Chapter 3
Geometry
=
=
=
=
3.1 Right Triangle
=
iЙЦл=зС=~=кбЦЬн=нкб~еЦдЙW=~I=Д=
eуйзнЙемлЙW=Е=
^днбнмЗЙW=Ь=
jÉÇá~åëW= ã~ I= ãÄ I= ãÅ = ^еЦдЙлW= αI β=
o~Збмл=зС=ЕбкЕмглЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=o=
o~Збмл=зС=белЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=к=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 8.
=
156. α+β=VM°=
=
24
CHAPTER 3. GEOMETRY
157.ëáå α = ~Å =Åçë β=
=
158.Åçë α = ÄÅ =ëáå β=
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
159. |
í~å α = |
~ |
|
=Åçí β= |
||||
Ä |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
160. |
Åçí α = |
Ä |
|
= í~å β= |
||||
~ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
161. |
ëÉÅ α = |
|
Å |
|
=Åçë ÉÅ β= |
|||
|
Ä |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
162. |
Åçë ÉÅ α = |
|
Å |
=ëÉÅ β= |
||||
~ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
=
163.mунЬ~ЦзкЙ~е=qЬЙзкЙг= ~O +ÄO =ÅO =
=
164. ~O =ÑÅ I= ÄO =ÖÅ I==
пЬЙкЙ= С= ~еЗ= Е= ~кЙ= йкзаЙЕнбзел= зС= нЬЙ= дЙЦл= ~= ~еЗ= ДI= кЙлйЙЕ-
нбоЙдуI=зенз=нЬЙ=ЬуйзнЙемлЙ=ЕK=
=
=====
=
=
Figure 9.
=
25
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CHAPTER 3. GEOMETRY |
||||
165. |
ÜO =ÑÖ I=== |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
пЬЙкЙ=Ь=бл=нЬЙ=~днбнмЗЙ=Скзг=нЬЙ=кбЦЬн=~еЦдЙK== |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||
166. |
ã~O = |
ÄO − |
~O |
|
I= ãOÄ =~O − |
ÄO |
I=== |
||||||||
Q |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|||
|
пЬЙкЙ= г~ =~åÇ= ãÄ =~êÉ=íÜÉ=ãÉÇá~åë=íç=íÜÉ=äÉÖë=~=~åÇ=ÄK== |
||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Figure 10. |
||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
167. |
ãÅ = |
|
Å |
I== |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
пЬЙкЙ= гÅ =бл=нЬЙ=гЙЗб~е=нз=нЬЙ=ЬуйзнЙемлЙ=ЕK= |
||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
168. |
o = |
Å |
|
=ãÅ = |
|
|
|
|
|
|
|
||||
O |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
~ +Ä −Å |
|
|
|
|
= |
||||||||
169. |
ê = |
|
= |
~Ä |
|
= |
|
|
|||||||
|
~ +Ä +Å |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
||||
170. |
~Ä = ÅÜ = |
|
|
|
|
|
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
=
=
26
CHAPTER 3. GEOMETRY
171. p = ~ÄO = ÅÜO =
=
=
=
3.2 Isosceles Triangle
=
_~ëÉW=~= iÉÖëW=Ä= _~ëÉ=~åÖäÉW= β=
sЙкнЙс=~еЦдЙW= α=
^днбнмЗЙ=нз=нЬЙ=Д~лЙW=Ь=
mЙкбгЙнЙкW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 11.
=
172. β=VM°− αO =
=
173. ÜO = ÄO − ~O =
Q
27
CHAPTER 3. GEOMETRY
174. i = ~ +OÄ =
=
175. p = ~Ü = ÄO ëáå α=
O O
=
=
=
3.3 Equilateral Triangle
=
pбЗЙ=зС=~=Йимбд~нЙк~д=нкб~еЦдЙW=~=
^днбнмЗЙW=Ь=
o~Збмл=зС=ЕбкЕмглЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=o=
o~Збмл=зС=белЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=к=
mЙкбгЙнЙкW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 12.
=
176. Ü = ~ OP =
=
28
CHAPTER 3. GEOMETRY
177. |
o = O Ü = |
~ |
P |
= |
|
|
P |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
178. |
ê = N Ü = |
~ |
P = o |
= |
|
|
P |
S |
|
O |
|
179. |
i =P~ = |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
180. |
p = ~Ü = |
~O |
P |
= |
|
|
O |
Q |
|
|
|
=
=
=
3.4 Scalene Triangle
E^=нкб~еЦдЙ=пбнЬ=ез=нпз=лбЗЙл=Йим~дF=
=
=
pбЗЙл=зС=~=нкб~еЦдЙW=~I=ДI=Е= pЙгбйЙкбгЙнЙкW= й = ~ +OÄ +Å ==
^еЦдЙл=зС=~=нкб~еЦдЙW= αI βI γ=
^днбнмЗЙл=нз=нЬЙ=лбЗЙл=~I=ДI=ЕW= Ь~ I ÜÄ I ÜÅ = jЙЗб~ел=нз=нЬЙ=лбЗЙл=~I=ДI=ЕW= г~ I ãÄ I ãÅ = _блЙЕнзкл=зС=нЬЙ=~еЦдЙл= αI βI γW= í~ I íÄ I íÅ =
o~Збмл=зС=ЕбкЕмглЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=o=
o~Збмл=зС=белЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=к=
^êÉ~W=p=
=
=
29
CHAPTER 3. GEOMETRY
=====
=
=
Figure 13.
=
181. α+β+ γ =NUM°=
=
182.~ + Ä > Å I==
Ä+Å >~ I==
~+Å > Ä K=
=
183.~ −Ä <Å I== Ä −Å <~ I== ~ −Å < Ä K=
=
184.jбЗдбеЙ=
è = ~O I= è öö ~ K=
=
=====
=
=
Figure 14.
=
30
CHAPTER 3. GEOMETRY
185.i~п=зС=`злбеЙл=
~O = ÄO +ÅO −OÄÅ Åçë αI=
|
ÄO =~O +ÅO −O~Å Åçë βI= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
ÅO =~O +ÄO −O~Ä Åçë γ K= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
186. |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i~ï=çÑ=páåÉë= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
~ |
|
|
|
|
= |
|
Ä |
|
|
|
|
= |
|
Å |
|
|
=Oo I== |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ëáå α |
ëáå β |
|
ëáå γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
пЬЙкЙ=o=бл=нЬЙ=к~Збмл=зС=нЬЙ=ЕбкЕмглЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙK== |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
187. |
|
o = |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
= |
|
|
|
Ä |
|
|
= |
|
|
Å |
= |
ÄÅ |
= |
~Å |
= |
~Ä |
= |
~ÄÅ |
= |
||||||||
|
|
O ëáå α |
|
O ëáå β |
O ëáå γ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OÜ~ |
|
OÜ Ä |
OÜÅ |
Qp |
|
|||||||||||||||||||||
188. |
=êO = (é −~)(é −Ä)(é −Å)I== |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
N |
= |
|
N |
|
+ |
N |
+ |
|
N |
K= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ê |
|
Ü~ |
|
|
|
ÜÄ |
|
|
|
ÜÅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(é −Ä)(é −Å) I= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
189. |
ëáå |
α |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÄÅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Åçë |
α |
|
= |
é(é −~) I= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
ÄÅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
í~å |
|
α |
|
= |
(é −Ä)(é −Å) |
K= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
O |
|
|
|
|
é(é −~) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
190. |
|
Ü~ = |
O |
|
|
é(é −~)(é −Ä)(é −Å)I= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ÜÄ = ÄO 
é(é −~)(é −Ä)(é −Å)I=
ÜÅ = OÅ 
é(é −~)(é −Ä)(é −Å)K=
31
CHAPTER 3. GEOMETRY
191.Ü~ = Äëáå γ =Å ëáå βI=
ÜÄ =~ ëáå γ =Å ëáå α I=
ÜÅ =~ ëáå β= Äëáå α K=
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
192. |
ã~O = |
ÄO +ÅO |
|
− |
~O |
|
I== |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
O |
Q |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ãOÄ = |
~O +ÅO |
|
− |
|
ÄO |
|
I== |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
O |
|
Q |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ãÅO = |
|
~O +ÄO |
|
− |
ÅO |
|
K= |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
O |
|
Q |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
===== |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Figure 15. |
|
|||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
193. |
^j = |
O |
ã~ I= _j = |
O |
ãÄ |
I= `j = |
O |
ãÅ =EcáÖKNRFK= |
||||||||||||||
|
P |
P |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
QÄÅé(é −~) |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||
194. |
í |
O |
= |
|
I== |
|
|
|
|
|||||||||||||
~ |
|
|
|
|
(Ä +Å)O |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
í |
O |
= |
|
Q~Åé(é −Ä) |
I== |
|
|
|
|
||||||||||||
|
Ä |
|
|
|
|
(~ +Å)O |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
í |
O |
= |
|
Q~Äé(é −Å) |
K= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Å |
|
|
|
|
(~ +Ä)O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
=
32
CHAPTER 3. GEOMETRY
195. p = |
~Ü~ |
= |
ÄÜÄ |
|
= |
ÅÜÅ |
I== |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
O |
O |
|
O |
|
|
|
||||
p = |
|
~Ä ëáå γ |
= |
|
~Å ëáå β |
= |
ÄÅ ëáå α |
I== |
||||
|
O |
|
|
O |
O |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
p = é(é −~)(é −Ä)(é −Å)=EeЙкзе∞л=cзкгмд~FI= p = éê I==
p = ~ÄÅQo I=
p =OoO ëáå α ëáå β ëáå γ I=
p = éO í~å αO í~å βO í~å Oγ K=
=
=
=
3.5 Square
páÇÉ=çÑ=~=ëèì~êÉW=~=
aá~Öçå~äW=Ç=
o~Збмл=зС=ЕбкЕмглЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=o=
o~Збмл=зС=белЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=к=
mЙкбгЙнЙкW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
Figure 16.
33
CHAPTER 3. GEOMETRY
196. Ç =~ 
O ==
=
197. o = ÇO = ~ OO =
=
198. ê = ~O =
=
199. i =Q~ =
=
200. p =~O =
=
=
=
3.6 Rectangle
=
páÇÉë=çÑ=~=êÉÅí~åÖäÉW=~I=Ä=
aá~Öçå~äW=Ç=
o~Збмл=зС=ЕбкЕмглЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=o=
mЙкбгЙнЙкW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 17.
=
201. Ç = 
~O +ÄO ==
34
CHAPTER 3. GEOMETRY
202. o = ÇO =
=
203. i =O(~ +Ä)=
=
204. p = ~Ä =
=
=
=
3.7 Parallelogram
=
pбЗЙл=зС=~=й~к~ддЙдзЦк~гW=~I=Д= aб~Цзе~длW= ЗN I ÇO = `зелЙЕмнбоЙ=~еЦдЙлW= αI β=
^еЦдЙ=ДЙнпЙЙе=нЬЙ=Зб~Цзе~длW= ϕ=
^днбнмЗЙW=Ь==
mЙкбгЙнЙкW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=====
=
=
Figure 18.
=
205. α+β=NUM°=
=
206. ÇNO +ÇOO =O(~O +ÄO )=
=
35
CHAPTER 3. GEOMETRY
207. Ü = Ä ëáå α = Ä ëáå β=
=
208. i =O(~ +Ä)=
=
209. p =~Ü =~Ä ëáå α I== p = NO ÇNÇO ëáå ϕK=
=
=
=
3.8 Rhombus
=
pбЗЙ=зС=~=кЬзгДмлW=~= aб~Цзе~длW= ЗN I ÇO = `зелЙЕмнбоЙ=~еЦдЙлW= αI β=
^днбнмЗЙW=e=
o~Збмл=зС=белЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=к=
mЙкбгЙнЙкW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=====
=
=
Figure 19.
=
36
|
|
|
|
|
|
|
|
CHAPTER 3. GEOMETRY |
||
210. |
α+β=NUM°= |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
211. |
ÇNO +ÇOO =Q~O = |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
212. |
Ü =~ ëáå α = |
|
ÇNÇO |
= |
|
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
O~ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ ëáå α |
= |
|
213. |
ê = |
Ü |
= |
ÇNÇO |
|
= |
= |
|||
|
Q~ |
|
O |
|||||||
|
|
O |
|
|
|
|
||||
214. |
i =Q~ = |
|
|
|
|
|
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
=
215. p =~Ü =~O ëáå α I== p = NO ÇNÇO K=
=
=
=
3.9 Trapezoid
=
_~лЙл=зС=~=нк~йЙтзбЗW=~I=Д= jбЗдбеЙW=и=
^днбнмЗЙW=Ь=
^êÉ~W=p=
=
=
37
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 20.
=
216. è = ~ +O Ä =
=
217. p = ~ +O Ä Ü =èÜ =
=
=
=
3.10 Isosceles Trapezoid
=
_~лЙл=зС=~=нк~йЙтзбЗW=~I=Д= iЙЦW=Е=
jбЗдбеЙW=и=
^днбнмЗЙW=Ь=
aá~Öçå~äW=Ç=
o~Збмл=зС=ЕбкЕмглЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=o=
^êÉ~W=p=
=
=
38
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 21.
=
218. è = ~ +O Ä =
=
219.Ç = 
~Ä +ÅO =
=
220.Ü = 
ÅO − QN (Ä −~)O =
|
|
|
|
= |
|
221. |
o = |
Å |
~Ä +ÅO |
||
|
|
= |
|||
|
|
(OÅ −~ +Ä)(OÅ +~ −Ä) |
|||
|
|
~ +Ä |
|
= |
|
222. |
p = |
Ü =èÜ = |
|||
|
|||||
O
=
=
=
=
=
=
39
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.11 Isosceles Trapezoid with Inscribed Circle
=
_~лЙл=зС=~=нк~йЙтзбЗW=~I=Д= iЙЦW=Е=
jбЗдбеЙW=и=
^днбнмЗЙW=Ь=
aá~Öçå~äW=Ç=
o~Збмл=зС=белЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=o=
o~Збмл=зС=ЕбкЕмглЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=к=
mЙкбгЙнЙкW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 22.
=
223.~ +Ä =OÅ =
=
224.è = ~ +O Ä =Å =
=
225. ÇO = ÜO +ÅO =
=
40
CHAPTER 3. GEOMETRY
226. |
ê = |
Ü = |
|
|
~Ä |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
227. |
o = |
ÅÇ |
= |
ÅÇ |
= Å |
N + |
ÅO |
= |
Å |
ÜO +ÅO = |
~ +Ä |
~ |
+S + |
Ä |
= |
||
|
|
OÜ |
|
|
Qê |
O |
|
~Ä |
|
OÜ |
|
|
U |
Ä |
|
~ |
|
228. |
i =O(~ +Ä)=QÅ = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Ü = (~ +Ä) |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||
229. |
p = |
~ +Ä |
|
~Ä =èÜ =ÅÜ = iê |
== |
|
|
|
|
||||||||
O |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
=
=
=
3.12 Trapezoid with Inscribed Circle
=
_~лЙл=зС=~=нк~йЙтзбЗW=~I=Д= i~нЙк~д=лбЗЙлW=ЕI=З= jбЗдбеЙW=и=
^днбнмЗЙW=Ь= aб~Цзе~длW= ЗN I ÇO =
^еЦдЙ=ДЙнпЙЙе=нЬЙ=Зб~Цзе~длW= ϕ= o~Збмл=зС=белЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=к= o~Збмл=зС=ЕбкЕмглЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=o= mЙкбгЙнЙкW=i=
^êÉ~W=p=
=
41
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 23.
=
230. ~ +Ä =Å +Ç =
=
231. è = ~ +O Ä = Å +O Ç =
=
232. i =O(~ +Ä)=O(Å +Ç)=
=
233. p = ~ +O Ä Ü = Å +O Ç Ü =èÜ I== p = NO ÇNÇO ëáå ϕK=
=
=
=
3.13 Kite
=
páÇÉë=çÑ=~=âáíÉW=~I=Ä= aá~Öçå~äëW= ÇN I ÇO = ^еЦдЙлW= αI βI γ=
mЙкбгЙнЙкW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
42
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 24.
=
234. α+β+ Oγ =PSM°=
=
235. i =O(~ +Ä)=
=
236. p = ÇNOÇO =
=
=
=
3.14 Cyclic Quadrilateral
páÇÉë=çÑ=~=èì~Çêáä~íÉê~äW=~I=ÄI=ÅI=Ç= aá~Öçå~äëW= ÇN I ÇO = ^еЦдЙ=ДЙнпЙЙе=нЬЙ=Зб~Цзе~длW= ϕ=
fенЙке~д=~еЦдЙлW= αI βI γI δ= o~Збмл=зС=ЕбкЕмглЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=o= mЙкбгЙнЙкW=i=
pЙгбйЙкбгЙнЙкW=й==
^êÉ~W=p=
43
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 25.
=
237. α+ γ =β+ δ =NUM°=
=
238.mнздЙгу∞л=qЬЙзкЙг= ~Е +ÄÇ =ÇNÇO =
=
239. i = ~ + Ä +Å +Ç =
=
240. o = N (~Å +ÄÇ)(~Ç +ÄÅ)(~Ä +ÅÇ)I== Q 
(é −~)(é −Ä)(é −Å)(é −Ç)
пЬЙкЙ= й = iO K=
=
241.p = NO ÇNÇO ëáå ϕI==
p = (é −~)(é −Ä)(é −Å)(é −Ç)I==
пЬЙкЙ= й = iO K=
=
=
=
44
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.15 Tangential Quadrilateral
=
páÇÉë=çÑ=~=èì~Çêáä~íÉê~äW=~I=ÄI=ÅI=Ç= aá~Öçå~äëW= ÇN I ÇO = ^еЦдЙ=ДЙнпЙЙе=нЬЙ=Зб~Цзе~длW= ϕ=
o~Збмл=зС=белЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=к=
mЙкбгЙнЙкW=i=
pЙгбйЙкбгЙнЙкW=й==
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 26.
=
242. ~ +Å = Ä +Ç =
=
243. i =~ +Ä +Å +Ç =O(~ +Å)=O(Ä +Ç)=
=
244. |
ê = |
ÇNOÇOO −(~ −Ä)O (~ +Ä −é)O |
I== |
|||
|
|
|
|
|
Oé |
|
|
пЬЙкЙ= |
é = |
i |
K== |
|
|
|
O |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
=
45
CHAPTER 3. GEOMETRY
245. p = éê = NO ÇNÇO ëáå ϕ=
=
=
=
3.16 General Quadrilateral
=
páÇÉë=çÑ=~=èì~Çêáä~íÉê~äW=~I=ÄI=ÅI=Ç= aá~Öçå~äëW= ÇN I ÇO = ^еЦдЙ=ДЙнпЙЙе=нЬЙ=Зб~Цзе~длW= ϕ=
fенЙке~д=~еЦдЙлW= αI βI γI δ= mЙкбгЙнЙкW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=======
=
=
Figure 27.
=
246. α+β+ γ + δ =PSM°=
=
247. i = ~ + Ä +Å +Ç =
=
46
CHAPTER 3. GEOMETRY
248. p = NO ÇNÇO ëáå ϕ=
=
=
=
3.17 Regular Hexagon
=
pбЗЙW=~= fенЙке~д=~еЦдЙW= α= pд~ен=ЬЙбЦЬнW=г=
o~Збмл=зС=белЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=к=
o~Збмл=зС=ЕбкЕмглЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=o=
mЙкбгЙнЙкW=i=
pЙгбйЙкбгЙнЙкW=й==
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 28.
=
249. α =NOM°=
=
250. ê =ã = ~ OP =
47
CHAPTER 3. GEOMETRY
251. o =~ =
=
252. i =S~ =
=
253. p = éê = ~O PO P I==
пЬЙкЙ= й = iO K=
=
=
=
3.18 Regular Polygon
=
páÇÉW=~=
kмгДЙк=зС=лбЗЙлW=е= fенЙке~д=~еЦдЙW= α= pд~ен=ЬЙбЦЬнW=г= o~Збмл=зС=белЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=к= o~Збмл=зС=ЕбкЕмглЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=o= mЙкбгЙнЙкW=i=
pЙгбйЙкбгЙнЙкW=й==
^êÉ~W=p=
=
=
48
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 29.
=
254.α = å O−O NUM°=
255.α = å O−O NUM°=
256. |
o = |
~ |
|
|
= |
|
Oëáå |
π |
|
||||
|
|
å |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
257. |
ê =ã = |
|
~ |
π = |
||
|
|
|
O í~å |
å |
||
|
|
|
|
|
|
|
258.i =å~ =
259.p = åoO O ëáå Oåπ I==
p = éê = é oO − |
~O |
|
Q |
=
=
=
oO − ~O =
Q
=
=
I==
49
CHAPTER 3. GEOMETRY
пЬЙкЙ= й = iO K==
=
=
=
3.19 Circle
=
o~ÇáìëW=o=
aб~гЙнЙкW=З=
`ÜçêÇW=~=
pЙЕ~ен=лЙЦгЙенлW=ЙI=С=
q~еЦЙен=лЙЦгЙенW=Ц= `Йенк~д=~еЦдЙW= α= fелЕкбДЙЗ=~еЦдЙW= β= mЙкбгЙнЙкW=i= ^кЙ~W=p=
=
=
260. ~ =Oo ëáå αO =
=
=
=
Figure 30.
=
50
CHAPTER 3. GEOMETRY
261. ~N~O = ÄNÄO =
=
=
=
Figure 31.
=
262. ÉÉN =ÑÑN =
=
=====
=
=
Figure 32.
=
263. ÖO =ÑÑN =
=
51
CHAPTER 3. GEOMETRY
=====
=
=
264. β= αO =
=
=
=
265.i = Oπo = πÇ =
266.p = πoO = πQÇO
=
=
Figure 33.
=
Figure 34.
=
= ioO ==
52
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.20 Sector of a Circle
=
o~Збмл=зС=~=ЕбкЕдЙW=o=
^кЕ=дЙеЦнЬW=л=
`Йенк~д=~еЦдЙ=Eбе=к~Зб~елFW=с= `Йенк~д=~еЦдЙ=Eбе=ЗЙЦкЙЙлFW= α= mЙкбгЙнЙкW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 35.
=
267. ë =oñ =
=
268. ë = NUMπoα° =
=
269. i =ë +Oo =
=
270. p = oë = oO ñ = πoOα == O O PSM°
=
=
53
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.21 Segment of a Circle
=
o~Збмл=зС=~=ЕбкЕдЙW=o=
^кЕ=дЙеЦнЬW=л=
`ÜçêÇW=~=
`Йенк~д=~еЦдЙ=Eбе=к~Зб~елFW=с= `Йенк~д=~еЦдЙ=Eбе=ЗЙЦкЙЙлFW= α= eЙбЦЬн=зС=нЬЙ=лЙЦгЙенW=Ь= mЙкбгЙнЙкW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 36.
=
271. ~ =O
OÜo −ÜO =
=
272. Ü =o − NO 
QoO −~O I= Ü <o =
=
273. i =ë +~ =
=
54
CHAPTER 3. GEOMETRY
274. |
|
N |
[ëo −~(o −Ü)]= |
oO |
απ |
|
|
oO |
(ñ −ëáå ñ )I== |
|
p = |
|
|
|
|
−ëáå α |
= |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
O |
|
O NUM° |
|
|
O |
|
||
|
p ≈ |
O |
Ü~ K= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P
=
=
=
3.22 Cube
=
bÇÖÉW=~==
aá~Öçå~äW=Ç=
o~Збмл=зС=белЕкбДЙЗ=лйЬЙкЙW=к=
o~Збмл=зС=ЕбкЕмглЕкбДЙЗ=лйЬЙкЙW=к=
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sздмгЙW=s=
=
=
===
=
=
Figure 37.
=
275. Ç =~ 
P =
=
276. ê = ~O =
=
55
CHAPTER 3. GEOMETRY
277. o = ~ OP =
=
278. p =S~O =
=
279. s =~P ==
=
=
=
3.23 Rectangular Parallelepiped
=
bÇÖÉëW=~I=ÄI=Å==
aá~Öçå~äW=Ç=
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sздмгЙW=s=
=
=
=====
=
=
Figure 38.
=
280. Ç = 
~O +ÄO +ÅO =
=
281. p =O(~Ä +~Å +ÄÅ)=
=
282. s = ~ÄÅ ==
56
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.24 Prism
=
i~íÉê~ä=ÉÇÖÉW=ä=
eЙбЦЬнW=Ь= i~нЙк~д=~кЙ~W= pi = ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ = qзн~д=лмкС~ЕЙ=~кЙ~W=p= sздмгЙW=s=
=
=
=====
=
=
Figure 39.
=
283. p =pi +Op_ K==
=
284.i~íÉê~ä=^êÉ~=çÑ=~=oáÖÜí=mêáëã= pi (~N +~O +~P +K+~å )ä ==
=
285.i~нЙк~д=^кЙ~=зС=~е=lДдбимЙ=mкблг= pi = éä I==
пЬЙкЙ=й=бл=нЬЙ=йЙкбгЙнЙк=зС=нЬЙ=Екзлл=лЙЕнбзеK=
=
57
CHAPTER 3. GEOMETRY
286. s =p_ Ü =
=
287.`~о~дбЙкбDл=mкбеЕбйдЙ==
dбоЙе= нпз= лздбЗл= беЕдмЗЙЗ= ДЙнпЙЙе= й~к~ддЙд= йд~еЙлK= fС= ЙоЙку= йд~еЙ=Екзлл=лЙЕнбзе=й~к~ддЙд=нз=нЬЙ=ЦбоЙе=йд~еЙл=Ь~л=нЬЙ=л~гЙ=
~кЙ~=бе=ДзнЬ=лздбЗлI=нЬЙе=нЬЙ=оздмгЙл=зС=нЬЙ=лздбЗл=~кЙ=Йим~дK=
=
=
=
3.25 Regular Tetrahedron
=
qкб~еЦдЙ=лбЗЙ=дЙеЦнЬW=~=
eЙбЦЬнW=Ь= ^кЙ~=зС=Д~лЙW= p_ = pмкС~ЕЙ=~кЙ~W=p= sздмгЙW=s=
=
=
=
=
Figure 40.
=
288. Ü = |
O |
~ = |
|
P |
|
=
58
CHAPTER 3. GEOMETRY
=P~O
289.p_ Q =
=
290. |
p = P~O = |
|
|
= |
|
|
|
291. |
s = N p_ Ü = |
~P |
K== |
|
P |
S O |
|
=
=
=
3.26 Regular Pyramid
=
páÇÉ=çÑ=Ä~ëÉW=~=
i~íÉê~ä=ÉÇÖÉW=Ä=
eЙбЦЬнW=Ь=
pд~ен=ЬЙбЦЬнW=г==
kмгДЙк=зС=лбЗЙлW=е==
pЙгбйЙкбгЙнЙк=зС=Д~лЙW=й=
o~Збмл=зС=белЕкбДЙЗ=лйЬЙкЙ=зС=Д~лЙW=к= ^кЙ~=зС=Д~лЙW= p_ = i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= pi = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sздмгЙW=s=
=
=
59
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 41.
=
292. |
ã = |
|
|
ÄO − ~O |
= |
|
|
||
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
QÄO ëáåO π |
−~O |
||||
293. |
Ü = |
|
|
|
|
|
å |
|
= |
|
|
|
Oëáå |
π |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
å |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
294. |
pi = N |
å~ã = |
N å~ QÄO −~O = éã = |
||||||
|
|
|
O |
|
|
Q |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
295. |
p_ = éê = |
|
|
|
|||||
296. |
p =p_ +pi = |
|
= |
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
297. |
s = |
N |
p_ Ü = |
N |
éêÜ == |
|
|||
|
P |
|
|||||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
||
=
=
=
60
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.27 Frustum of a Regular Pyramid
=
~N I ~O I ~P IKI ~ |
å |
= |
_~лЙ=~еЗ=нзй=лбЗЙ=дЙеЦнЬлW= |
|
|
ÄN I ÄO I ÄP IKI Äå |
|
|
eЙбЦЬнW=Ь=
pд~ен=ЬЙбЦЬнW=г== ^кЙ~=зС=Д~лЙлW= pN I= pO = i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= pi = mЙкбгЙнЙк=зС=Д~лЙлW= mN I= mO = pЕ~дЙ=С~ЕнзкW=в= qзн~д=лмкС~ЕЙ=~кЙ~W=p= sздмгЙW=s=
=
=
=
=
|
= |
|
|
|
|
|
|
Figure 42. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
298. |
|
ÄN |
= |
ÄO |
= |
ÄP |
=K= |
Äå |
= |
Ä |
= â = |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
~N |
~O |
~P |
~å |
|
~ |
|
|||
=
61
CHAPTER 3. GEOMETRY
299.pO = â O = pN
|
|
|
ã(mN +mO ) |
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||
300. |
pi = |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
301. |
p =pi +pN +pO = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Ü (pN + |
|
|
|
|
|
|
+pO )= |
= |
|
||||||
302. |
s = |
|
pNpO |
|
|
||||||||||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Üp |
N |
|
|
Ä |
|
|
|
|
Ä O |
|
Üp |
||||
303. |
s = |
|
|
N |
+ |
|
+ |
|
|
|
|
= |
N |
[N +â +â O ]= |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
P |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
P |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
=
=
3.28 Rectangular Right Wedge
=
páÇÉë=çÑ=Ä~ëÉW=~I=Ä=
qçé=ÉÇÖÉW=Å=
eЙбЦЬнW=Ь= i~нЙк~д=лмкС~ЕЙ=~кЙ~W= pi = ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ = qзн~д=лмкС~ЕЙ=~кЙ~W=p= sздмгЙW=s=
=
=
62
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
|
= |
|
|
|
|
Figure 43. |
|
|
|
|
|
|
|
304. |
pi = |
N |
(~ +Å) |
QÜO +ÄO +Ä ÜO +(~ −Å)O = |
||
|
||||||
|
|
|
O |
|
||
305. |
p_ =~Ä = |
= |
||||
|
||||||
306. |
p =p_ +pi = |
= |
||||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
307. |
s = |
ÄÜ |
(O~ +Å)= |
|||
|
||||||
S
=
=
=
3.29 Platonic Solids
=
bÇÖÉW=~=
o~Збмл=зС=белЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=к=
o~Збмл=зС=ЕбкЕмглЕкбДЙЗ=ЕбкЕдЙW=o=
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sздмгЙW=s=
=
=
63
CHAPTER 3. GEOMETRY
308. cбоЙ=mд~нзебЕ=pздбЗл=
qЬЙ= йд~нзебЕ= лздбЗл= ~кЙ= ЕзеоЙс= йздуЬЙЗк~= пбнЬ= Йимбо~дЙен= С~ЕЙл=ЕзгйзлЙЗ=зС=ЕзеЦкмЙен=ЕзеоЙс=кЙЦмд~к=йздуЦзелK==
=
pçäáÇ= |
kмгДЙк= |
kмгДЙк= |
kмгДЙк= |
pЙЕнбзе= |
|
зС=sЙкнбЕЙл |
çÑ=bÇÖÉë= |
çÑ=c~ÅÉë= |
|
qЙнк~ЬЙЗкзе== |
Q= |
S= |
Q= |
PKOR= |
`ìÄÉ= |
U= |
NO= |
S= |
PKOO= |
lЕн~ЬЙЗкзе= |
S= |
NO= |
U= |
PKOT= |
fЕзл~ЬЙЗкзе= |
NO= |
PM= |
OM= |
PKOT= |
aзЗЙЕ~ЬЙЗкзе= |
OM= |
PM= |
NO= |
PKOT= |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
Octahedron
=
=
=
Figure 44.
=
309.ê = ~ SS =
=
310.o = ~ OO =
=
64
CHAPTER 3. GEOMETRY
311.p =O~O 
P =
=
312.s = ~PP O =
=
=
Icosahedron
=
=
=
|
= |
|
|
|
|
Figure 45. |
|
|
|
|
P (P + |
R )= |
|||
313. |
ê = |
~ |
|||||
|
|
NO |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
O(R + |
R )= |
||
314. |
o = ~ |
||||||
|
|
Q |
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
|
|
315. |
p =R~O P = |
|
|
||||
= |
|
|
R~P (P + |
R ) |
|
||
316. |
s = |
= |
|||||
|
|
||||||
NO
=
=
65
CHAPTER 3. GEOMETRY
Dodecahedron
=
=
=
Figure 46.
317. |
ê = ~ |
NM(OR +NN |
|
R )= |
= |
|||
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
= |
|
|
|
P (N + R ) |
|
|
|
|
318. |
o = |
~ |
= |
|
||||
|
|
Q |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
p =P~O R(R +O |
R )= |
|
|||||
319. |
|
|||||||
= |
|
|
~P (NR +T R ) |
|
|
|||
320. |
s = |
= |
|
|||||
|
|
|||||||
Q
=
=
=
3.30 Right Circular Cylinder
=
o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=o=
aб~гЙнЙк=зС=Д~лЙW=З=
66
CHAPTER 3. GEOMETRY
eЙбЦЬнW=e= i~нЙк~д=лмкС~ЕЙ=~кЙ~W= pi = ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ = qзн~д=лмкС~ЕЙ=~кЙ~W=p= sздмгЙW=s=
=
=
=====
=
=
Figure 47.
=
321.pi =Oπoe =
=
322.p =pi +Op_ =Oπo(e +o)= πÇ e + ÇO =
=
323.s =p_ e = πoOe =
=
=
=
67
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.31 Right Circular Cylinder with an Oblique Plane Face
=
o~Збмл=зС=Д~лЙW=o= qЬЙ=ЦкЙ~нЙлн=ЬЙбЦЬн=зС=~=лбЗЙW= ЬN = qЬЙ=лЬзкнЙлн=ЬЙбЦЬн=зС=~=лбЗЙW= ЬO = i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= pi = ^êÉ~=çÑ=éä~åÉ=ÉåÇ=Ñ~ÅÉëW= p_ = qзн~д=лмкС~ЕЙ=~кЙ~W=p= sздмгЙW=s=
=
=
=
=
Figure 48.
324. |
= |
= πo(ÜN + ÜO )= |
|
|
|
|
pi |
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
|
325. |
p_ |
|
Ü |
|
−Ü |
O |
= πoO +πo oO + |
|
N |
O |
O = |
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
68
CHAPTER 3. GEOMETRY
326. p =pi +p_ |
|
|
Ü |
|
−Ü |
O |
= |
|
= πo ÜN +ÜO +o + |
oO + |
|
N |
O |
O |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
327. s = πoO O (ÜN +ÜO )=
=
=
=
3.32 Right Circular Cone
o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=o=
aб~гЙнЙк=зС=Д~лЙW=З=
eЙбЦЬнW=e=
pд~ен=ЬЙбЦЬнW=г= i~нЙк~д=лмкС~ЕЙ=~кЙ~W= pi = ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ = qзн~д=лмкС~ЕЙ=~кЙ~W=p= sздмгЙW=s=
=
=
=
=
Figure 49.
69
CHAPTER 3. GEOMETRY
328.e = 
ãO −oO =
=
329.pi = πoã = πãÇO =
=
330. p_ = πoO =
=
331. p =pi +p_ =πo(ã +o)= NO πÇ ã + ÇO =
=
332. s = PN p_ e = PN πoOe =
=
=
=
3.33 Frustum of a Right Circular Cone
=
o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉëW=oI=ê=
eЙбЦЬнW=e=
pд~ен=ЬЙбЦЬнW=г=
pÅ~äÉ=Ñ~ÅíçêW=â= ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉëW= pN I= pO = i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= pi = qзн~д=лмкС~ЕЙ=~кЙ~W=p= sздмгЙW=s=
=
=
70
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 50.
=
333.e = ãO −(o −ê)O =
=
334.oê = â =
=
335. pO = oO = â O = pN êO
=
336.pi = πã(o +ê)=
=
337.p =pN +pO +pi =π[oO +êO +ã(o +ê)]=
=
338.s = ÜP (pN + 
pNpO +pO )=
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Üp |
N |
|
o |
o O |
|
Üp |
||||
339. |
s = |
|
N + |
|
+ |
|
|
|
= |
N |
[N +â +â O ]= |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
P |
|
|
ê |
|
ê |
|
|
P |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
=
=
71
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.34 Sphere
=
o~ÇáìëW=o=
aб~гЙнЙкW=З=
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sздмгЙW=s=
=
=
=
Figure 51.
=
340.p =QπoO =
=
341.s = QP πoP e = SN πÇP = PN po =
=
=
=
3.35 Spherical Cap
o~Збмл=зС=лйЬЙкЙW=o=
o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=ê=
eЙбЦЬнW=Ь= ^кЙ~=зС=йд~еЙ=С~ЕЙW= p_ = ^кЙ~=зС=лйЬЙкбЕ~д=Е~йW= p` =
qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sздмгЙW=s=
72
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 52.
=
342. o = êO +ÜO =
OÜ
=
343.p_ = πêO =
=
344.p` = π(ÜO +êO )=
=
345.p =p_ +p` = π(ÜO +OêO )= π(OoÜ +êO )=
=
346.s = πS ÜO (Po −Ü)= πS Ü(PêO +ÜO )=
=
=
=
3.36 Spherical Sector
=
o~Збмл=зС=лйЬЙкЙW=o=
o~Збмл=зС=Д~лЙ=зС=лйЬЙкбЕ~д=Е~йW=к=
eЙбЦЬнW=Ь=
qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sздмгЙW=s=
=
73
CHAPTER 3. GEOMETRY
======
===
=
=
Figure 53.
=
347. p = πo(OÜ +ê)=
=
348. s = PO πoOÜ =
=
kзнЙW= qЬЙ= ЦбоЙе= Сзкгмд~л= ~кЙ= ЕзккЙЕн= ДзнЬ= Сзк= ±зйЙе≤= ~еЗ= ±ЕдзлЙЗ≤=лйЬЙкбЕ~д=лЙЕнзкK=
=
=
=
3.37 Spherical Segment
=
o~Збмл=зС=лйЬЙкЙW=o= o~Збмл=зС=Д~лЙлW= кN I= êO = eЙбЦЬнW=Ь= ^кЙ~=зС=лйЬЙкбЕ~д=лмкС~ЕЙW= pp = ^êÉ~=çÑ=éä~åÉ=ÉåÇ=Ñ~ÅÉëW= pN I= pO = qзн~д=лмкС~ЕЙ=~кЙ~W=p= sздмгЙW=s=
=
74
CHAPTER 3. GEOMETRY
=====
=
=
Figure 54.
=
349.pp =OπoÜ =
=
350.p =pp +pN +pO = π(OoÜ +êNO +êOO )=
=
351.s = SN πÜ(PêNO +PêOO +ÜO )=
=
=
=
3.38 Spherical Wedge
=
o~ÇáìëW=o=
aбЬЙЗк~д=~еЦдЙ=бе=ЗЙЦкЙЙлW=с= aбЬЙЗк~д=~еЦдЙ=бе=к~Зб~елW= α=
^кЙ~=зС=лйЬЙкбЕ~д=дмеЙW= pi = qзн~д=лмкС~ЕЙ=~кЙ~W=p= sздмгЙW=s=
=
=
75
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 55.
=
352. pi = πo O α =Oo O ñ =
VM
=
353. p = πoO + πoO α = πoO +OoO ñ =
VM
=
354. s = πoP α = O oP ñ =
OTM P
=
=
=
3.39 Ellipsoid
=
pÉãá-~сЙлW=~I=ДI=Е= sздмгЙW=s=
76
CHAPTER 3. GEOMETRY
=======
=
=
Figure 56.
=
355. s = QP π~ÄÅ =
=
=
=
Prolate Spheroid
=
|
pÉãá-~ñÉëW=~I=ÄI=Ä=E ~ > Ä F= |
||
|
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= |
|
|
|
sздмгЙW=s= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
356. |
|
~ ~кЕлбе Й |
|
p =OπÄ Ä + |
|
I== |
|
|
|||
|
|
É |
|
пЬЙкЙ= Й = 
~O −ÄO K=
~
=
357. s = QP πÄO~ =
=
77
CHAPTER 3. GEOMETRY
Oblate Spheroid
=
pÉãá-~ñÉëW=~I=ÄI=Ä=E ~ < Д F= pмкС~ЕЙ=~кЙ~W=p= sздмгЙW=s=
=
=
|
|
|
|
|
ÄÉ |
|
||
|
|
|
|
~ ~кЕлбеЬ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
358. |
|
|
|
|
~ |
|
||
p =OπÄ Ä + |
|
|
|
|
I== |
|||
ÄÉ L ~ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пЬЙкЙ= Й = |
ÄO −~O |
|
|
|
|
||
|
K= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ä |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
359. |
s = |
Q |
πÄO~ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P
=
=
=
3.40 Circular Torus
=
j~àçê=ê~ÇáìëW=o=
jáåçê=ê~ÇáìëW=ê=
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sздмгЙW=s=
=
78
CHAPTER 3. GEOMETRY
==
=
Picture 57.
=
360.p =QπOoê =
=
361.s =OπOoêO =
=
=
79