Chapter 10
Differential Equations
=
=
=
=
cмеЕнбзел=зС=зеЙ=о~кб~ДдЙW=уI=йI=иI=мI=ЦI=ЬI=dI=eI=кI=т==
^кЦмгЙенл=EбеЗЙйЙеЗЙен=о~кб~ДдЙлFW=сI=у= cмеЕнбзел=зС=нпз=о~кб~ДдЙлW= С(ñIó)I= j(ñIó)I= k(ñIó)=
cбклн=зкЗЙк=ЗЙкбо~нбоЙW= у′I= ì′I= ó& I= ÇóÇí I=£=
pЙЕзеЗ=зкЗЙк=ЗЙкбо~нбоЙлW= у′′I= &ó&I= ÇOf I=£=
ÇíO
∂ì ∂Oì m~кнб~д=ЗЙкбо~нбоЙлW= ∂í I= ∂ñO I=£=
k~нмк~д=емгДЙкW=е= m~кнбЕмд~к=лздмнбзелW= уN I= óé =
oЙ~д=емгДЙклW=вI=нI=`I= `N I= `O I=éI=èI= αI=β= oззнл=зС=нЬЙ=ЕЬ~к~ЕнЙкблнбЕ=Йим~нбзелW= λN I= λO = qáãÉW=í=
qЙгйЙк~нмкЙW=qI=p= mзймд~нбзе=СмеЕнбзеW= m(í)== j~лл=зС=~е=зДаЙЕнW=г= pнбССеЙлл=зС=~=лйкбеЦW=в=
aблйд~ЕЙгЙен=зС=нЬЙ=г~лл=Скзг=ЙимбдбДкбмгW=у=
^гйдбнмЗЙ=зС=нЬЙ=Зблйд~ЕЙгЙенW=^= cкЙимЙеЕуW= ω= a~гйбеЦ=ЕзЙССбЕбЙенW= γ= mЬ~лЙ=~еЦдЙ=зС=нЬЙ=Зблйд~ЕЙгЙенW= δ = ^еЦмд~к=Зблйд~ЕЙгЙенW= θ= mЙеЗмдмг=дЙеЦнЬW=i=
294
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
^ЕЕЙдЙк~нбзе=зС=Цк~обнуW=Ц=
`мккЙенW=f=
oЙлблн~еЕЙW=o=
fеЗмЕн~еЕЙW=i=
`~é~Åáí~åÅÉW=`=
=
=
10.1 First Order Ordinary Differential Equations
=
1164. iбеЙ~к=bим~нбзел= ÇÇóñ + é(ñ)ó = è(ñ)K==
=
qЬЙ=ЦЙеЙк~д=лздмнбзе=бл==
∫ì(ñ)è(ñ)Çñ +`
ó = ( ) I==
ì ñ
пЬЙкЙ==
ì(ñ)= Éñé(∫é(ñ)Çñ)K=
=
1165. pЙй~к~ДдЙ=bим~нбзел= ÇÇóñ = Ñ (ñIó)= Ö(ñ)Ü(ó)=
=
qЬЙ=ЦЙеЙк~д=лздмнбзе=бл=ЦбоЙе=Ду=
∫Çó( )= ∫Ö(ñ)Çñ +` I==
Üó
çê=
e(ó)=d(ñ)+` K=
=
=
=
295
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1166. eзгзЦЙеЙзмл=bим~нбзел=
qЬЙ= ЗбССЙкЙенб~д= Йим~нбзе= ÇÇóñ = Ñ(ñI ó)= бл= ЬзгзЦЙеЙзмлI= бС=
нЬЙ=СмеЕнбзе= С(ñIó)=бл=ЬзгзЦЙеЙзмлI=нЬ~н=бл== С(íñIíó)=Ñ(ñIó)K==
=
qЬЙ=лмДлнбнмнбзе= т = ñó =EíÜÉå= ó =òñ F=äÉ~Çë=íç=íÜÉ=ëÉé~ê~ÄäÉ=
Éèì~íáçå=
ñ ÇÇòñ +ò = Ñ(NIò)K==
=
1167. _Йкезмддб=bим~нбзе= ÇÇóñ + é(ñ)ó = è(ñ)óå K==
=
qЬЙ=лмДлнбнмнбзе= т = óN−å =äÉ~Çë=íç=íÜÉ=äáåÉ~ê=Éèì~íáçå==
ÇÇòñ +(N−å)é(ñ)ò =(N−å)è(ñ)K==
=
1168. oáÅÅ~íá=bèì~íáçå=
ÇÇóñ = é(ñ)+è(ñ)ó +ê(ñ)óO =
=
fС=~=й~кнбЕмд~к=лздмнбзе= уN =бл=везпеI=нЬЙе=нЬЙ=ЦЙеЙк~д=лздм-
нбзе=Е~е=ДЙ=зДн~беЙЗ=пбнЬ=нЬЙ=ЬЙдй=зС=лмДлнбнмнбзе=
ò = ó −NóN I=пЬбЕЬ=дЙ~Зл=нз=нЬЙ=Сбклн=зкЗЙк=дбеЙ~к=Йим~нбзе==
ÇÇòñ = −[è(ñ)+OóNê(ñ)]ò −ê(ñ)K==
=
=
=
296
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1169. bс~Ен=~еЗ=kзеЙс~Ен=bим~нбзел= qЬЙ=Йим~нбзе==
j(ñIó)Çñ +k(ñIó)Çó =M ==
áë=Å~ääÉÇ=Éñ~Åí=áÑ== ∂∂jó = ∂∂kñ I==
~åÇ=езеЙс~Ен=знЬЙкпблЙK=
=
qЬЙ=ЦЙеЙк~д=лздмнбзе=бл== ∫j(ñIó)Çñ + ∫k(ñIó)Çó =` K==
=
1170. o~Збз~ЕнбоЙ=aЙЕ~у=
ÇóÇí = −âó I==
пЬЙкЙ= у(í)=бл=нЬЙ=~гзмен=зС=к~Збз~ЕнбоЙ=ЙдЙгЙен=~н=нбгЙ=нI=в=
áë=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=ÇÉÅ~óK==
=
qЬЙ=лздмнбзе=бл==
ó(í)= óMÉ−âí I=пЬЙкЙ= уM = ó(M)=бл=нЬЙ=бебнб~д=~гзменK=
=
1171. kЙпнзе∞л=i~п=зС=`зздбеЦ= ÇqÇí = −â(q −p)I==
пЬЙкЙ= q(í)=бл=нЬЙ=нЙгйЙк~нмкЙ=зС=~е=зДаЙЕн=~н=нбгЙ=нI=p=бл=нЬЙ=
нЙгйЙк~нмкЙ= зС= нЬЙ= лмккзмеЗбеЦ= ЙеобкзегЙенI= в= бл= ~= йзлб-
нбоЙ=Езелн~енK==
=
qЬЙ=лздмнбзе=бл=
q(í)=p +(qM −p)É−âí I==
пЬЙкЙ= qM = q(M)= бл= нЬЙ= бебнб~д= нЙгйЙк~нмкЙ= зС= нЬЙ= зДаЙЕн= ~н=
íáãÉ= í = M K==
=
=
297
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1172. mзймд~нбзе=aуе~гбЕл=EiзЦблнбЕ=jзЗЙдF=
Çm |
|
m |
|
|
= âm N− |
|
I== |
Çí |
|
||
|
j |
||
пЬЙкЙ= m(í)=бл=йзймд~нбзе=~н=нбгЙ=нI=в=бл=~=йзлбнбоЙ=Езелн~енI= j=бл=~=дбгбнбеЦ=лбтЙ=Сзк=нЬЙ=йзймд~нбзеK==
=
qЬЙ=лздмнбзе=зС=нЬЙ=ЗбССЙкЙенб~д=Йим~нбзе=бл==
m(í)= |
|
jmM |
I=пЬЙкЙ= mM |
= m(M)=бл=нЬЙ=бебнб~д=йзйм- |
|
m |
+(j −m )É−âí |
||||
|
|
|
|||
|
M |
M |
|
|
ä~íáçå=~í=íáãÉ= í = M K===
=
=
=
10.2 Second Order Ordinary Differential Equations
=
1173. eзгзЦЙеЙзмл=iбеЙ~к=bим~нбзел=пбнЬ=`зелн~ен=`зЙССбЕбЙенл== у′′+éó′+èó =M K==
qЬЙ=ЕЬ~к~ЕнЙкблнбЕ=Йим~нбзе=бл== λO + éλ +è = M K==
=
fÑ= λN = ~åÇ= λO = ~кЙ= ЗблнбеЕн= кЙ~д= кззнл= зС= нЬЙ= ЕЬ~к~ЕнЙкблнбЕ=
Йим~нбзеI=нЬЙе=нЬЙ=ЦЙеЙк~д=лздмнбзе=бл== у =`NÉλNñ +`OÉλOñ I=пЬЙкЙ==
`N =~åÇ= `O =~кЙ=бенЙЦк~нбзе=Езелн~енлK==
==
fÑ= λN = λO = − éO I=нЬЙе=нЬЙ=ЦЙеЙк~д=лздмнбзе=бл==
ó =(`N +`Oñ)É−éO ñ K==
=
fÑ= λN =~åÇ= λO =~кЙ=ЕзгйдЙс=емгДЙклW=
298
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
λN = α+βá I= λO = α−βб I=пЬЙкЙ==
α = − é I=β = 
Qè −éO I==
O O нЬЙе=нЬЙ=ЦЙеЙк~д=лздмнбзе=бл== у = Éαñ (`N Åçëβñ +`O ëáåβñ)K==
=
1174. fеЬзгзЦЙеЙзмл=iбеЙ~к=bим~нбзел=пбнЬ=`зелн~ен=======================
`зЙССбЕбЙенл==
ó′′+ éó′+èó = Ñ(ñ)K==
=
qЬЙ=ЦЙеЙк~д=лздмнбзе=бл=ЦбоЙе=Ду==
ó= óé + óÜ I=пЬЙкЙ==
óé =бл==~=й~кнбЕмд~к==лздмнбзе=зС==нЬЙ=беЬзгзЦЙеЙзмл=Йим~нбзе=
~åÇ= óÜ =бл=нЬЙ=ЦЙеЙк~д=лздмнбзе=зС=нЬЙ=~ллзЕб~нЙЗ=ЬзгзЦЙеЙ-
змл=Йим~нбзе=EлЙЙ=нЬЙ=йкЙобзмл=нзйбЕ=NNTPFK=
=
fС=нЬЙ=кбЦЬн=лбЗЙ=Ь~л=нЬЙ=Сзкг==
Ñ(ñ)= Éαñ (mN(ñ)Åçëβñ +mN(ñ)ëáåβñ)I==
нЬЙе=нЬЙ==й~кнбЕмд~к=лздмнбзе= уé =бл=ЦбоЙе=Ду==
óé = ñâÉαñ (oN(ñ)Åçëβñ +oO (ñ)ëáåβñ)I==
пЬЙкЙ=нЬЙ=йздуезгб~дл= oN(ñ)=~åÇ= oO (ñ)=Ь~оЙ=нз=ДЙ=СзмеЗ=
Ду=млбеЦ=нЬЙ=гЙнЬзЗ=зС=меЗЙнЙкгбеЙЗ=ЕзЙССбЕбЙенлK==
•fÑ= α+βб =бл=езн=~=кззн=зС=нЬЙ=ЕЬ~к~ЕнЙкблнбЕ=Йим~нбзеI=нЬЙе= нЬЙ=йзпЙк= в = M I=
•fÑ= α+βб =бл=~=лбгйдЙ=кззнI=нЬЙе= в =NI=
•fÑ= α+βб =бл=~=ЗзмДдЙ=кззнI=нЬЙе= в =O K==
=
1175. aбССЙкЙенб~д=bим~нбзел=пбнЬ=у=jбллбеЦ= у′′=Ñ(ñIó′)K==
pÉí= ì = ó′K=qЬЙе=нЬЙ=еЙп=Йим~нбзе=л~нблСбЙЗ=Ду=о=бл== м′= Ñ(ñIì)I==
пЬбЕЬ=бл=~=Сбклн=зкЗЙк=ЗбССЙкЙенб~д=Йим~нбзеK=
299
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1176. aбССЙкЙенб~д=bим~нбзел=пбнЬ=с=jбллбеЦ=
ó′′=Ñ(óIó′)K== pÉí= ì = ó′K=páåÅÉ==
ó′′= ÇìÇñ = ÇìÇó ÇñÇó = ì ÇìÇó I==
ïÉ=Ü~îÉ=
ì ÇìÇó = Ñ (óIì)I==
пЬбЕЬ=бл=~=Сбклн=зкЗЙк=ЗбССЙкЙенб~д=Йим~нбзеK==
=
1177. cкЙЙ=rеЗ~гйЙЗ=sбДк~нбзел= qЬЙ=гзнбзе=зС=~=j~лл=зе=~=pйкбеЦ=бл=ЗЙлЕкбДЙЗ=Ду=нЬЙ=Йим~-
íáçå==
ã&ó&+âó =M I==
пЬЙкЙ== |
|
|
|
г=бл=нЬЙ=г~лл=зС=нЬЙ=зДаЙЕнI= |
|
|
|
в=бл=нЬЙ=лнбССеЙлл=зС=нЬЙ=лйкбеЦI= |
|
|
|
у=бл=Зблйд~ЕЙгЙен=зС=нЬЙ=г~лл=Скзг=ЙимбдбДкбмгK= |
|
|
|
= |
|
|
|
qЬЙ=ЦЙеЙк~д=лздмнбзе=бл== |
|
|
|
ó = ^Åçë(ωMí −δ)I== |
|
|
|
пЬЙкЙ== |
|
|
|
^=бл=нЬЙ=~гйдбнмЗЙ=зС=нЬЙ=Зблйд~ЕЙгЙенI= |
Oπ |
|
|
ωM =бл=нЬЙ=СмеЗ~гЙен~д=СкЙимЙеЕуI=нЬЙ=йЙкбзЗ=бл= q = |
I= |
||
|
|||
δ =бл=йЬ~лЙ=~еЦдЙ=зС=нЬЙ=Зблйд~ЕЙгЙенK= |
ωM |
||
|
|
||
qЬбл=бл=~е=Йс~гйдЙ=зС=лбгйдЙ=Ь~кгзебЕ=гзнбзеK== |
|
|
|
= |
|
|
|
1178. cкЙЙ=a~гйЙЗ=sбДк~нбзел= |
|
|
|
ã&ó&+ γó& + âó = M I=пЬЙкЙ== |
|
|
|
γ=бл=нЬЙ=З~гйбеЦ=ЕзЙССбЕбЙенK== |
|
|
|
qЬЙкЙ=~кЙ=P=Е~лЙл=Сзк=нЬЙ=ЦЙеЙк~д=лздмнбзеW= |
|
|
|
= |
|
|
|
300
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
`~ëÉ=NK γO > Qвг =EзоЙкЗ~гйЙЗF= у(í)= ^ÉλNí +_ÉλOí I==
пЬЙкЙ==
λN = |
− γ − |
γO −Qâã |
I= λO |
= |
− γ + |
γO −Qâã |
K== |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Oã |
|
|
Oã |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
`~ëÉ=OK= γO = Qвг EЕкбнбЕ~дду=З~гйЙЗF= |
|
|
||||||||||||||
|
ó(í)=(^ +_í)Éλí I== |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
пЬЙкЙ== |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
λ = − |
|
γ |
K= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Oã |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
`~ëÉ=PK= γO < Qвг =EмеЗЙкЗ~гйЙЗF== |
|
|
||||||||||||||
ó(í) |
=É− |
γ |
í ^Åçë(ωí −δ)I=пЬЙкЙ== |
|
|
|
||||||||||
Oã |
|
|
|
|||||||||||||
ω= |
|
Qâã − γO |
K== |
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1179. pбгйдЙ=mЙеЗмдмг= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ÇOθ |
|
+ |
Ö |
θ= M I= |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ÇíO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
пЬЙкЙ= θ= бл= нЬЙ= ~еЦмд~к= Зблйд~ЕЙгЙенI= i= бл= нЬЙ= йЙеЗмдмг= |
||||||||||||||||
дЙеЦнЬI=Ц=бл=нЬЙ=~ЕЕЙдЙк~нбзе=зС=Цк~обнуK= |
|
|
||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qЬЙ=ЦЙеЙк~д=лздмнбзе=Сзк=лг~дд=~еЦдЙл= θ =áë== |
|
|||||||||||||||
θ(í)= θã~ñ |
ëáå |
Ö н I=нЬЙ=йЙкбзЗ=бл= q =Oπ |
i |
K== |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
Ö |
|
=
1180. oi`=`бкЕмбн=
iÇOf +o Çf + N f = s′(í)=ωbM Åçë(ωí)I=
ÇíO Çí `
301
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
пЬЙкЙ=f=бл=нЬЙ=ЕмккЙен=бе=~е=oi`=ЕбкЕмбн=пбнЬ=~е=~Е=оздн~ЦЙ= лзмкЕЙ= s(í)= bM ëáå(ωí)K===
=
qЬЙ=ЦЙеЙк~д=лздмнбзе=бл==
f(í)=`NÉêNí +`OÉêOí + ^ëáå(ωí −ϕ)I=
пЬЙкЙ==
|
−o ± |
|
oO − |
Qi |
|
|
|||||
|
|
` I== |
|||||||||
êNI O |
= |
|
Oi |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
^ = |
|
|
ωbM |
|
|
I== |
|||||
|
|
|
|
N O |
|
|
|||||
|
O |
|
|
|
O |
O |
|||||
|
iω |
|
− |
|
|
|
|
+o |
ω |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
` |
|
|
|
|||
ϕ= |
|
iω |
− |
|
N |
|
|||||
~êÅí~å |
|
|
|
|
|
|
|
I== |
|||
|
|
|
|
o`ω |
|||||||
|
|
|
o |
|
|
||||||
`N I= `O =~кЙ=Езелн~енл=ЗЙйЙеЗбеЦ=зе=бебнб~д=ЕзеЗбнбзелK=
=
=
=
10.3. Some Partial Differential Equations
=
1181. qÜÉ=i~éä~ÅÉ=bèì~íáçå=
∂Oì + ∂Oì = M = ∂ñO ∂óO
~ййдбЙл=нз=йзнЙенб~д=ЙеЙкЦу=СмеЕнбзе= м(ñIó)==Сзк==~==ЕзелЙк-
о~нбоЙ= СзкЕЙ= СбЙдЗ= бе= нЬЙ= су-йд~еЙK= m~кнб~д= ЗбССЙкЙенб~д= Йим~-
нбзел=зС=нЬбл=нуйЙ=~кЙ=Е~ддЙЗ=ЙддбйнбЕK==
=
1182. qÜÉ=eÉ~í=bèì~íáçå=
∂Oì |
+ |
∂Oì |
= |
∂ì |
= |
∂ñ O |
|
∂óO |
|
∂í |
|
302
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
~ййдбЙл= нз= нЬЙ= нЙгйЙк~нмкЙ= ЗблнкбДмнбзе= м(ñIó)= áå= íÜÉ= ñó-
йд~еЙ=пЬЙе=ЬЙ~н=бл=~ддзпЙЗ=нз=Сдзп=Скзг=п~кг=~кЙ~л=нз=Еззд= зеЙлK=qЬЙ=Йим~нбзел=зС=нЬбл=нуйЙ=~кЙ=Е~ддЙЗ=й~к~ДздбЕK==
=
1183. qÜÉ=t~îÉ=bèì~íáçå=
∂Oì + ∂Oì = ∂Oì
∂ñO ∂óO ∂íO =
~ййдбЙл=нз=нЬЙ=Зблйд~ЕЙгЙен= м(ñIó)=зС=обДк~нбеЦ=гЙгДк~еЙл=
~еЗ= знЬЙк= п~оЙ= СмеЕнбзелK= qЬЙ= Йим~нбзел= зС= нЬбл= нуйЙ= ~кЙ= Е~ддЙЗ=ЬуйЙкДздбЕK==
=
=
303