Chapter 5

Matrices and Determinants

=

=

=

=

j~нкбЕЙлW=^I=_I=`=

bдЙгЙенл=зС=~=г~нкбсW= ~á I= Äá I= ~áà I= Äáà I= Åáà = aЙнЙкгбе~ен=зС=~=г~нкбсW= ЗЙн ^ = jбезк=зС=~е=ЙдЙгЙен= ~áà W= jáà =

`зС~Ензк=зС=~е=ЙдЙгЙен= ~áà W= `áà =

q ú

qк~елйзлЙ=зС=~=г~нкбсW= ^ I= ^ = ^Зазбен=зС=~=г~нкбсW= ~За ^ = qк~ЕЙ=зС=~=г~нкбсW= нк ^ =

fеоЙклЙ=зС=~=г~нкбсW= ^−N = oЙ~д=емгДЙкW=в= oЙ~д=о~кб~ДдЙлW= с á = k~нмк~д=емгДЙклW=гI=е===

=

=

5.1 Determinants

=

513. pЙЕзеЗ=lкЗЙк=aЙнЙкгбе~ен=

ÇÉí ^ =	~N	ÄN	=~NÄO −~ O ÄN =
	~ O	ÄO
		=
		=
		=
		=
		=

107

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

514. qЬбкЗ=lкЗЙк=aЙнЙкгбе~ен=

~NN ~NO ~NP

ÇÉí ^ = ~ON ~OO ~OP =~NN~OO~PP +~NO~OP~PN +~NP~ON~PO −=

~PN ~PO ~PP

−~NN~OP~PO −~NO~ON~PP −~NP~OO~PN =

=

515. p~êêìë=oìäÉ=E^êêçï=oìäÉF=

=

=

Figure 72.

=

516. k-нЬ=lкЗЙк=aЙнЙкгбе~ен=

	~NN	~NO	K ~Nà	K ~Nå
	~ON	~OO	K ~O à	K ~Oå
ÇÉí ^ =	K	K K K		K K	=
	~áN	~á O	K ~áà	K ~áå
	K	K K K		K K
	~åN	~åO	K ~åà	K ~åå

=

517.jáåçê=

qЬЙ=гбезк= jáà =~ллзЕб~нЙЗ=пбнЬ=нЬЙ=ЙдЙгЙен= ~áà =çÑ=å-нЬ=зкЗЙк= г~нкбс= ^= бл= нЬЙ= (å −N)-нЬ= зкЗЙк= ЗЙнЙкгбе~ен= ЗЙкбоЙЗ= Скзг=

нЬЙ=г~нкбс=^=Ду=ЗЙдЙнбзе=зС=бнл=б-íÜ=êçï=~åÇ=à-нЬ=ЕздмгеK===

=

108

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

518. `çÑ~Åíçê=

`áà =(−N)á +à jáà =

=

519. i~йд~ЕЙ=bсй~елбзе=зС=е-нЬ=lкЗЙк=aЙнЙкгбе~ен= i~йд~ЕЙ=Йсй~елбзе=Ду=ЙдЙгЙенл=зС=нЬЙ=б-íÜ=êçï=

å

ÇÉí ^ = ∑~áà`áà I= á =NI OI KIå K=

à=N

i~йд~ЕЙ=Йсй~елбзе=Ду=ЙдЙгЙенл=зС=нЬЙ=а-нЬ=Ездмге=

å

ÇÉí ^ = ∑~áà`áà I= à =NI OI KIå K==

á=N

=

=

=

5.2 Properties of Determinants

=

520.qЬЙ==о~дмЙ==зС=~=ЗЙнЙкгбе~ен=кЙг~бел==меЕЬ~еЦЙЗ=бС=кзпл=~кЙ=

ЕЬ~еЦЙЗ=нз=Ездмгел=~еЗ=Ездмгел=нз=кзплK=

=	~N	~O		=	~N		ÄN		==
	Ä	Ä	O		~	O	Ä	O
	N

=

521.fС=нпз==кзпл==Eзк=нпз=ЕздмгелF=~кЙ==бенЙкЕЬ~еЦЙЗI=нЬЙ=лбЦе=зС=

нЬЙ=ЗЙнЙкгбе~ен=бл=ЕЬ~еЦЙЗK=

~N		ÄN		= −	~O		ÄO	=
~	O	Ä	O		~	N	Ä
							N

=

522.fС=нпз=кзпл==Eзк=нпз=ЕздмгелF=~кЙ==бЗЙенбЕ~дI=нЬЙ=о~дмЙ=зС=нЬЙ=

ЗЙнЙкгбе~ен=бл=тЙкзK=

~N	~N	=M =
~O	~O

=

109

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

523.fС==нЬЙ===ЙдЙгЙенл==зС==~еу=кзп==Eзк=ЕздмгеF=~кЙ=гмднбйдбЙЗ=Ду=====

~==Езггзе==С~ЕнзкI==нЬЙ==ЗЙнЙкгбе~ен==бл==гмднбйдбЙЗ==Ду==нЬ~н=

Ñ~ÅíçêK=

â~N	âÄN	= â	~N	ÄN	=
~O	ÄO		~O	ÄO

=

524.fС==нЬЙ==ЙдЙгЙенл==зС==~еу==кзп==Eзк==ЕздмгеF=~кЙ=беЕкЙ~лЙЗ=Eзк=

ЗЙЕкЙ~лЙЗFДу=Йим~д=гмднбйдЙл=зС=нЬЙ=ЕзккЙлйзеЗбеЦ=ЙдЙгЙенл=

зС=~еу=знЬЙк=кзп==Eзк=ЕздмгеFI==нЬЙ=о~дмЙ=зС=нЬЙ=ЗЙнЙкгбе~ен=

áë=ìåÅÜ~åÖÉÇK=

	~N +âÄN	ÄN		=		~N	ÄN		=
	~O +âÄO	ÄO				~O	ÄO

=

=

=

5.3 Matrices

=

525.aЙСбебнбзе=

^å= ã ×е =г~нкбс=^=бл=~=кЙЕн~еЦмд~к=~кк~у=зС=ЙдЙгЙенл=Eемг-

ДЙкл=зк=СмеЕнбзелF=пбнЬ=г=кзпл=~еЗ=е=ЕздмгелK==

	~NN		~NO	K ~Nå
^ = [~ áà
	]=	~ ON	~ OO	K ~ Oå		==
		M	M		M
			~ ã O	K ~
	~ ãN				ãå

=

526.pèì~êÉ=ã~íêáñ=бл=~=г~нкбс=зС=зкЗЙк= е ×å K==

=

527.^=ëèì~êÉ=ã~íêáñ== [~áà ]==áë==луггЙнкбЕ==áÑ== ~áà =~ àá I==áKÉK==áí==áë=

луггЙнкбЕ=~Дзмн=нЬЙ=дЙ~ЗбеЦ=Зб~Цзе~дK==

=

528. ^=ëèì~êÉ=ã~íêáñ= [~áà ]=áë=ëâÉï-луггЙнкбЕ=áÑ= ~áà = −~ àá K==

=

110

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

529. aá~Öçå~ä=ã~íêáñ==бл==~=лим~кЙ==г~нкбс=пбнЬ=~дд==ЙдЙгЙенл==тЙкз= ЙсЕЙйн=нЬзлЙ=зе=нЬЙ=дЙ~ЗбеЦ=Зб~Цзе~дK==

=

530.råáí=ã~íêáñ==бл==~=Зб~Цзе~д==г~нкбс==бе=пЬбЕЬ=нЬЙ=ЙдЙгЙенл=зе= нЬЙ=дЙ~ЗбеЦ=Зб~Цзе~д=~кЙ=~дд=мебнуK=qЬЙ=мебн=г~нкбс=бл=========== ЗЙезнЙЗ=Ду=fK==

=

531. ^=åìää=ã~íêáñ=бл=зеЙ=пЬзлЙ=ЙдЙгЙенл=~кЙ=~дд=тЙкзK=

=

=

=

5.4 Operations with Matrices

=

532.qпз=г~нкбЕЙл=^=~еЗ=_=~кЙ=Йим~д=бСI=~еЗ=зеду=бСI=нЬЙу=~кЙ=ДзнЬ= зС==нЬЙ==л~гЙ==лЬ~йЙ== г ×е ==~еЗ=ЕзккЙлйзеЗбеЦ=ЙдЙгЙенл=~кЙ=

Éèì~äK=

=

533.qпз=г~нкбЕЙл==^=~еЗ=_==Е~е=ДЙ=~ЗЗЙЗ=Eзк=лмДнк~ЕнЙЗF=зСI=~еЗ= зеду=бСI=нЬЙу=Ь~оЙ=нЬЙ=л~гЙ=лЬ~йЙ= г ×å K=fÑ==

	~NN		~NO	K ~Nå
^ =[~áà	]= ~ON		~OO	K ~Oå			I==
		M	M		M
			~ã O
	~ãN			K ~ãå
		Ä	Ä	K	Ä
		NN	NO		Nå
_ =[Äáà	]=	ÄON	ÄOO	K ÄOå I==
		M	M		M
			ÄãO
	ÄãN			K Äãå

=

=

=

=

=

111

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

íÜÉå==

~NN

+ÄNN

~NO +ÄNO

K

~Nå +ÄNå

~

+Ä

~

+Ä

K

~

+Ä

^ +_ =

ON

M

ON

OO

M

OO

Oå

M

Oå K=

+ÄãN

~ã O +Äã O

~ãN

K ~ãå +Äãå

=

534. fÑ=â=áë=~=ëÅ~ä~êI=~åÇ= ^ =[~áà ]=áë=~=ã~íêáñI=íÜÉå=

	â~NN		â~NO	K â~Nå
â^ =[â~áà
	]=	â~ON	â~OO	K â~Oå K=
		M	M	M
			â~ã O
	â~ãN			K â~ãå

=

535.jмднбйдбЕ~нбзе=зС=qпз=j~нкбЕЙл=

qпз= г~нкбЕЙл= Е~е= ДЙ= гмднбйдбЙЗ= нзЦЙнЬЙк= зеду= пЬЙе= нЬЙ= емгДЙк= зС= Ездмгел= бе= нЬЙ= Сбклн= бл= Йим~д= нз= нЬЙ= емгДЙк= зС= кзпл=бе=нЬЙ=лЙЕзеЗK==

=

fÑ=

	~NN		~NO	K ~Nå
^ =[~áà	]= ~ON		~OO	K ~Oå				I==
		M	M		M
			~ã O
	~ãN			K ~ãå
		Ä	Ä	K	Ä
		NN	NO		Nâ
_ =[Äáà	]= ÄON		ÄOO	K ÄOâ I=
		M	M		M
			ÄåO
	ÄåN			K Äåâ

=

=

=

=

=

112

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

íÜÉå==

ÅNN		ÅNO	K ÅNâ
^_ = ` =	ÅON	ÅOO	K ÅOâ I==
	M	M		M
		ÅãO	K Å
ÄãN				ãâ

пЬЙкЙ==

			å
Åáà =~áNÄNà +~á OÄO à +K+~áå Äåà = ∑~á λÄλ à =
E á =NI OI KI ã X à =NI OI KI â FK==			λ=N
=
qÜìë=áÑ=
			Ä
^ = [~ áà ]= ~NN	~NO	~NP I= _ =[Äá ]= ÄON			I==
~ ON	~ OO	~ OP	Ä	P

íÜÉå==

~		~
^_ =	NN		NO
~ON		~OO

=

~NP			Ä			~NNÄN
				N
~		ÄO				= ~	Ä
	OP	Ä		P			ON N

~NO ÄO	~NP	ÄP	K==
~OO ÄO	~OP ÄP

536.qк~елйзлЙ=зС=~=j~нкбс=

fС=нЬЙ=кзпл=~еЗ=Ездмгел=зС=~=г~нкбс=~кЙ=бенЙкЕЬ~еЦЙЗI=нЬЙе= нЬЙ=еЙп=г~нкбс=бл=Е~ддЙЗ=нЬЙ=нк~елйзлЙ=зС=нЬЙ=зкбЦбе~д=г~нкбсK===

fС= ^= бл= нЬЙ= зкбЦбе~д= г~нкбсI= бнл= нк~елйзлЙ= бл= ЗЙезнЙЗ= ^q = çê=

ú

^ K==

=

537.qÜÉ=ã~íêáñ=^=áë=зкнЬзЦзе~д=áÑ= ^^q =f K==

=

538.fС=нЬЙ=г~нкбс=йкзЗмЕн=^_=бл=ЗЙСбеЙЗI=нЬЙе==

(^_)q = _q ^q K=

=

=

113

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

539.^Зазбен=зС=j~нкбс=

fÑ= ^= áë= ~= ëèì~êÉ= å ×å ã~íêáñI= áíë= ~ЗазбенI= ЗЙезнЙЗ= Ду= ~За ^ I=

бл=нЬЙ=нк~елйзлЙ=зС=нЬЙ=г~нкбс=зС=ЕзС~Ензкл= `áà =çÑ=^W=

~Çà ^ =[`áà ]q K==

=

540.qê~ÅÉ=çÑ=~=j~íêáñ=

fÑ= ^= áë= ~= ëèì~êÉ= å ×å ã~íêáñI= áíë= íê~ÅÉI= ЗЙезнЙЗ= Ду= нк ^ I= бл=

ЗЙСбеЙЗ=нз=ДЙ==нЬЙ=лмг=зС==нЬЙ=нЙкгл=зе=нЬЙ=дЙ~ЗбеЦ=Зб~Цзе~дW=

íê ^ =~NN +~OO +K+~åå K=

=

541.fеоЙклЙ=зС=~=j~нкбс=

fÑ=^=áë=~=ëèì~êÉ= å ×е г~нкбс=пбнЬ=~=езелбеЦмд~к=ЗЙнЙкгбе~ен=

ÇÉí ^ I=íÜÉå=áíë=беоЙклЙ= ^−N =бл=ЦбоЙе=Ду= ^−N = ~ÇàÇÉí ^^ K=

=

542. fС=нЬЙ=г~нкбс=йкзЗмЕн=^_=бл=ЗЙСбеЙЗI=нЬЙе== (^_)−N =_−N^−N K=

=

543.fÑ==^==áë=~=ëèì~êÉ=== å ×å ==ã~íêáñI==íÜÉ==ЙбЦЙеоЙЕнзкл==u===л~нблСу=

íÜÉ=Éèì~íáçå=

^u =λu I==

пЬбдЙ=нЬЙ=ЙбЦЙео~дмЙл= λ=л~нблСу=нЬЙ=ЕЬ~к~ЕнЙкблнбЕ=Йим~нбзе=

^−λf =M K===

=

=

=

5.5 Systems of Linear Equations

=

=

s~êá~ÄäÉëW=ñI=óI=òI= ñN I= ñ O I K= oЙ~д=емгДЙклW= ~N I ~ O I ~ P I ÄN I ~NN I ~NO I K=

114

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

aЙнЙкгбе~енлW=aI= añ I= aó I= aò ==

j~нкбЕЙлW=^I=_I=u=

=

=

544.~Nñ +ÄNó =ÇN I==~O ñ +ÄO ó =ÇO

ñ =

a

ñ

I=

ó

=

aó

=E`ê~ãÉê∞ë=êìäÉFI==

a

a

пЬЙкЙ==

a =

~N

ÄN

=~

Ä

O

−~

Ä I==

~O

ÄO

N

O

N

a

ñ

=

ÇN

ÄN

=Ç

Ä

O

−Ç Ä I==

ÇO

ÄO

N

O

N

a

ó

=

~N

ÇN

=~ Ç

O

−~

Ç

N

K==

~O

ÇO

N

O

545.

=

fÑ= a ≠ M I=нЬЙе=нЬЙ=лулнЙг=Ь~л=~=лбеЦдЙ=лздмнбзеW==

ñ =

a

ñ

I=

ó

=

aó

K=

a

a

fÑ= a =M = ~åÇ= añ

≠ M Eçê= aó ≠ M FI= нЬЙе= нЬЙ= лулнЙг= Ь~л= = ез==

лздмнбзеK=

fÑ= a =añ

=aó =M I= нЬЙе= нЬЙ= лулнЙг= Ь~л= = беСбебнЙду= = г~еу==

лздмнбзелK=

=

~

ñ +Ä ó

+Å ò =Ç

=

546.

N

N

N

N

~O ñ +ÄO ó +ÅOò =ÇO I==

~

ñ +

Ä

ó +Å

ò

=Ç

P

P

P

P

ñ =

a

ñ

ó =

aó

I= ò =

a

I=

ò

=E`ê~ãÉê∞ë=êìäÉFI==

a

a

a

=

115

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

пЬЙкЙ==

~N

ÄN

ÅN

ÇN

ÄN

ÅN

a =

~O

ÄO

ÅO

I= añ =

ÇO

ÄO

ÅO

I=

~P

ÄP

ÅP

ÇP

ÄP

ÅP

~N

ÇN

ÅN

~N

ÄN

ÇN

aó =

~O

ÇO

ÅO

I= aò =

~O

ÄO

ÇO

K==

~P

ÇP

ÅP

~P

ÄP

ÇP

=

547. fÑ= a ≠ M I=нЬЙе=нЬЙ=лулнЙг=Ь~л=~=лбеЦдЙ=лздмнбзеW== с = aañ I= ó = aaó I= ò = aaò K=

fÑ= a =M =~åÇ= añ ≠ M Eçê= aó ≠ M =çê= aò ≠ M FI=нЬЙе=нЬЙ=лулнЙг=

Ь~л=ез=лздмнбзеK=

fÑ= a =añ =aó =aò =M I= нЬЙе= нЬЙ= лулнЙг= Ь~л= беСбебнЙду=

г~еу=лздмнбзелK=

=

548.j~нкбс=cзкг=зС=~=pулнЙг=зС=е=iбеЙ~к=bим~нбзел=бе=================

е=rевезпел=

qЬЙ=лЙн=зС=дбеЙ~к=Йим~нбзел==

~NNñN +~NO ñ O +K+~Nå ñ å = ÄN

+ + + =

~ONñN ~OO ñ O K ~Oå ñ å ÄO =

KKKKKKKKKKKK

~åNñN +~åO ñ O +K+~åå ñ å = Äå

Е~е=ДЙ=пкбннЙе=бе=г~нкбс=Сзкг=

	~		~
		NN		NO
	~ ON		~ OO
	M		M
	~ åN		~ åO

áKÉK==

^ u =_ I==

	K ~				ñ				Ä
		Nå				N			N
	K ~ Oå				ñ O				ÄO
	M				M			=	M	I==
	K ~				ñ
		åå				å			Äå

116

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

пЬЙкЙ==

~

~

K ~

ñ

Ä

NN

NO

Nå

N

N

~ ON

~ OO

K ~ Oå

ñ O

ÄO

^ =

M

M

M

I= u =

M

I= _ =

M

K==

~ åN

~ åO

K ~

ñ

åå

å

Äå

=

549.pздмнбзе=зС=~=pЙн=зС=iбеЙ~к=bим~нбзел= е ×å = u = ^−N _ I==

пЬЙкЙ= ^−N =бл=нЬЙ=беоЙклЙ=зС=^K=

=

=

117