Chapter 11

Series

=

=

=

=

11.1 Arithmetic Series

=

fåáíá~ä=íÉêãW= ~N = kíÜ=íÉêãW= ~å =

aбССЙкЙеЕЙ=ДЙнпЙЙе=лмЕЕЙллбоЙ=нЙкглW=З=

kмгДЙк=зС=нЙкгл=бе=нЬЙ=лЙкбЙлW=е= pмг=зС=нЬЙ=Сбклн=е=нЙкглW= på =

=

=

1184. ~å = ~å−N +Ç = ~å−O +OÇ =K= ~N +(å −N)Ç =

=

1185. ~N +~å = ~O +~å−N =K= ~á +~å+N−á =

=

1186. ~á	=	~á−N +~á+N			=
			O
=			~N +~å			O~N +(å −N)Ç
1187. på	=			å =			å =
			O			O

=

=

=

=

=

304

CHAPTER 11. SERIES

11.2 Geometric Series

=

fåáíá~ä=íÉêãW= ~N = kíÜ=íÉêãW= ~å = `зггзе=к~нбзW=и=

kмгДЙк=зС=нЙкгл=бе=нЬЙ=лЙкбЙлW=е= pмг=зС=нЬЙ=Сбклн=е=нЙкглW= på = pмг=нз=беСбебнуW=p=

=

=

1188.	~å = è~å−N = ~Nèå−N =
1189.	=
	~N ~å = ~O ~å−N =K= ~á ~å+N−á =
	=
1190.	~á	=	~á−N ~á+N =
	=					~N (èå −N)
1191. på		=	~åè −~N		=			=
							è −N
			è −N
	=
1192. p = äáãpå =					~N		=
		å→∞		N−è

cçê= è <NI=нЬЙ=лмг=p=ЕзеоЙкЦЙл=~л= е →∞K=

=

=

=

11.3 Some Finite Series

=

kмгДЙк=зС=нЙкгл=бе=нЬЙ=лЙкбЙлW=е=

=

=

305

CHAPTER 11. SERIES

1193. N+O +P +K+å = å(å +N)=

O

=

1194. O +Q +S +K+Oå = å(å +N)=

=

1195. N+P +R +K+(Oå −N)= åO =

=

1196. â +(â +N)+(â +O)+K+(â +å −N)= å(Oâ +å −N)=

O

=

1197. NO +OO +PO +K+åO = å(å +N)(Oå +N)=

S

=

1198. NP +OP +PP +K+åP = å(å +N) O =

O

=

1199. NO +PO +RO +K+(Oå −N)O = å(QåO −N)=

P

=

1200. NP +PP +RP +K+(Oå −N)P = åO (OåO −N)=

=

1201.

N+

N

+

N

+

N

+K+

N

+K= O =

O

Q

å

U

O

=

1202.

N

N

N

N

+

+

+K+

+K=N=

N O

O P

P Q

å(å +N)

=

1203.

N

N

N

N

N+

+

+

+K+

+K= É =

N>

O>

P>

(å −N)>

=

=

=

306

CHAPTER 11. SERIES

11.4 Infinite Series

=

pЙимЙеЕЙW={~å}= cáêëí=íÉêãW= ~N =

kíÜ=íÉêãW= ~å =

=

=

1204. fеСбебнЙ=pЙкбЙл=

∞

∑~å = ~N +~O +K+~å +K=

å=N

=

1205. kíÜ=m~êíá~ä=pìã=

å

på = ∑~å = ~N +~O +K+~å =

å=N

=

1206. `зеоЙкЦЙеЕЙ=зС=fеСбебнЙ=pЙкбЙл=

∞
∑	~	å	= i I=áÑ= äáãp	å	= i =
			å→∞
å=N

=

1207. kíÜ=qÉêã=qÉëí=

∞

• fС=нЬЙ=лЙкбЙл= ∑~å бл=ЕзеоЙкЦЙенI=нЬЙе= дбг~å = M K==

= å→∞

å N

• fÑ= äáã~å ≠ M I=нЬЙе=нЬЙ=лЙкбЙл=бл=ЗбоЙкЦЙенK=

å→∞

=

=

=

11.5 Properties of Convergent Series

=

∞ ∞

`зеоЙкЦЙен=pЙкбЙлW= ∑~å = ^ I= ∑Äå = _ =

å=N å=N

oЙ~д=емгДЙкW=Е=

307

			CHAPTER 11. SERIES
	∞	∞	∞
1208.	∑(~å + Äå )= ∑~å + ∑Äå = ^ + _ =
	å=N	å=N	å=N
	=
	∞	∞
1209.	∑Å~å = Å∑~å = Å^ K==
	å=N	å=N

=

=

=

11.6 Convergence Tests

=

1210. qЬЙ=`згй~кблзе=qЙлн=

		∞				∞
	iÉí= ∑~å =~åÇ= ∑Äå =ДЙ=лЙкбЙл=лмЕЬ=нЬ~н= M <~å ≤ Äå =Ñçê=~ää=åK==
		å=N			å=N
		∞				∞
	•	fÑ= ∑Äå бл=ЕзеоЙкЦЙен=нЬЙе= ∑~å бл=~длз=ЕзеоЙкЦЙенK==
		å=N				å=N
		∞				∞
	•	fÑ= ∑~å бл=ЗбоЙкЦЙен=нЬЙе= ∑Äå бл=~длз=ЗбоЙкЦЙенK=
		å=N				å=N
	=
	1211. qЬЙ=iбгбн=`згй~кблзе=qЙлн=
		∞				∞
	iÉí= ∑~å =~åÇ= ∑Äå =ДЙ=лЙкбЙл=лмЕЬ=нЬ~н= ~å =~åÇ= Äå =~êÉ=éçëá-
		å=N			å=N
	íáîÉ=Ñçê=~ää=åK==
					~å	∞	∞
	•	fÑ= M < äáã				< ∞ = íÜÉå= ∑~å = ~åÇ= ∑Äå ~кЙ= ЙбнЬЙк= ДзнЬ=
					Äå
			å→∞			å=N	å=N
		ЕзеоЙкЦЙен=зк=ДзнЬ=ЗбоЙкЦЙенK=
			~å			∞	∞
	•	fÑ= äáã		= M =íÜÉå= ∑Äå ЕзеоЙкЦЙен=бгйдбЙл=нЬ~н= ∑~å =áë=
			Äå
		å→∞				å=N	å=N

~длз=ЕзеоЙкЦЙенK=

308

CHAPTER 11. SERIES

		~å			∞	∞
	• fÑ= äáã			= ∞=íÜÉå= ∑Äå ЗбоЙкЦЙен=бгйдбЙл=нЬ~н=		∑~å =áë=
		Äå
	å→∞				å=N	å=N
	~длз=ЗбоЙкЦЙенK=
	=
	1212. é-лЙкбЙл=	∞
	é-лЙкбЙл= ∑		N		=ЕзеоЙкЦЙл=Сзк= й >N=~еЗ=ЗбоЙкЦЙл=Сзк=
			é
	å=N å

M < é ≤NK=

=

1213. qЬЙ=fенЙЦк~д=qЙлн=

iÉí= Ñ(ñ)= ДЙ= ~= СмеЕнбзе= пЬбЕЬ= бл= ЕзенбемзмлI= йзлбнбоЙI= ~еЗ= ЗЙЕкЙ~лбеЦ=Сзк=~дд= с ≥NK=qЬЙ=лЙкбЙл==

∞

∑Ñ(å)= Ñ(N)+Ñ(O)+Ñ(P)+K+Ñ(å)+K=

å=N

ЕзеоЙкЦЙл=бС= ∞∫Ñ(ñ)Зс ЕзеоЙкЦЙлI=~еЗ=ЗбоЙкЦЙл=бС=

N

∫å Ñ (ñ)Çñ →∞ =~ë= å →∞K=

N

=

1214. qÜÉ=o~íáç=qÉëí=

		∞
	iÉí= ∑~å =ДЙ=~=лЙкбЙл=пбнЬ=йзлбнбоЙ=нЙкглK=
		å=N
			~å+N			∞
	•	fÑ= äáã				<N=íÜÉå= ∑~å бл=ЕзеоЙкЦЙенK=
			~å
		å→∞				å=N
			~å+N			∞
	•	fÑ= äáã				>N=íÜÉå= ∑~å =бл=ЗбоЙкЦЙенK=
			~å
		å→∞				å=N
				~å+N		∞
	•	fÑ= äáã				=N=íÜÉå= ∑~å =г~у=ЕзеоЙкЦЙ=зк=ЗбоЙкЦЙ=~еЗ=
		å→∞	~å			å=N

нЬЙ= к~нбз= нЙлн= бл= беЕзеЕдмлбоЙX= лзгЙ= знЬЙк= нЙлнл= гмлн= ДЙ= млЙЗK==

=

309

CHAPTER 11. SERIES

1215. qÜÉ=oççí=qÉëí=

	∞
iÉí= ∑~å =ДЙ=~=лЙкбЙл=пбнЬ=йзлбнбоЙ=нЙкглK=
	å=N
						∞
•	fÑ= äáã	å ~	å		<N=íÜÉå=	∑	~		å		=бл=ЕзеоЙкЦЙенK=
	å→∞
						å=N
						∞
•	fÑ= äáã	å ~	å		>N=íÜÉå=	∑	~		å		=бл=ЗбоЙкЦЙенK=
	å→∞
						å=N
						∞
•	fÑ= äáã	å ~		å	=N=íÜÉå=	∑		~		å	=г~у=ЕзеоЙкЦЙ=зк=ЗбоЙкЦЙI=Дмн=
	å→∞
						å=N

ез=ЕзеЕдмлбзе=Е~е=ДЙ=Зк~пе=Скзг=нЬбл=нЙлнK=

=

=

=

11.7 Alternating Series

=

1216. qЬЙ=^днЙке~нбеЦ=pЙкбЙл=qЙлн=EiЙбДебт∞л=qЬЙзкЙгF=

=iÉí={~å }=ДЙ=~=лЙимЙеЕЙ=зС=йзлбнбоЙ=емгДЙкл=лмЕЬ=нЬ~н=

~å+N <~å =Ñçê=~ää=åK=
äáã~å = M K==
å→∞
∞	∞
qЬЙе= нЬЙ= ~днЙке~нбеЦ= лЙкбЙл= ∑(−N)å ~å = ~åÇ=	∑(−N)å−N~å =
å=N	å=N
ДзнЬ=ЕзеоЙкЦЙK====
=
1217. ^ДлздмнЙ=`зеоЙкЦЙеЕЙ=

∞

• ^= лЙкбЙл= ∑~å = áë= ~ДлздмнЙду= ЕзеоЙкЦЙен= бС= нЬЙ= лЙкбЙл=

å=N

∞

∑~å =бл=ЕзеоЙкЦЙенK==

å=N

310

CHAPTER 11. SERIES

∞

•fС=нЬЙ=лЙкбЙл= ∑~å бл=~ДлздмнЙду=ЕзеоЙкЦЙен=нЬЙе=бн=бл=Езе-

å=N

оЙкЦЙенK=

=

1218. `зеЗбнбзе~д=`зеоЙкЦЙеЕЙ=

∞

^= лЙкбЙл= ∑~å áë= ЕзеЗбнбзе~дду= ЕзеоЙкЦЙен= бС= нЬЙ= лЙкбЙл= бл=

å=N

ЕзеоЙкЦЙен=Дмн=бл=езн=~ДлздмнЙду=ЕзеоЙкЦЙенK=

=

=

=

11.8 Power Series

=

oЙ~д=емгДЙклW=сI= сM =

∞ ∞

mзпЙк=лЙкбЙлW= ∑~å ñå I= ∑~å (ñ − ñM )å =

å=M å=M

tЬздЙ=емгДЙкW=е=

o~Збмл=зС=`зеоЙкЦЙеЕЙW=o=

=

1219. mзпЙк=pЙкбЙл=бе=с=

∞

∑~å ñ å = ~M + ~Nñ + ~O ñ O +K+ ~å ñ å +K=

å=M

=

1220. mзпЙк=pЙкбЙл=бе= (ñ − ñM )=

∞

∑~å (ñ − ñ M )å = ~M + ~N (ñ − ñ M )+ ~O (ñ − ñ M )O +K+ ~å (ñ − ñ M )å +K

å=M

=

1221. fенЙко~д=зС=`зеоЙкЦЙеЕЙ=== qЬЙ=лЙн=зС=нЬзлЙ=о~дмЙл=зС=с=Сзк=пЬбЕЬ=нЬЙ=СмеЕнбзе=

Ñ(ñ)= ∑~å (ñ − ñM )å =бл=ЕзеоЙкЦЙен=бл=Е~ддЙЗ==нЬЙ==бенЙко~д=зС=

å=M∞

ЕзеоЙкЦЙеЕЙK=

311

CHAPTER 11. SERIES

1222. o~Збмл=зС=`зеоЙкЦЙеЕЙ=

fС=нЬЙ=бенЙко~д=зС=ЕзеоЙкЦЙеЕЙ=бл== (ñM −oI ñM +o)==Ñçê==ëçãÉ=

o ≥ M I=íÜÉ=o=áë=Å~ääÉÇ==íÜÉ=к~Збмл=зС=ЕзеоЙкЦЙеЕЙK==fн=бл=ЦбоЙе=

~ë=

	o = äáã N	=çê= o = äáã	~å		K==
			~å+N
	å→∞ å ~å	å→∞
	=
	=
	=

11.9 Differentiation and Integration of Power

Series

=

`зенбемзмл=СмеЕнбзеW= С (ñ)=

∞

mзпЙк=лЙкбЙлW= ∑~å ñå =

å=M

tЬздЙ=емгДЙкW=е=

o~Збмл=зС=`зеоЙкЦЙеЕЙW=o=

=

=

1223. aбССЙкЙенб~нбзе=зС=mзпЙк=pЙкбЙл=

∞

iÉí= Ñ(ñ)= ∑~å ñå = ~M +~Nñ +~OñO +K=Ñçê= ñ <o K==

å=M

qÜÉåI= = Ñçê= ñ < o I= Ñ(ñ)= бл= ЕзенбемзмлI= нЬЙ= ЗЙкбо~нбоЙ= С′(ñ)=

Йсблнл=~еЗ=

Ñ′(ñ)= ÇÇñ ~M + ÇÇñ ~Nñ + ÇÇñ ~OñO +K=

∞

= ~N +O~Oñ +P~PñO +K= ∑å~å ñå−N K=

å=N

=

=

=

312

CHAPTER 11. SERIES

1224. fенЙЦк~нбзе=зС=mзпЙк=pЙкбЙл=

∞

iÉí= Ñ(ñ)= ∑~å ñå = ~M +~Nñ +~OñO +K=Ñçê= ñ <o K==

å=M

qÜÉåI==Ñçê= ñ < o I=нЬЙ=беЗЙСбебнЙ=бенЙЦк~д= ∫Ñ(ñ)Зс Йсблнл=~еЗ== ∫Ñ(ñ)Çñ = ∫~MÇñ + ∫~NñÇñ + ∫~OñOÇñ +K=

		ñ	O		ñ	P	∞	ñ	å+N
	= ~Mñ +~N			+~O			+K= ∑~å				+` K=
		O			P			å +N
							å=M

=

=

=

11.10 Taylor and Maclaurin Series

=

tЬздЙ=емгДЙкW=е= aбССЙкЙенб~ДдЙ=СмеЕнбзеW= С(ñ)= oЙг~беЗЙк=нЙкгW= oå =

=

=

1225. q~удзк=pЙкбЙл=

		(å) (ñ −~)						Ñ	(~)(ñ −~)
	∞	(~)			å	= Ñ(~)+Ñ (~)(ñ −~)+			′′	O	+K
Ñ(ñ)= ∑Ñ
	å=M			å>			′			O>
= =	+		Ñ (å)(~)(ñ −~)å				+oå K==
				å>
=
1226. qЬЙ=oЙг~беЗЙк=^СнЙк=еHN=qЙкгл=бл=ЦбоЙе=Ду==
oå =	Ñ (å+N)(ξ)(ñ −~)å+N				I=== ~ < ξ< ñ K=
		(å +N)>

=

1227. j~Ед~мкбе=pЙкбЙл=

313

CHAPTER 11. SERIES

′′

(å)

∞

(å)

ñ

å

Ñ (M)ñ

O

Ñ

(M)ñ

å

Ñ(ñ)= ∑Ñ (M)

′

+K+

+o

å

å>

= Ñ (M)+Ñ (M)ñ +

O>

å>

å=M

=

=

=

=

11.11 Power Series Expansions for Some Functions

=

tЬздЙ=емгДЙкW=е=

oЙ~д=емгДЙкW=с=

=

=

1228.

Éñ

=N+ ñ +

ñ O

+

ñP

+K+

ñ å

+K=

O>

P>

å>

=

(ñ äå~)O

(ñ äå~)P

(ñ äå~)å

1229.

~ñ

=N+

ñ äå~

+

+

+K+

+K=

O>

N>

P>

å>

=

(−N)å ñå+N

1230.

äå(N+ ñ)=

ñ −

ñO

+

ñP

−

ñQ

+K+

±KI= −N< ñ ≤NK=

Q

å +N

O

P

=

1231.

N+ ñ

ñP

ñR

ñT

<NK=

äå

+

+

+

ñ

N− ñ

= O ñ

+K I=

=

P

R

T

1232.

ñ

−N

N ñ

−N P

N

ñ −N R

ñ >M K=

äå ñ =O

+

+

K I=

+N

ñ

P ñ

+N

R

ñ +N

=

(−N)å ñOå

1233.

ñO

ñQ

ñS

Åçë ñ =N−

+

−

+K+

±K=

O>

Q>

S>

(Oå)>

=

314

CHAPTER 11. SERIES

1234.

ñP

ñR

ñT

(−N)å ñOå+N

ëáå ñ = ñ −

+

−

+K+

±K=

P>

R>

T>

(Oå +N)>

=

1235. í~å ñ = ñ +

ñP

+

OñR

+

NTñT

+

SOñV

+KI=

ñ

< π K=

=

P

NR

PNR

OUPR

O

1236.

N

ñ

ñP

OñR

OñT

< πK=

+

+

+

ñ

Åçí ñ = −

+K I=

=

ñ

P

QR

VQR

QTOR

N P RK(Oå −N)ñ Oå+N

1237.

ñP

N PñR

~кЕлбе с = ñ +

+

+K+

+KI=

O P

O Q R

O Q SK(Oå)(Oå +N)

=

ñ

<NK=

P RK(Oå −N)ñ

1238.

π

ñ

P

N Pñ

R

N

Oå+N

~кЕЕзл с =

ñ +

+

+K+

−

O Q SK(Oå)(Oå +N)

+K I

O

O P O Q R

=

ñ

<NK=

+K+ (−N)å ñOå+N ±KI=

1239.

~êÅí~å ñ = ñ −

ñP

+

ñR

−

ñT

ñ

≤NK=

=

P

R

T

Oå +N

1240.

ñ O

ñ Q

ñ S

ñ Oå

ÅçëÜ ñ =N+

+

+

+K+

+K=

O>

Q>

S>

(Oå)>

=

ñ Oå+N

1241.

ñP

ñR

ñT

ëáåÜ ñ = ñ +

+

+

+K+

+K=

P>

R>

T>

(Oå +N)>

=

=

=

=

=

315

CHAPTER 11. SERIES

11.12 Binomial Series

=

tЬздЙ=емгДЙклW=еI=г=

oЙ~д=емгДЙкW=с= `згДбе~нбзелW= å `ã =

=

=

1242. (N+ ñ)å =N+ å`Nñ + å`OñO +K+ ã`å ñã +K+ ñå =

=

1243. å `ã = å(å −N)K[å −(ã −N)]I= ñ <NK=

ã>

=

1244.

N

=N− ñ + ñO − ñP +KI=

ñ

<NK=

N+

ñ

=

1245.

N

=N+ ñ + ñO + ñP +KI=

ñ

<NK=

N−

ñ

=

1246.

N+ ñ =N+

ñ

− ñO +

N PñP − N P RñQ

+KI=

ñ

≤NK=

=

O O Q O Q S O Q S U

1247.

P N+ ñ =N+

ñ

−N OñO

+ N O RñP

−N O R UñQ

+KI=

ñ

≤NK=

P

P S

P S V

P S V NO

=

=

=

11.13 Fourier Series

=

fенЙЦк~ДдЙ=СмеЕнбзеW= С(ñ)= cзмкбЙк=ЕзЙССбЕбЙенлW= ~M I= ~å I= Äå = tЬздЙ=емгДЙкW=е==

316

CHAPTER 11. SERIES

1248. Ñ(ñ)= ~OM +∑∞ (~å Езлес + Äå лбеес)=

å=N

		=
	1249.	~å =	N	∫π Ñ (ñ)Езлес Зс ==
			π
				−π

=

1250. Äå = N ∫π Ñ(ñ)лбеес Зс ==

π	−π
=
=

317