Chapter 12
Probability
=
=
=
=
12.1 Permutations and Combinations
=
mЙкгмн~нбзелW= å mã = `згДбе~нбзелW= å `ã = tЬздЙ=емгДЙклW=еI=г=
=
=
1251. c~Ензкб~д=
å>=N O PK(å −O)(å −N)å =
M>=N=
=
1252. |
å må =å>= |
|
|||
|
= |
|
|
|
|
|
å |
|
å> |
|
|
1253. |
|
mã |
= |
|
= |
|
(å −ã)> |
||||
=
1254. _безгб~д=`зЙССбЕбЙен=
å `ã = å = (å−> ) =
ã ã> å ã >
=
1255. å `ã =å `å−ã =
=
1256. å `ã +å `ã+N =å+N `ã+N =
=
318
CHAPTER 12. PROBABILITY
1260. o~еЦЙ=зС=mкзД~Дбдбну=s~дмЙл= M ≤m(^)≤N=
=
1261. `Éêí~áå=bîÉåí= m(^)=N=
=
1262. fгйзллбДдЙ=bоЙен= m(^)= M =
=
1263. `згйдЙгЙен= m(^)=N−m(^)=
=
1264. fеЗЙйЙеЗЙен=bоЙенл= m(^L_)=m(^)I== m(_L^)= m(_)=
=
1265. ^ЗЗбнбзе=oмдЙ=Сзк=fеЗЙйЙеЗЙен=bоЙенл= m(^ _)=m(^)+ m(_)=
=
1266. jмднбйдбЕ~нбзе=oмдЙ=Сзк=fеЗЙйЙеЗЙен=bоЙенл= m(^ ∩_)= m(^) m(_)=
=
1267. dЙеЙк~д=^ЗЗбнбзе=oмдЙ=
m(^ _)=m(^)+m(_)−m(^ ∩_)I==
пЬЙкЙ==
^_ =бл=нЬЙ=мебзе=зС=ЙоЙенл=^=~еЗ=_I==
^∩_ =бл=нЬЙ=бенЙклЙЕнбзе=зС=ЙоЙенл=^=~еЗ=_K=
=
1268. `зеЗбнбзе~д=mкзД~Дбдбну=
m(^ L_)= m(^(∩)_)= m _
1269.=m(^ ∩_)=m(_) m(^ L_)=m(^) m(_ L ^)=
320
CHAPTER 12. PROBABILITY
1270. i~п=зС=qзн~д=mкзД~Дбдбну=
ã
m(^)= ∑m(_á )m(^L_á )I==
á=N
пЬЙкЙ= _á =бл=~=лЙимЙеЕЙ=зС=гмнм~дду=ЙсЕдмлбоЙ=ЙоЙенлK==
=
1271. _~уЙл∞=qЬЙзкЙг=
m(_L^)= m(^L_() )m(_)= m ^
=
1272. _~уЙл∞=cзкгмд~=
m(_á L ^)= ãm(_á ) m(^ L _á ) I== ∑m(_á ) m(^ L _á )
â=N
пЬЙкЙ==
_á =бл=~=лЙн=зС=гмнм~дду=ЙсЕдмлбоЙ=ЙоЙенл=EЬуйзнЬЙлЙлFI= ^ =бл=нЬЙ=Сбе~д=ЙоЙенI==
m(_á )=~кЙ=нЬЙ=йкбзк=йкзД~ДбдбнбЙлI=
m(_á L ^)=~кЙ=нЬЙ=йзлнЙкбзк=йкзД~ДбдбнбЙлK=
=
1273. i~п=зС=i~кЦЙ=kмгДЙкл=
|
|
|
p |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
m |
|
|
|
−µ |
|
≥ ε |
→M =~ë= å →∞I== |
||
å |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
p |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
m |
|
|
|
−µ |
|
< ε |
→N=~ë= å →∞I== |
||
å |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
пЬЙкЙ==
på =áë=íÜÉ=ëìã=çÑ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉëI=
е =бл=нЬЙ=емгДЙк=зС=йзллбДдЙ=змнЕзгЙлK=
=
1274. `ЬЙДулЬЙо=fеЙим~дбну= m(u −µ ≥ ε)≤ sε(uO )I==
пЬЙкЙ= s(u)=áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=uK=
321
CHAPTER 12. PROBABILITY
1275. kзкг~д=aЙелбну=cмеЕнбзе=
ϕ(ñ)= |
|
N |
É− |
(ñ−µ) O |
σ |
OσO I== |
|||
|
Oπ |
|
|
пЬЙкЙ=с=бл=~=й~кнбЕмд~к=змнЕзгЙK=
=
1276. pн~еЗ~кЗ=kзкг~д=aЙелбну=cмеЕнбзе=
ϕ(ò)= N |
É− |
ò O |
|
O = |
|||
Oπ |
|
|
|
^îÉê~ÖÉ=î~äìÉ= µ = M I=ÇÉîá~íáçå= σ =NK=
=
=====
=
=
Figure 210.
=
1277. pí~åÇ~êÇ=w=s~äìÉ= w = uσ−µ =
=
1278. `мгмд~нбоЙ=kзкг~д=aблнкбДмнбзе=cмеЕнбзе=
c(ñ)= |
|
N |
ñ |
− |
(í−µ) O |
|
∫É |
OσO Çí I== |
|||
|
σ |
Oπ −∞ |
|
|
|
322
CHAPTER 12. PROBABILITY
пЬЙкЙ==
с=бл=~=й~кнбЕмд~к=змнЕзгЙI==
н =бл=~=о~кб~ДдЙ=зС=бенЙЦк~нбзеK=
=
1279. m(α < u <β)= c α−µ −c β−µ I=σ σ
пЬЙкЙ=
u=бл=езкг~дду=ЗблнкбДмнЙЗ=к~еЗзг=о~кб~ДдЙI=
c=бл=Емгмд~нбоЙ=езкг~д=ЗблнкбДмнбзе=СмеЕнбзеI== m(α < u <β)=бл=бенЙко~д=йкзД~ДбдбнуK=
=
1280. m(u −µ < ε)= Oc σε I==
пЬЙкЙ==
u=бл=езкг~дду=ЗблнкбДмнЙЗ=к~еЗзг=о~кб~ДдЙI=
c=бл=Емгмд~нбоЙ=езкг~д=ЗблнкбДмнбзе=СмеЕнбзеK=
=
1281. `мгмд~нбоЙ=aблнкбДмнбзе=cмеЕнбзе= c(ñ)= m(u < ñ)= ∫ñ Ñ(í)Çí I==
−∞
пЬЙкЙ=н=бл=~=о~кб~ДдЙ=зС=бенЙЦк~нбзеK=
=
1282. _Йкезмддб=qкб~дл=mкзЕЙлл= µ =åé= I= σO =åéè I==
пЬЙкЙ==
е =бл=~=лЙимЙеЕЙ=зС=ЙсйЙкбгЙенлI==
é=бл=нЬЙ=йкзД~Дбдбну=зС=лмЕЕЙлл=зС=Й~ЕЬ=ЙсйЙкбгЙенлI=
è=бл=нЬЙ=йкзД~Дбдбну=зС=С~бдмкЙI= и =N−é K=
=
1283. _безгб~д=aблнкбДмнбзе=cмеЕнбзе=======
Ä(åIéIè)= å éâèå−â I==
â
323
CHAPTER 12. PROBABILITY
µ = åéI= σO = åéè I=
Ñ(ñ)= (è + éÉñ )å I==
пЬЙкЙ==
е=бл=нЬЙ=емгДЙк=зС=нкб~дл=зС=лЙдЙЕнбзелI=
й=бл=нЬЙ=йкзД~Дбдбну=зС=лмЕЕЙллI= и=бл=нЬЙ=йкзД~Дбдбну=зС=С~бдмкЙI= и =N−é K=
=
1284. dЙзгЙнкбЕ=aблнкбДмнбзе= m(q = à)= èà−NéI==
µ = éN I= σO = éèO I==
пЬЙкЙ==
q=бл=нЬЙ=Сбклн=лмЕЕЙллСмд=ЙоЙен=бл=нЬЙ=лЙкбЙлI=
а=бл=нЬЙ=ЙоЙен=емгДЙкI=
й=бл=нЬЙ=йкзД~Дбдбну=нЬ~н=~еу=зеЙ=ЙоЙен=бл=лмЕЕЙллСмдI== и=бл=нЬЙ=йкзД~Дбдбну=зС=С~бдмкЙI= и =N−é K=
=
1285. mзбллзе=aблнкбДмнбзе= m(u = â)≈ λââ> É−λ I= λ = åéI== µ =λI= σO = λ I==
пЬЙкЙ==
λ=бл=нЬЙ=к~нЙ=зС=зЕЕмккЙеЕЙI=
в=бл=нЬЙ=емгДЙк=зС=йзлбнбоЙ=змнЕзгЙлK=
=
1286. aЙелбну=cмеЕнбзе==
m(~ ≤ u ≤ Ä)= ∫Ä Ñ(ñ)Çñ ==
~
=
1287. `зенбемзмл=rебСзкг=aЙелбну= С = Ä −N ~ I= µ = ~ +O Ä I==
324
CHAPTER 12. PROBABILITY
пЬЙкЙ=С=бл=нЬЙ=ЗЙелбну=СмеЕнбзеK=
=
1288. bсйзеЙенб~д=aЙелбну=cмеЕнбзе= С(í)=λÉ−λí I= µ =λI= σO = λO =
пЬЙкЙ=н=бл=нбгЙI= λ=бл=нЬЙ=С~бдмкЙ=к~нЙK=
=
1289. bсйзеЙенб~д=aблнкбДмнбзе=cмеЕнбзе= c(í)=N−É−λí I==
пЬЙкЙ=н=бл=нбгЙI= λ=бл=нЬЙ=С~бдмкЙ=к~нЙK=
=
1290. bсйЙЕнЙЗ=s~дмЙ=зС=aблЕкЙнЙ=o~еЗзг=s~кб~ДдЙл=
µ= b(u)= ∑ñáéá I==
á=Nå
пЬЙкЙ= с á =бл=~=й~кнбЕмд~к=змнЕзгЙI= йá =бл=бнл=йкзД~ДбдбнуK=
=
1291. bсйЙЕнЙЗ=s~дмЙ=зС=`зенбемзмл=o~еЗзг=s~кб~ДдЙл= µ = b(u)= ∞∫ñÑ(ñ)Çñ ==
−∞
=
1292. mкзйЙкнбЙл=зС=bсйЙЕн~нбзел= b(u + v)= b(u)+ b(v)I==
b(u − v)= b(u)−b(v)I= b(Åu)=Åb(u)I==
b(uv)= b(u) b(v)I==
пЬЙкЙ=Е=бл=~=Езелн~енK=
=
1293. b(uO )= s(u)+µO I==
пЬЙкЙ==
µ = b(u)=бл=нЬЙ=ЙсйЙЕнЙЗ=о~дмЙI=== s(u)=áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉK=
=
=
=
325
CHAPTER 12. PROBABILITY
1294. j~êâçî=fåÉèì~äáíó= m(u > â)≤ b(âu)I==
пЬЙкЙ=в=бл=лзгЙ=Езелн~енK=
=
1295. s~кб~еЕЙ=зС=aблЕкЙнЙ=o~еЗзг=s~кб~ДдЙл=
σO = s(u)= b[(u −µ)O ]= ∑å (ñá −µ)O éá I==
á=N
пЬЙкЙ==
ñ á =бл=~=й~кнбЕмд~к=змнЕзгЙI= йá =бл=бнл=йкзД~ДбдбнуK=
=
1296. s~кб~еЕЙ=зС=`зенбемзмл=o~еЗзг=s~кб~ДдЙл= σO = s(u)= b[(u −µ)O ]= ∞∫(ñ −µ)O Ñ(ñ)Çñ ==
−∞
=
1297. mкзйЙкнбЙл=зС=s~кб~еЕЙ= s(u + v)= s(u)+ s(v)I==
s(u −v)= s(u)+ s(v)I= s(u +Å)= s(u)I=
s(Åu)= ÅOs(u)I=
пЬЙкЙ=Е=бл=~=Езелн~енK=
=
1298. pí~åÇ~êÇ=aÉîá~íáçå=
a(u)= s(u)= b[(u −µ)O ]=
=
1299. `çî~êá~åÅÉ=
Åçî(uIv)= b[(u −µ(u))(v −µ(v))]= b(uv)−µ(u)µ(v)I==
пЬЙкЙ==
u =áë=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉI== s(u)=áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=uI==
µ=бл=нЬЙ=ЙсйЙЕнЙЗ=о~дмЙ=зС=u=зк=vK=
326
CHAPTER 12. PROBABILITY
ρ(uIv)= Åçî(uIv) |
I== |
s(u)s(v) |
|
пЬЙкЙ== s(u)=áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=uI== s(v)=áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=vK=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
327
=
iззв=Сзк=знЬЙк=Ь~еЗДззвл=~еЗ=лздоЙЗ=йкзДдЙг=ЦмбЗЙл=~н=
ïïïKã~íÜ-ЙДззвлKЕзгK=
=
=
=
=