅçëθIêëáåθIò)Çò êÇêÇθK=
			(êÅçëθIêëáåθ)
o(êIθ)		χ

eЙкЙ=p=бл=нЬЙ=ймддД~Ев=зС=d=бе=ЕудбеЗкбЕ~д=ЕззкЗбе~нЙлK=

=

1108. qкбйдЙ=fенЙЦк~дл=бе=pйЬЙкбЕ~д=`ззкЗбе~нЙл= qЬЙ=aбССЙкЙенб~д=ЗсЗуЗт=Сзк=pйЬЙкбЕ~д=`ззкЗбе~нЙл=бл==

ЗсЗуЗт = ∂((ñI óIò))ÇêÇθÇϕ= êO ëáå θÇêÇθÇϕ==

∂ êIθIϕ

=

∫∫∫ Ñ(ñIóIò)ЗсЗуЗт = =

d

272

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

========= = ∫∫∫ Ñ(êëáåθÅçëϕIêëáåθëáåϕIêÅçëθ)êO ëáåθÇêÇθÇϕI==

p

пЬЙкЙ=нЬЙ=лздбЗ=p=бл=нЬЙ=ймддД~Ев=зС=d=бе=лйЬЙкбЕ~д=ЕззкЗб- å~íÉëK=qÜÉ=~åÖäÉ== θ==ê~åÖÉë==Ñêçã==M=íç== OπI==íÜÉ==~åÖäÉ== ϕ= ê~åÖÉë=Ñêçã=M=íç= πK==

=

========

=

Figure 202.

=

1109. sздмгЙ=зС=~=pздбЗ= s = ∫∫∫ ЗсЗуЗт =

d

=

1110. sздмгЙ=бе=`удбеЗкбЕ~д=`ззкЗбе~нЙл= s = ∫∫∫ êÇêÇθÇò =

p(êIθIò )

=

1111. sздмгЙ=бе=pйЬЙкбЕ~д=`ззкЗбе~нЙл=

s = ∫∫∫ êO ëáåθÇêÇθÇϕ=

p(êIθIϕ)

=

273

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1112. j~ëë=çÑ=~=pçäáÇ=

ã = ∫∫∫ µ(ñIóIò)Çs I==

d

пЬЙкЙ= нЬЙ= лздбЗ= зЕЕмйбЙл= ~= кЙЦбзе= d= ~еЗ= бнл= ЗЙелбну= ~н============ ~=йзбен= (ñIóIò)=áë= µ(ñIóIò)K===

=

1113. `ЙенЙк=зС=j~лл=зС=~=pздбЗ=

ñ = jãóò I= ó = jãñò I= ò = jãñó I==

пЬЙкЙ==

jóò = ∫∫∫ ñµ(ñIóIò)Çs I==

d

jñò = ∫∫∫ óµ(ñIóIò)Çs I==

d

jñó = ∫∫∫òµ(ñIóIò)Çs =

d

~кЙ==нЬЙ==Сбклн==гзгЙенл==~Дзмн==нЬЙ==ЕззкЗбе~нЙ=йд~еЙл= с =M I= ó = M I= ò =M I=кЙлйЙЕнбоЙдуI== µ(ñIóIò)=бл=нЬЙ=ЗЙелбну=СмеЕнбзеK==

=

1114. jзгЙенл=зС=fеЙкнб~=~Дзмн==нЬЙ==су-éä~åÉ=Eçê= ò =M FI=óò-éä~åÉ== E ñ = M FI=~åÇ=ñò-éä~åÉ=E ó = M F=

fñó = ∫∫∫ òOµ(ñIóIò)Çs I==

d

fóò = ∫∫∫ ñOµ(ñIóIò)Çs I==

d

fñò = ∫∫∫ óOµ(ñIóIò)Çs K==

d

=

1115. jзгЙенл=зС=fеЙкнб~=~Дзмн=нЬЙ=с-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë= fñ = fñó +fñò = ∫∫∫ (òO + óO )µ(ñIóIò)Çs I==

d

fó =fñó +fóò = ∫∫∫ (òO + ñO )µ(ñIóIò)Çs I==

d

274

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

fò =fñò +fóò = ∫∫∫ (óO + ñO )µ(ñIóIò)Çs K==

d

=

1116. mзд~к=jзгЙен=зС=fеЙкнб~=

fM = fñó +fóò +fñò = ∫∫∫ (ñO + óO +òO )µ(ñIóIò)Çs =

d

=

=

9.12 Line Integral

=

pЕ~д~к=СмеЕнбзелW= c(ñIóIò)I= c(ñIó)I= Ñ (ñ)= pЕ~д~к=йзнЙенб~дW= м(ñIóIò)=

`мкоЙлW=`I= `N I= `O = iбгбнл=зС=бенЙЦк~нбзелW=~I=ДI= αI=β= m~к~гЙнЙклW=нI=л= mзд~к=ЕззкЗбе~нЙлW= к I= θ= sЙЕнзк=СбЙдЗW= c (mInIo)= mзлбнбзе=оЙЕнзкW= к(ë)=

rебн=оЙЕнзклW= б I= а I= в I= τ=

^кЙ~=зС=кЙЦбзеW=p=

iЙеЦнЬ=зС=~=ЕмкоЙW=i=

j~лл=зС=~=пбкЙW=г= aЙелбнуW= ρ(ñI óIò)I= ρ(ñIó)=

`ззкЗбе~нЙл=зС=ЕЙенЙк=зС=г~ллW= ñ I= ó I= т = cбклн=гзгЙенлW= jñó I= jóò I= jñò = jзгЙенл=зС=беЙкнб~W= fñ I= fó I= fò =

sздмгЙ=зС=~=лздбЗW=s=

tçêâW=t=

j~ЦеЙнбЕ=СбЙдЗW= _ = `мккЙенW=f= bдЙЕнкзгзнбоЙ=СзкЕЙW= ε= j~ЦеЙнбЕ=СдмсW= ψ=

275

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1117. iбеЙ=fенЙЦк~д=зС=~=pЕ~д~к=cмеЕнбзе= iЙн=~=ЕмкоЙ=`=ДЙ=ЦбоЙе=Ду=нЬЙ=оЙЕнзк=СмеЕнбзе= к = ê(ë)I=

M ≤ ë ≤p I=~åÇ=~=лЕ~д~к=СмеЕнбзе=c=бл=ЗЙСбеЙЗ=зоЙк=нЬЙ=ЕмкоЙ=`K== qЬЙе==

∫p c(rê(ë))Çë = ∫c(ñIóIò)Çë = ∫cÇë I==

M

`

`

пЬЙкЙ=Зл=бл=нЬЙ=~кЕ=дЙеЦнЬ=ЗбССЙкЙенб~дK==

=

1118. ∫c Çë = ∫c Çë + ∫c Çë =

`N `O

`N

`O

=

=			=
	Figure 203.
=
1119. fС=нЬЙ=лгззнЬ=ЕмкоЙ=`=бл=й~к~гЙнкбтЙЗ=Ду= к = ê(í)I=
α ≤ í ≤β I=íÜÉå==
	β		+(ó (í))		+(ò (í))		Çí K=
∫c(ñIóIò)Çë = ∫c(ñ(í)Ió(í)Iò(í)) (ñ (í))
	′	O	′	O	′	O
`	α
	=

1120. fС=`=бл=~=лгззнЬ=ЕмкоЙ=бе=нЬЙ=су-йд~еЙ=ЦбоЙе=Ду=нЬЙ=Йим~нбзе= у = Ñ(ñ)I= ~ ≤ ñ ≤ Ä I=íÜÉå==

	Ä
∫c(ñI ó)Çë = ∫c(ñIÑ(ñ))		′	O	Çñ K==
		N+ (Ñ (ñ))
`	~

=

1121. iбеЙ=fенЙЦк~д=зС=pЕ~д~к=cмеЕнбзе=бе=mзд~к=`ззкЗбе~нЙл=

276

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

	β	ê	O		Çê O
∫c(ñIó)Çë = ∫c(êÅçëθIêëáåθ)				+		ÇθI==
`	α				Çθ

пЬЙкЙ=нЬЙ=ЕмкоЙ=`=бл=ЗЙСбеЙЗ=Ду=нЬЙ=йзд~к=СмеЕнбзе= кEθF K=

=

1122. iбеЙ=fенЙЦк~д=зС=sЙЕнзк=cбЙдЗ= iЙн=~=ЕмкоЙ=`=ДЙ=ЗЙСбеЙЗ=Ду=нЬЙ=оЙЕнзк=СмеЕнбзе= к = ê(ë)I= M ≤ ë ≤p K=qÜÉå==

ÇÇëê = rτ =(Åçë αI ÅçëβIÅçë γ)==

бл=нЬЙ=мебн=оЙЕнзк=зС=нЬЙ=н~еЦЙен=дбеЙ=нз=нЬбл=ЕмкоЙK==

=

=

=

Figure 204.

=

iÉí= ~= оЙЕнзк= СбЙдЗ= c (mInIo)= бл= ЗЙСбеЙЗ= зоЙк= нЬЙ= ЕмкоЙ= `K=

qЬЙе=нЬЙ=дбеЙ=бенЙЦк~д=зС=нЬЙ=оЙЕнзк=СбЙдЗ= c =~дзеЦ=нЬЙ=ЕмкоЙ= `=бл==

∫mÇñ +nÇó +oÇò = ∫p (mÅçëα+nÅçëβ+oÅçë γ)Çë K=

` M

=

=

277

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1123. mкзйЙкнбЙл=зС=iбеЙ=fенЙЦк~дл=зС=sЙЕнзк=cбЙдЗл=

∫(c Çrê)= −∫(c Çrê)I==

−`

`

пЬЙкЙ=-`=ЗЙезнЙ==нЬЙ=ЕмкоЙ=пбнЬ=нЬЙ=зййзлбнЙ=зкбЙен~нбзеK=

∫(c Çrê)=

=

∫(c Çrê)= ∫(c Çrê)+ ∫(c Çrê)I==

`

`N `O

`N

`O

пЬЙкЙ=`=бл=нЬЙ=мебзе=зС=нЬЙ=ЕмкоЙл= `N =~åÇ= `O K==

=

1124. fС=нЬЙ=ЕмкоЙ=`=бл=й~к~гЙнЙкбтЙЗ=Ду= rê(í)= ñ(í)Ió(í)Iò(í) I=

α ≤ í ≤β I=íÜÉå==

∫mÇñ + nÇó + oÇò = =

`

β

Çñ

Çó

Çò

= ∫ m(ñ(í)I ó(í)Iò(í))

+n(ñ(í)I ó(í)Iò(í))

+o(ñ(í)I ó(í)Iò(í))

Çí

α

Çí

Çí

Çí

=

1125. fÑ=`=äáÉë=áå=íÜÉ=ñó-йд~еЙ=~еЗ=ЦбоЙе=Ду=нЬЙ=Йим~нбзе= у = Ñ(ñ)I=

íÜÉå==

∫mÇñ +nÇó = ∫Ä m(ñIÑ (ñ))+n(ñIÑ (ñ))

ÇÑ

Çñ K==

`

~

Çñ

1126. dкЙЙе∞л=qЬЙзкЙг=

=

∂n

−

∂m

∫∫

∂ñ

ÇñÇó = ∫mÇñ + nÇó I==

o

∂ó

`

пЬЙкЙ= c = m(ñIó)á +n(ñIó)а = бл= ~= Езенбемзмл= оЙЕнзк= СмеЕ-

∂m ∂n нбзе=пбнЬ==Езенбемзмл==Сбклн=й~кнб~д==ЗЙкбо~нбоЙл= ∂ó I= ∂ñ =áå=~=

лзгЙ= Ззг~бе= oI= пЬбЕЬ= бл= ДзмеЗЙЗ= Ду= ~= ЕдзлЙЗI= йбЙЕЙпблЙ= лгззнЬ=ЕмкоЙ=`K==

=

=

278

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1127. ^кЙ~=зС=~=oЙЦбзе=o=_змеЗЙЗ=Ду=нЬЙ=`мкоЙ=`=

p = ∫∫ÇñÇó = N		∫ñÇó − óÇñ =
o	O	`

=

1128. m~нЬ=fеЗЙйЙеЗЙеЕЙ=зС=iбеЙ=fенЙЦк~дл=

qЬЙ= дбеЙ= бенЙЦк~д= зС= ~= оЙЕнзк= СмеЕнбзе= c = má +nà + oâ = áë=

ë~áÇ=íç=ÄÉ=й~нЬ=беЗЙйЙеЗЙенI=бС=~еЗ=зеду=бС=mI=nI=~еЗ=o=~кЙ= Езенбемзмл= бе= ~= Ззг~бе= aI= ~еЗ= бС= нЬЙкЙ= Йсблнл= лзгЙ= лЕ~д~к= СмеЕнбзе== м = ì(ñI óIò)==E~==лЕ~д~к==йзнЙенб~дF==áå==a==ëìÅÜ=íÜ~í=

c = Öê~Ç ì I=çê= ∂∂ìñ = m I= ∂∂ìó =n I= ∂∂ìò = o K==

qÜÉå==

∫c(rê) Çrê = ∫mÇñ +nÇó + oÇò = ì(_)− ì(^)K==

``

=

1129. qЙлн=Сзк=~=`зелЙко~нбоЙ=cбЙдЗ=

^=оЙЕнзк=СбЙдЗ=зС=нЬЙ=Сзкг= c = Öê~Ç ì =áë=Å~ääÉÇ=~=ЕзелЙко~нбоЙ=

СбЙдЗK=qЬЙ=дбеЙ=бенЙЦк~д=зС=~=оЙЕнзк=СмеЕнбзе= c = má +nà +oâ =
бл=й~нЬ=беЗЙйЙеЗЙен=бС=~еЗ=зеду=бС==
	r		r		r
r	á	à			â
	∂		∂		∂	r
Åìêä c =						=M K==
	∂ñ		∂ó		∂ò
	m		n		o

=

fС=нЬЙ=дбеЙ=бенЙЦк~д=бл=н~вЙе=бе=су-éä~åÉ=ëç=íÜ~í== ∫mÇñ + nÇó = ì(_)− ì(^)I==

`

нЬЙе=нЬЙ=нЙлн=Сзк=ЗЙнЙкгбебеЦ=бС=~=оЙЕнзк=СбЙдЗ=бл=ЕзелЙко~нбоЙ=

Е~е=ДЙ=пкбннЙе=бе=нЬЙ=Сзкг== ∂∂mó = ∂∂nñ K==

=

279

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1130. iЙеЦнЬ=зС=~=`мкоЙ=

β

Çrê

β

Çñ O

Çó O

Çò O

i = ∫Çë = ∫

(í)Çí = ∫

+

+

Çí I=

`

α

Çí

α

Çí

Çí

Çí

пЬЙкЙ=`=б~=~=йбЙЕЙпблЙ=лгззнЬ=ЕмкоЙ=ЗЙлЕкбДЙЗ=Ду=нЬЙ=йзлб-

нбзе=оЙЕнзк= к(í)I= α ≤ í ≤βK=

=

fС=нЬЙ=ЕмкоЙ=`=бл=нпз-ЗбгЙелбзе~дI=нЬЙе=

β

Çrê

β

Çñ O

Çó O

i = ∫Çë = ∫

(í)Çí = ∫

+

Çí K==

`

α

Çí

α

Çí

Çí

=

fС=нЬЙ=ЕмкоЙ=`=бл=нЬЙ=Цк~йЬ=зС=~=СмеЕнбзе= у = Ñ(ñ)=áå=íÜÉ=ñó-

éä~åÉ= (~ ≤ ñ ≤ Ä)I=íÜÉå==

Ä

Çó

O

i = ∫

Çñ K==

N+

~

Çñ

=

1131. iЙеЦнЬ=зС=~=`мкоЙ=бе=mзд~к=`ззкЗбе~нЙл=

β

Çê

O

O

ÇθI==

i = ∫

+ ê

α

Çθ

пЬЙкЙ=нЬЙ=ЕмкоЙ=`=бл=ЦбоЙе=Ду=нЬЙ=Йим~нбзе= к =ê(θ)I= α ≤θ≤β =бе=йзд~к=ЕззкЗбе~нЙлK===

=

1132. j~ëë=çÑ=~=táêÉ= ã = ∫ρ(ñI óIò)Çë I==

`

пЬЙкЙ= ρ(ñI óIò)=бл=нЬЙ=г~лл=йЙк=мебн=дЙеЦнЬ=зС=нЬЙ=пбкЙK=

=

fС=`=бл=~=ЕмкоЙ=й~к~гЙнкбтЙЗ=Ду=нЬЙ=оЙЕнзк=СмеЕнбзе

rê(í)= ñ(í)I ó(í)I ò(í) I==нЬЙе==нЬЙ==г~лл==Е~е==ДЙ==ЕзгймнЙЗ=Ду=

нЬЙ=Сзкгмд~=

280

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

β

ã = ∫ρ(ñ(í)I ó(í)Iò(í))

α

	Çñ O		Çó O		Çò O
		+		+		Çí K==
	Çí		Çí		Çí

=

fС=`=бл=~=ЕмкоЙ=бе=су-йд~еЙI=нЬЙе=нЬЙ=г~лл=зС=нЬЙ=пбкЙ=бл=ЦбоЙе=

Äó==

ã = ∫ρ(ñI ó)Çë I=

`

çê=

	β					Çñ O					Çó O
ã = ∫ρ(ñ(í)I ó(í))									+		Зн =Eбе=й~к~гЙнкбЕ=СзкгFK=
	α					Çí					Çí
=
1133. `ЙенЙк=зС=j~лл=зС=~=tбкЙ=
	jóò		j					jñó
ñ =		I= ó =		ñò	I= ò =						I=
	ã		ã						ã

пЬЙкЙ==

jóò = ∫ñρ(ñI óIò)Çë I==

`

jñò = ∫óρ(ñI óIò)Çë I==

`

jñó = ∫òρ(ñI óIò)Çë K=

`

=

1134. jзгЙенл=зС=fеЙкнб~= qЬЙ=гзгЙенл=зС=беЙкнб~=~Дзмн=нЬЙ=с-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë=

~кЙ=ЦбоЙе=Ду=нЬЙ=Сзкгмд~л= fñ = ∫(óO + òO )ρ(ñI óIò)Çë I== fó = ∫` (ñ O + òO )ρ(ñI óIò)Çë I== fò = ∫` (ñ O + óO )ρ(ñI óIò)Çë K==

`

=

281

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1135. ^кЙ~=зС=~=oЙЦбзе=_змеЗЙЗ=Ду=~=`дзлЙЗ=`мкоЙ=

p = ∫ñÇó = −∫óÇñ =		N	∫ñÇó − óÇñ K==
`	`	O	`

=

=

=

Figure 205.

=

fС=нЬЙ=ЕдзлЙЗ=ЕмкоЙ=`=бл=ЦбоЙе=бе=й~к~гЙнкбЕ=Сзкг=

rê(í)= ñ(í)Ió(í) I=íÜÉå=íÜÉ=~êÉ~=Å~å=ÄÉ=Å~äÅìä~íÉÇ=Äó=íÜÉ=Ñçê-

ãìä~=

β	Çó	β	Çñ		N	β		Çó		Çñ
p = ∫ñ(í)		Çí = −∫ó(í)		Çí =		∫	ñ(í)		− ó(í)		Çí K==
α	Çí	α	Çí		O	α		Çí		Çí

=

1136. sздмгЙ=зС=~=pздбЗ=cзкгЙЗ=Ду=oзн~нбеЦ=~=`дзлЙЗ=`мкоЙ= ~Дзмн=нЬЙ=с-~ñáë=

s = −π∫óOÇñ = −Oπ∫ñóÇó = −		π ∫OñóÇó + óOÇñ ==
`	`	O	`

=

282

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=

=

Figure 206.

=

1137. tçêâ=

tзкв=ЗзеЙ=Ду=~=СзкЕЙ= c =зе=~е=зДаЙЕн=гзобеЦ=~дзеЦ=~=ЕмкоЙ= `=бл=ЦбоЙе=Ду=нЬЙ=дбеЙ=бенЙЦк~д=

t = ∫c Çrê I=

`

пЬЙкЙ= c =бл=нЬЙ=оЙЕнзк=СзкЕЙ=СбЙдЗ=~ЕнбеЦ=зе=нЬЙ=зДаЙЕнI= Зrê =áë=

нЬЙ=мебн=н~еЦЙен=оЙЕнзкK==

=

=

Figure 207.

283

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

fС=нЬЙ=зДаЙЕн=бл=гзоЙЗ=~дзеЦ=~=ЕмкоЙ=`=бе=нЬЙ=су-éä~åÉI=íÜÉå=

t= ∫c Çrê = ∫mÇñ +nÇó I==

``

=

fС= ~= й~нЬ= `= бл= лйЙЕбСбЙЗ= Ду= ~= й~к~гЙнЙк= н= Eн= зСнЙе= гЙ~ел= нбгЙFI=нЬЙ=Сзкгмд~=Сзк=Е~дЕмд~нбеЦ=пзкв=ДЙЕзгЙл=

β
t = ∫ m(ñ(í)Ió(í)Iò(í))	Çñ	+n(ñ(í)Ió(í)Iò(í))	Çó	+o(ñ(í)Ió(í)Iò(í))	Çò	ÇíI
	Çí
α		Çí			Çí

пЬЙкЙ=н=ЦзЙл=Скзг= α=íç=βK==

=

fС=~=оЙЕнзк=СбЙдЗ= c = бл=ЕзелЙко~нбоЙ=~еЗ= м(ñIóIò)=áë= ~= ëÅ~ä~ê=

йзнЙенб~д= зС= нЬЙ= СбЙдЗI= нЬЙе= нЬЙ= пзкв= зе= ~е= зДаЙЕн= гзобеЦ= Скзг=^=нз=_=Е~е=ДЙ=СзмеЗ=Ду=нЬЙ=Сзкгмд~=

t =ì(_)−ì(^)K==

=

1138. ^гйЙкЙ∞л=i~п= ∫_ Çrê =µMf K==

`

qЬЙ=дбеЙ=бенЙЦк~д=зС=~=г~ЦеЙнбЕ=СбЙдЗ= _ =~кзмеЗ=~=ЕдзлЙЗ=й~нЬ= `= бл= Йим~д= нз= нЬЙ= нзн~д= ЕмккЙен= f= СдзпбеЦ= нЬкзмЦЬ= нЬЙ= ~кЙ~= ДзмеЗЙЗ=Ду=нЬЙ=й~нЬK==

=

=

Figure 208.

284

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1139. c~ê~Ç~ó∞ë=i~ï=

ε= ∫br Çrê = −Çψ =

`Çí

=

qЬЙ= ЙдЙЕнкзгзнбоЙ= СзкЕЙ= EЙгСF= ε= беЗмЕЙЗ= ~кзмеЗ= ~= ЕдзлЙЗ= дззй=`=бл=Йим~д=нз=нЬЙ=к~нЙ=зС=нЬЙ=ЕЬ~еЦЙ=зС=г~ЦеЙнбЕ=Сдмс= ψ=

й~ллбеЦ=нЬкзмЦЬ=нЬЙ=дззйK===

=

=

=

Figure 209.

=

=

=

9.13 Surface Integral

=

pЕ~д~к=СмеЕнбзелW= С(ñIóIò)I= ò(ñIó)= mзлбнбзе=оЙЕнзклW= к(ìIî)I= ê(ñIóIò)= rебн=оЙЕнзклW= б I= а I= в =

pмкС~ЕЙW=p= sЙЕнзк=СбЙдЗW= c (mInIo)=

aбоЙкЦЙеЕЙ=зС=~=оЙЕнзк=СбЙдЗW= Збо c = c =

285

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

`мкд=зС=~=оЙЕнзк=СбЙдЗW= Емкд c = ×c ==

sЙЕнзк=ЙдЙгЙен=зС=~=лмкС~ЕЙW= Зp = kзкг~д=нз=лмкС~ЕЙW= е = pмкС~ЕЙ=~кЙ~W=^= j~лл=зС=~=лмкС~ЕЙW=г=

aЙелбнуW= µ(ñIóIò)=

`ззкЗбе~нЙл=зС=ЕЙенЙк=зС=г~ллW= ñ I= ó I= т = cбклн=гзгЙенлW= jñó I= jóò I= jñò = jзгЙенл=зС=беЙкнб~W= fñó I= fóò I= fñò I= fñ I= fó I= fò = sздмгЙ=зС=~=лздбЗW=s=

cзкЕЙW= c = dк~обн~нбзе~д=Езелн~енW=d= cдмбЗ=оЙдзЕбнуW= о(ê)= cдмбЗ=ЗЙелбнуW= ρ= mкЙллмкЙW= й(ê)= j~лл=СдмсI=ЙдЙЕнкбЕ=СдмсW= Φ = pмкС~ЕЙ=ЕЬ~кЦЙW=n= `Ь~кЦЙ=ЗЙелбнуW= σ(ñIó)=

j~ЦебнмЗЙ=зС=нЬЙ=ЙдЙЕнкбЕ=СбЙдЗW= b =

=

=

1140. pмкС~ЕЙ=fенЙЦк~д=зС=~=pЕ~д~к=cмеЕнбзе=

iЙн=~=лмкС~ЕЙ=p=ДЙ=ЦбоЙе=Ду=нЬЙ=йзлбнбзе=оЙЕнзк= rê(ìIî)= ñ(ìIî)á + ó(ìIî)à +ò(ìIî)â I==

пЬЙкЙ= (ìIî)= ê~åÖÉë= çîÉê= ëçãÉ= Ççã~áå= a(ìIî)= çÑ= íÜÉ= ìî-

éä~åÉK=

qЬЙ==лмкС~ЕЙ==бенЙЦк~д==зС==~==лЕ~д~к=СмеЕнбзе== С(ñIóIò)=çîÉê=

	нЬЙ=лмкС~ЕЙ=p=бл=ЗЙСбеЙЗ=~л==						∂rê		∂rê
	∫∫Ñ (ñI óIò)Çp =	∫∫ Ñ(ñ(ìI î)I ó(ìI î)Iò(ìI î))						×		ÇìÇî I==
							∂ì		∂î
	p	a(ìIî )	∂ê		∂ê
	пЬЙкЙ=нЬЙ=й~кнб~д=ЗЙкбо~нбоЙл=			=~åÇ=		=~кЙ=ЦбоЙе=Ду==
			∂ì		∂î

286

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∂∂ìê = ∂∂ìñ (ìIî)rá + ∂∂ìó (ìIî)rà + ∂∂ìò (ìIî)âr I== ∂∂îê = ∂∂ñî (ìIî)rá + ∂∂óî (ìIî)rà + ∂∂îò (ìIî)âr =

~åÇ= ∂∂ìê × ∂∂îê =бл=нЬЙ=Екзлл=йкзЗмЕнK==

=

1141. fС==нЬЙ==лмкС~ЕЙ==p==бл==ЦбоЙе=Ду==нЬЙ=Йим~нбзе= т =ò(ñIó)=пЬЙкЙ= т(ñIó)==бл==~==ЗбССЙкЙенб~ДдЙ==СмеЕнбзе==бе=нЬЙ=Ззг~бе= a(ñI ó)I=

íÜÉå==

			∂ò	O		O
∫∫Ñ (ñI óIò)Çp =	∫∫ Ñ(ñI óIò(ñI ó))					∂ò	ÇñÇó K==
		N+			+
p	a(ñIó )		∂ñ			∂ó
=

1142. pмкС~ЕЙ=fенЙЦк~д=зС=нЬЙ=sЙЕнзк=cбЙдЗ= c =зоЙк=нЬЙ=pмкС~ЕЙ=p=

• fС=p=бл=зкбЙенЙЗ=çìíï~êÇI=íÜÉå==

===== ∫∫c(ñIóIò) Çp = ∫∫c(ñIóIò) årÇp =

		p		p		∂rê		∂rê
				r
	======	=	∫∫	c(ñ(ìIî)Ió(ìIî)Iò(ìIî))			×			ÇìÇî K==
						∂ì
			a(ìIî )					∂î
	=
	• fС=p=бл=зкбЙенЙЗ=áåï~êÇI=íÜÉå==
	===== ∫∫c(ñIóIò) Çp = ∫∫c(ñIóIò) årÇp =
		p		p		∂rê		∂rê
				r
	======	=	∫∫	c(ñ(ìIî)Ió(ìIî)Iò(ìIî))		∂î	×			ÇìÇî K==
			a(ìIî )					∂ì

=

Çp = årÇp ==áë==Å~ääÉÇ==íÜÉ==оЙЕнзк=ЙдЙгЙен=зС=нЬЙ=лмкС~ЕЙK==açí=

гЙ~ел= = нЬЙ= = лЕ~д~к= = йкзЗмЕн= = зС= = нЬЙ= = ~ййкзйкб~нЙ= = оЙЕнзклK=

∂ê ∂ê qЬЙ=й~кнб~д=ЗЙкбо~нбоЙл= ∂ì =~åÇ== ∂î =~кЙ=ЦбоЙе=Ду==

287

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∂∂ìê = ∂∂ìñ (ìIî) rá + ∂∂ìó (ìIî) rà + ∂∂ìò (ìIî) ârI== ∂∂îê = ∂∂ñî (ìIî) rá + ∂∂óî (ìIî) rà + ∂∂îò (ìIî) ârK==

=

1143. fС==нЬЙ==лмкС~ЕЙ==p==бл==ЦбоЙе=Ду=нЬЙ=Йим~нбзе= т =ò(ñIó)I=пЬЙкЙ= т(ñIó)==бл==~==ЗбССЙкЙенб~ДдЙ==СмеЕнбзе==бе==нЬЙ=Ззг~бе= a(ñIó)I=

íÜÉå==

•fС= p= бл= зкбЙенЙЗ= ìéï~êÇI= áKÉK= íÜÉ= â-нЬ= ЕзгйзеЙен= зС= нЬЙ=

езкг~д=оЙЕнзк=бл=йзлбнбоЙI=нЬЙе===

===== ∫∫c(ñIóIò) Çp = ∫∫c(ñIóIò) årÇp =

	p		p
	= ∫∫	r			∂ò	r	∂ò	r	r
======				−		á −
		c(ñIóIò)			∂ñ		∂ó	à + â ÇñÇó I==
	a(ñIó )

=

•fС=p=бл=зкбЙенЙЗ=Ззпеп~кЗI=áKÉK=íÜÉ=â-нЬ=ЕзгйзеЙен=зС=нЬЙ=

езкг~д=оЙЕнзк=бл=еЙЦ~нбоЙI=нЬЙе===

===== ∫∫c(ñIóIò) Çp = ∫∫c(ñIóIò) årÇp

	p		p
	= ∫∫	r		∂ò	r	∂ò	r	r
======					á +
		c(ñIóIò)		∂ñ		∂ó	à −â ÇñÇó K==
	a(ñIó )

1144.=∫∫(c år)Çp = ∫∫mÇóÇò +nÇòÇñ +oÇñÇó =

pp

=∫∫(mÅçëα +n Åçëβ+o Åçë γ)Çp I==

p

пЬЙкЙ= m(ñIóIò)I= n(ñIóIò)I= o(ñIóIò)=~кЙ=нЬЙ=ЕзгйзеЙенл=зС=

нЬЙ=оЙЕнзк= СбЙдЗ= c K==

ÅçëαI= Åçëβ I= Åçë γ==~кЙ=нЬЙ= ~еЦдЙл= ДЙнпЙЙе=нЬЙ=змнЙк=мебн=

езкг~д=оЙЕнзк= е =~еЗ=нЬЙ=с-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~сблI=кЙлйЙЕн-

боЙдуK=

=

288

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1145. fС=нЬЙ=лмкС~ЕЙ=p=бл=ЦбоЙе=бе=й~к~гЙнкбЕ=Сзкг=Ду=нЬЙ=оЙЕнзк= к(ñ(ìIî)Ió(ìIî)Iò(ìIî))I==нЬЙе==нЬЙ==д~ннЙк=Сзкгмд~=Е~е=ДЙ=

пкбннЙе=~л==

	r	m	n		o
			∂ó		∂ò
∫∫(c år)Çp = ∫∫mÇóÇò +nÇòÇñ +oÇñÇó =		∫∫ ∂ñ				ÇìÇîI
			∂ì		∂ì
p	p	a(ìIî ) ∂ì
		∂ñ	∂ó		∂ò

∂î ∂î ∂î

пЬЙкЙ= (ìIî)= ê~åÖÉë= çîÉê= ëçãÉ= Ççã~áå= a(ìIî)= çÑ= íÜÉ= ìî-

éä~åÉK=

=

1146. aбоЙкЦЙеЕЙ=qЬЙзкЙг= ∫∫c Çp = ∫∫∫( c)Çs I==

p d

пЬЙкЙ==

cr(ñIóIò)= m(ñIóIò)I n(ñIóIò)I o(ñIóIò) ===

бл==~==оЙЕнзк==СбЙдЗ==пЬзлЙ==ЕзгйзеЙенл==mI==nI==~еЗ==o==Ь~оЙ==

Езенбемзмл=й~кнб~д=ЗЙкбо~нбоЙлI==

cr = ∂∂mñ + ∂∂nó + ∂∂oò ==

áë==íÜÉ==ЗбоЙкЦЙеЕЙ==зС== c I==~длз==ЗЙезнЙЗ== Збоc K==qЬЙ==лугДзд= ∫∫ =беЗбЕ~нЙл==нЬ~н=нЬЙ=лмкС~ЕЙ=бенЙЦк~д=бл=н~вЙе=зоЙк=~=ЕдзлЙЗ=

ëìêÑ~ÅÉK==

=

1147. aбоЙкЦЙеЕЙ=qЬЙзкЙг=бе=`ззкЗбе~нЙ=cзкг=

∫∫			∂m		∂n
	mÇóÇò + nÇñÇò + oÇñÇó =	∫∫∫		+		+
							∂o ЗсЗуЗт K==
p		d	∂ñ		∂ó		∂ò

=

1148. pнзвЙ∞л=qЬЙзкЙг=

∫c Çrê = ∫∫( ×c) Çp I==

`p

289

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

пЬЙкЙ==

r

===

c(ñIóIò)= m(ñIóIò)I n(ñIóIò)I o(ñIóIò)

бл==~=оЙЕнзк==СбЙдЗ==пЬзлЙ==ЕзгйзеЙенл==mI==nI==~еЗ=o==Ь~оЙ=

Езенбемзмл=й~кнб~д=ЗЙкбо~нбоЙлI==

r

r

r

r

á

à

â

r

r

r

∂

∂

∂

∂o

∂m

∂o

∂n

×c =

−

∂n

∂m

+

−

à

−

∂ñ

∂ñ ∂ñ

=

∂ó

á

∂ò

+

∂ñ

â

∂ò

∂ñ

∂ó

m

n

o

áë=íÜÉ=Åìêä=зС= c I=~длз=ЗЙезнЙЗ= Емкд cK==

qЬЙ=лугДзд== ∫ =беЗбЕ~нЙл=нЬ~н=нЬЙ=дбеЙ=бенЙЦк~д=бл=н~вЙе=зоЙк=

~=ЕдзлЙЗ=ЕмкоЙK==

=

1149. pнзвЙ∞л=qЬЙзкЙг=бе=`ззкЗбе~нЙ=cзкг= ∫mÇñ +nÇó +oÇò =

`

	∂o				∂m		∂o		∂n
		−	∂n			−				−	∂m
= ∫∫	∂ó		ÇóÇò +		∂ò		ÇòÇñ +		∂ñ		ÇñÇó
p			∂ò				∂ñ				∂ó

==

1150. pìêÑ~ÅÉ=^êÉ~= ^ = ∫∫Çp =

p

=

1151. fС=нЬЙ=лмкС~ЕЙ=p=бл=й~к~гЙнЙкбтЙЗ=Ду=нЬЙ=оЙЕнзк== rê(ìIî)= ñ(ìIî)á + ó(ìIî)à +ò(ìIî)â I==

íÜÉå=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~=áë==

∂rê ∂rê

^ = a(∫∫ìIî ) ∂ì × ∂î ÇìÇî I==

пЬЙкЙ== a(ìIî)==бл==нЬЙ==Ззг~бе==пЬЙкЙ==нЬЙ=лмкС~ЕЙ= к(ìIî)=áë=

ЗЙСбеЙЗK==

=

290

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1152. fС=p=бл=ЦбоЙе=ЙсйдбЕбнду=Ду=нЬЙ=СмеЕнбзе= т(ñIó)I==íÜÉå==íÜÉ==ëìê-

Ñ~ÅÉ=~êÉ~=áë==

		∂ò	O		O
^ = ∫∫					∂ò	ÇñÇó I==
	N+			+
a(ñ Ió )		∂ñ			∂ó
пЬЙкЙ= a(ñIó)=бл=нЬЙ=йкзаЙЕнбзе=зС=нЬЙ=лмкС~ЕЙ=p=зенз=нЬЙ=су-

éä~åÉK==

=

1153. j~ëë=çÑ=~=pìêÑ~ÅÉ= ã = ∫∫µ(ñIóIò)Çp I==

p

пЬЙкЙ= µ(ñIóIò)= бл= нЬЙ= г~лл= йЙк= мебн= ~кЙ~= = EЗЙелбну= СмеЕ-

íáçåFK=

=

1154. `ЙенЙк=зС=j~лл=зС=~=pЬЙдд=

ñ = jãóò I= ó = jãñò I= ò = jãñó I==

пЬЙкЙ==

jóò = ∫∫ñµ(ñIóIò)Çp I==

p

jñò = ∫∫óµ(ñIóIò)Çp I==

p

jñó = ∫∫òµ(ñIóIò)Çp =

p

~кЙ==нЬЙ==Сбклн==гзгЙенл==~Дзмн===нЬЙ=ЕззкЗбе~нЙ=йд~еЙл= с =M I= ó = M I= ò =M I==кЙлйЙЕнбоЙдуK== µ(ñIóIò)=бл=нЬЙ=ЗЙелбну=СмеЕнбзеK=

=

1155. jзгЙенл=зС=fеЙкнб~=~Дзмн=нЬЙ=су-éä~åÉ=Eçê= ò = M FI==óò-éä~åÉ== E ñ =M FI=~åÇ=ñò-éä~åÉ=E ó = M F=

fñó = ∫∫òOµ(ñIóIò)Çp I==

p

fóò = ∫∫ñOµ(ñIóIò)Çp I==

p

291

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

fñò = ∫∫óOµ(ñIóIò)Çp K=

p

=

1156. jзгЙенл=зС=fеЙкнб~=~Дзмн=нЬЙ=с-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë= fñ = ∫∫(óO +òO )µ(ñIóIò)Çp I==

fó = ∫∫p (ñO +òO )µ(ñIóIò)Çp I==

fò = ∫∫p (ñO + óO )µ(ñIóIò)Çp K==

p

=

1157. sздмгЙ=зС=~=pздбЗ=_змеЗЙЗ=Ду=~=`дзлЙЗ=pмкС~ЕЙ=

s = N ∫∫сЗуЗт + уЗсЗт +тЗсЗу ==

P p

=

1158. dê~îáí~íáçå~ä=cçêÅÉ=

cr =dã∫∫µ(ñIóIò)êêP Çp I=

p

пЬЙкЙ=г=бл=~=г~лл=~н=~=йзбен= сM IóM IòM =змнлбЗЙ=нЬЙ=лмкС~ЕЙI== rê = ñ − ñM Ió − óM Iò −òM I==

µ(ñIóIò)=бл=нЬЙ=ЗЙелбну=СмеЕнбзеI==

~еЗ=d=бл=Цк~обн~нбзе~д=Езелн~енK=

=

1159. mкЙллмкЙ=cзкЕЙ= c = ∫∫é(rê)Çp I==

p

пЬЙкЙ=нЬЙ=йкЙллмкЙ== й(ê)==~Енл==зе==нЬЙ==лмкС~ЕЙ==p==ЦбоЙе==Ду=

нЬЙ=йзлбнбзе=оЙЕнзк= к K=

=

1160. cдмбЗ=cдмс=E~Екзлл=нЬЙ=лмкС~ЕЙ=pF= Φ = ∫∫îr(rê) Çp I==

p

292

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

пЬЙкЙ= о(ê)=бл=нЬЙ=СдмбЗ=оЙдзЕбнуK=

==

1161. j~лл=cдмс=E~Екзлл=нЬЙ=лмкС~ЕЙ=pF= Φ = ∫∫ρîr(rê) Çp I==

p

пЬЙкЙ= c =ρîr =бл=нЬЙ=оЙЕнзк=СбЙдЗI= ρ=бл=нЬЙ=СдмбЗ=ЗЙелбнуK=

=

1162. pìêÑ~ÅÉ=`Ü~êÖÉ= n = ∫∫σ(ñIó)Çp I==

p

пЬЙкЙ= σ(ñIó)=бл=нЬЙ=лмкС~ЕЙ=ЕЬ~кЦЙ=ЗЙелбнуK=

=

1163. d~ìëë∞=i~ï= qÜÉ=ЙдЙЕнкбЕ=Сдмс=нЬкзмЦЬ=~еу=ЕдзлЙЗ=лмкС~ЕЙ=бл=йкзйзкнбзе~д= нз=нЬЙ=ЕЬ~кЦЙ=n=ЙеЕдзлЙЗ=Ду=нЬЙ=лмкС~ЕЙ=

r r	n
Φ = ∫∫b Çp =	εM	I==
p

пЬЙкЙ==

Φ =бл=нЬЙ=ЙдЙЕнкбЕ=СдмсI==

b =бл=нЬЙ=г~ЦебнмЗЙ=зС=нЬЙ=ЙдЙЕнкбЕ=СбЙдЗ=лнкЙеЦнЬI=

εM =UIUR×NM−NO ãc =бл=йЙкгбннбобну=зС=СкЙЙ=лй~ЕЙK==

=

=

293