Chapter 8

Differential Calculus

=

=

=

=

cмеЕнбзелW=СI=ЦI=уI=мI=о=

^кЦмгЙен=EбеЗЙйЙеЗЙен=о~кб~ДдЙFW=с=

oЙ~д=емгДЙклW=~I=ДI=ЕI=З=

k~нмк~д=емгДЙкW=е= ^еЦдЙW= α= fеоЙклЙ=СмеЕнбзеW= С −N =

=

=

8.1 Functions and Their Graphs

=

723.bоЙе=cмеЕнбзе= С(−ñ)=Ñ(ñ)=

=

724.lЗЗ=cмеЕнбзе= С(−ñ)= −Ñ (ñ)=

=

725.mЙкбзЗбЕ=cмеЕнбзе= С(ñ +åq)=Ñ(ñ)=

=

726. fеоЙклЙ=cмеЕнбзе=

ó = Ñ(ñ)=бл=~еу=СмеЕнбзеI= с =Ö(ó)=çê= ó =Ñ −N(ñ)=бл=бнл=беоЙклЙ=

СмеЕнбзеK==

=

191

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

======

=

Figure 152.

=

727.`згйзлбнЙ=cмеЕнбзе=

ó= Ñ(ì)I= ì =Ö(ñ)I= ó =Ñ(Ö(ñ))=бл=~=ЕзгйзлбнЙ=СмеЕнбзеK=

=

728.iбеЙ~к=cмеЕнбзе=

ó=~ñ +Ä I== ñ o I== ~ = í~å α ==бл=нЬЙ=лдзйЙ=зС=нЬЙ=дбеЙI==Д==бл=

íÜÉ=ó-бенЙкЕЙйнK=

=

192

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=======

=

Figure 153.

=

729. nм~Зк~нбЕ=cмеЕнбзе== у = ñO I= ñ o K=

=

=======

=

Figure 154.

=

193

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

730. ó =~ñO +Äñ +Å I= ñ o K=

=

====

=

Figure 155.

=

731. `мДбЕ=cмеЕнбзе== у = ñP I= ñ o K=

=

194

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

==

=

Figure 156.

=

732. ó =~ñP +ÄñO +Åñ +Ç I= ñ o K=

=

195

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

===

=

Figure 157.

=

733. mзпЙк=cмеЕнбзе== у = ñå I= å k K=

=

196

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=======

Figure 158.

=

=

Figure 159.

=

197

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

734. pим~кЙ=oззн=cмеЕнбзе== у = ñ I= ñ [MI ∞)K=

=

========

Figure 160.

=

735.bсйзеЙенб~д=cмеЕнбзел=

ó= ~ñ I= ~ >M I= ~ ≠NI=

ó= Éñ =áÑ= ~ = É I= É =OKTNUOUNUOUQSK=

=

==

=

Figure 161.

198

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

736.iзЦ~кбнЬгбЕ=cмеЕнбзел=

ó= äçÖ~ ñ I= ñ (MI ∞)I= ~ >M I= ~ ≠NI=

ó= äå ñ =áÑ= ~ = É I= ñ >M K=

=

=

=

Figure 162.

=

737. eуйЙкДздбЕ=pбеЙ=cмеЕнбзе==

ó =ëáåÜ ñ I= ëáåÜ ñ = Éñ −É−ñ I= ñ o K=

O

=

199

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=====

=

Figure 163.

=

738. eуйЙкДздбЕ=`злбеЙ=cмеЕнбзе==

ó =ÅçëÜ ñ I= ÅçëÜ ñ =	Éñ +	É−ñ
			I= ñ o K=
	O
======		=

=

Figure 164.

200

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

	739. eуйЙкДздбЕ=q~еЦЙен=cмеЕнбзе==			Éñ −É−ñ
	ó = í~åÜ ñ I= ó = í~åÜ ñ =	ëáåÜ ñ	=
		ÅçëÜ ñ		Éñ +É−ñ

=

======

=

	Figure 165.
	=
	740. eуйЙкДздбЕ=`зн~еЦЙен=cмеЕнбзе==			Éñ +É−ñ
	ó =ÅçíÜ ñ I= ó =ÅçíÜ ñ =	ÅçëÜ ñ	=
		ëáåÜ ñ		Éñ −É−ñ

=

I= ñ o K=

=

I= ñ o I= ñ ≠ M K=

201

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=======

=

Figure 166.

=

741.eуйЙкДздбЕ=pЙЕ~ен=cмеЕнбзе==

ó=ëÉÅÜ ñ I= ó =ëÉÅÜ ñ = ÅçëÜN ñ = Éñ +OÉ−ñ I= ñ o K=

=

Figure 167.

202

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

	742. eуйЙкДздбЕ=`злЙЕ~ен=cмеЕнбзе==
	ó =ÅëÅÜ ñ I= ó =ÅëÅÜ ñ =	N	=	O		I= ñ o I= ñ ≠ M K=
		ëáåÜ ñ		Éñ −	É−ñ
	=
	======					=
	=

Figure 168.

=

743.fеоЙклЙ=eуйЙкДздбЕ=pбеЙ=cмеЕнбзе==

ó=~кЕлбеЬ с I= с o K=

=

203

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

======

=

Figure 169.

=

744.fеоЙклЙ=eуйЙкДздбЕ=`злбеЙ=cмеЕнбзе==

ó=~кЕЕзлЬ с I= с [NI ∞)K=

=

======

=

Figure 170.

=

745.fеоЙклЙ=eуйЙкДздбЕ=q~еЦЙен=cмеЕнбзе==

ó=~êÅí~åÜ ñ I= ñ (−NI N)K=

=

204

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

======

=

Figure 171.

=

746.fеоЙклЙ=eуйЙкДздбЕ=`зн~еЦЙен=cмеЕнбзе==

ó=~кЕЕзнЬ с I= с (−∞I−N) (NI ∞)K==

=

205

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

======

=

Figure 172.

=

747.fеоЙклЙ=eуйЙкДздбЕ=pЙЕ~ен=cмеЕнбзе==

ó=~кЕлЙЕЬ с I= с (MIN]K=

=

206

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=

Figure 173.

=

748.fеоЙклЙ=eуйЙкДздбЕ=`злЙЕ~ен=cмеЕнбзе==

ó=~кЕЕлЕЬ с I= с o I= с ≠ M K==

=

Figure 174.

=

207

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

8.2 Limits of Functions

=

cмеЕнбзелW= С(ñ)I= Ö(ñ)=

	^кЦмгЙенW=с=
	oЙ~д=Езелн~енлW=~I=в=
	=
749.	=äáã[Ñ(ñ)+Ö(ñ)]= äáãÑ(ñ)+äáãÖ(ñ)=
	ñ→~				ñ→~			ñ→~
750.	=äáã[Ñ(ñ)−Ö(ñ)]= äáãÑ (ñ)−äáãÖ(ñ)=
	ñ→~				ñ→~			ñ→~
751.	=äáã[Ñ(ñ) Ö(ñ)]= äáãÑ(ñ) äáãÖ(ñ)=
	ñ→~				ñ→~			ñ→~
	=	Ñ(ñ)	äáãÑ(ñ)
752.							I=áÑ= äáãÖ(ñ)≠ M K=
	äáã		=	ñ→~
		Ö(ñ)
	ñ→~		äáãÖ(ñ)					ñ→~
				ñ→~
753.	=äáã[âÑ(ñ)]= â äáãÑ(ñ)=
	ñ→~				ñ→~
754.	=äáãÑ(Ö(ñ))=Ñ äáãÖ(ñ) =
	ñ→~				ñ→~

755. =äáãÑ(ñ)=Ñ(~)I=бС=нЬЙ=СмеЕнбзе= С(ñ)=бл=Езенбемзмл=~н= с = ~ K=

ñ→~

	=
756.	äáã	ëáå ñ		=N=
		ñ
	ñ→M
	=
757.	äáã	í~å ñ		=N =
		ñ
	ñ→M
	=
758.	äáã	ëáå−N ñ			=N=
	ñ→M	ñ

208

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

759.	äáã		í~å−N ñ				=N=
		ñ
	ñ→M
	=		äå(N+ ñ)
760.	äáã							=N=
	ñ→M			ñ
	=
761.					N		ñ
	äáã N+						=É =
	ñ→∞				ñ
	=
762.					â		ñ		â
	äáã N+						=É			=
	ñ→∞				ñ
	=
763.	äáã~ñ =N=
	ñ→M

=

=

=

8.3 Definition and Properties of the Derivative

	=
	cмеЕнбзелW=СI=ЦI=уI=мI=о=
	fеЗЙйЙеЗЙен=о~кб~ДдЙW=с=
	oЙ~д=Езелн~енW=в=
	^åÖäÉW= α=
	=
	=	Ñ (ñ +∆ñ)−Ñ(ñ)			∆ó
	′						Çó
764.	ó (ñ)= äáã			= äáã		=		==
		Ɩ
	∆ñ→M			∆ñ→M ∆ñ Çñ

=

209

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

==

=

=

Figure 175.

=

765.

Çó

= í~å α ==

Çñ

766.

= Ç(ì + î)

=

Çì

+

Çî

=

Çñ

Çñ

Çñ

767.

= Ç(ì − î)

=

Çì

−

Çî

=

Çñ

Çñ

Çñ

=

Ç(âì)

768.

= â

Çì

=

Çñ

Çñ

769.

=

mкзЗмЕн=oмдЙ=

Ç(ì î)

=

Çì

î +ì

Çî

==

Çñ

Çñ

Çñ

=

=

210

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

770. nмзнбЙен=oмдЙ=

Ç		ì				Çì	î −ì	Çî
					Çñ
				=			Çñ
									=
							îO
Çñ		î

=

771.`Ü~áå=oìäÉ=

ó=Ñ(Ö(ñ))I= ì =Ö(ñ)I==

ÇÇóñ = ÇìÇó ÇìÇñ K=

=

772. aЙкбо~нбоЙ=зС=fеоЙклЙ=cмеЕнбзе=

Çó = N

Çñ Çñ I==

Çó

пЬЙкЙ= с(ó)бл=нЬЙ=беоЙклЙ=СмеЕнбзе=зС= у(ñ)K==

=

773. oЙЕбйкзЕ~д=oмдЙ= Зу

Ç
					Çñ
		N		= −			=
					ó	O
Çñ		ó

=

774.iзЦ~кбнЬгбЕ=aбССЙкЙенб~нбзе=

ó= Ñ(ñ)I= äå ó = äåÑ (ñ)I==

ÇÇóñ = Ñ (ñ) ÇÇñ [äåÑ(ñ)]K=

=

=

8.4 Table of Derivatives

=

fеЗЙйЙеЗЙен=о~кб~ДдЙW=с=

oЙ~д=Езелн~енлW=`I=~I=ДI=Е=

k~нмк~д=емгДЙкW=е=

211

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

775. ÇÇñ (`)= M =

=

776. ÇÇñ (ñ)=N=

=

777.ÇÇñ (~ñ + Ä)= ~ =

=

778.ÇÇñ (~ñO + Äñ +Å)=

=

(ñå )=åñå−N =

779.

Ç

Çñ

=

(ñ−å )= −

780.

Ç

å

=

Çñ

å+N

ñ

=

781.

Ç

N

N

= −

=

ñO

Çñ

ñ

=

(

ñ )=

782.

Ç

N

=

Çñ

O

ñ

=

(å ñ )= å å

783.

Ç

N

Çñ

ñå−N

=

784.

Ç

(äå ñ)=

N

=

Çñ

ñ

=

785.

Ç

(äçÖ~ ñ)=

N

Çñ

ñ äå~

=

~ñ + Ä =

=

I= ~ > M I= ~ ≠NK=

212

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

786. ÇÇñ (~ñ )=~ñ äå~ I= ~ > M I= ~ ≠NK=

=

787. ÇÇñ (Éñ )= Éñ =

=

788.ÇÇñ (ëáå ñ)=Åçë ñ =

=

789.ÇÇñ (Åçë ñ)= −ëáå ñ =

=

790. ÇñÇ (í~å ñ)= ÅçëNO ñ = ëÉÅO ñ =

=

791.ÇñÇ (Åçí ñ)= −ëáåNO ñ = −ÅëÅO ñ =

=

792.ÇÇñ (ëÉÅ ñ)= í~å ñ ëÉÅ ñ =

		=
	793.		Ç	(ÅëÅ ñ)= −Åçí ñ ÅëÅ ñ =
		Çñ
		=
	794.		Ç	(~кЕлбе с)=		N		=
		Çñ
						N− ñO
		=
	795.		Ç	(~кЕЕзл с)= −		N		=
		Çñ				N−
								ñO
		=
	796.		Ç	(~êÅí~å ñ)=		N		=
		Çñ				+ ñO
				N

=

213

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

	797.		Ç	(~кЕЕзн с)= −				N		=
		Çñ				N+ ñO
		=
	798.		Ç	(~кЕлЙЕ с)=				N		=
		Çñ
				ñ				ñO −N
		=
	799.		Ç	(~кЕЕлЕ с)= −					N	=
		Çñ
						ñ		ñO −N
		=
	800.		Ç	(ëáåÜ ñ)= ÅçëÜ ñ =
		Çñ
		=
	801.		Ç	(ÅçëÜ ñ)= ëáåÜ ñ =
		Çñ
		=
	802.		Ç	(í~åÜ ñ)=		N			= ëÉÅÜOñ =
		Çñ				O		ñ
				ÅçëÜ

=

803.ÇñÇ (ÅçíÜ ñ)= −ëáåÜN O ñ = −ÅëÅÜOñ =

=

804.ÇÇñ (ëÉÅÜ ñ)= −ëÉÅÜ ñ í~åÜ ñ =

		=
	805.		Ç	(ÅëÅÜ ñ)= −ÅëÅÜ ñ ÅçíÜ ñ =
		Çñ
		=
	806.		Ç	(~кЕлбеЬ=с)=	N	=
		Çñ
					ñO +N
		=
	807.		Ç	(~кЕЕзлЬ=с)=	N	=
		Çñ
					ñ O	−N
						214

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

808.

Ç

(~êÅí~åÜ=ñ)=

N

I=

ñ

<NK=

Çñ

− ñ O

N

=

809.

Ç

(~кЕЕзнЬ=с)= −

N

I=

ñ

>NK=

Çñ

ñ O −N

=

(ìî )= îìî−N

810.

Ç

Çì

+ìî äåì

Çî

=

Çñ

Çñ

Çñ

=

=

=

8.5 Higher Order Derivatives

=

cмеЕнбзелW=СI=уI=мI=о=

fеЗЙйЙеЗЙен=о~кб~ДдЙW=с=

k~нмк~д=емгДЙкW=е=

=

=

811. pЙЕзеЗ=ЗЙкбо~нбоЙ=

	Çó			Ç		Çó			ÇO ó
Ñ ′′=(Ñ ′)′=			′=					=		=
									ÇñO
	Çñ			Çñ		Çñ

=

812. eбЦЬЙк-lкЗЙк=ЗЙкбо~нбоЙ=

Ñ (å) = Çå ó = ó(å) = (Ñ (å−N) )′=

Çñå

=

813. (ì + î)(å) = ì(å) + î(å) =

=

814. (ì − î)(å) = ì(å) − î(å) =

=

815.iЙбДебнт∞л=cзкгмд~л=

(ìî)′′ = ì′′î +Oì′î′+ìî′′=

215

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

(ìî)′′′ = ì′′′î +Pì′′î′+Pì′î′′+ìî′′′=

(ìî)(å) = ì(å)î + åì(å−N)î′+ å(Nå −ON)ì(å−O)î′′+K+ ìî(å)=

=

816.(ñã )(å) = ( ã> ) ñã−å =

ã−å >

817.=(ñå )(å) = å> =

=

818.(äçÖ~ ñ)(å) = (−N)å−N(å −N)> =

ñå äå~

=

819.(äå ñ)(å) = (−N)å−N(å −N)> =

ñå

820.=(~ñ )(å) = ~ñ äåå ~ =

821.=(Éñ )(å) = Éñ =

822.=(~ãñ )(å) = ãå~ãñ äåå ~ =

=

823.(ëáå ñ)(å) = ëáå ñ + åπ =

O

=

824.(Åçë ñ)(å) = Åçë ñ + åπ =

O

=

=

=

216

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

8.6 Applications of Derivative

=

cмеЕнбзелW=СI=ЦI=у=

mзлбнбзе=зС=~е=зДаЙЕнW=л==

sЙдзЕбнуW=о=

^ЕЕЙдЙк~нбзеW=п=

fеЗЙйЙеЗЙен=о~кб~ДдЙW=с=

qáãÉW=í=

k~нмк~д=емгДЙкW=е=

=

=

825.sЙдзЕбну=~еЗ=^ЕЕЙдЙк~нбзе=

ë = Ñ(í)=бл=нЬЙ=йзлбнбзе=зС=~е=зДаЙЕн=кЙд~нбоЙ=нз=~=СбсЙЗ=

ЕззкЗбе~нЙ=лулнЙг=~н=~=нбгЙ=нI==

î= ë′= Ñ′(í)=бл=нЬЙ=белн~ен~еЙзмл=оЙдзЕбну=зС=нЬЙ=зДаЙЕнI=

ï= î′=ë′′=Ñ′′(í)=бл=нЬЙ=белн~ен~еЙзмл=~ЕЕЙдЙк~нбзе=зС=

нЬЙ=зДаЙЕнK==

=

826.q~еЦЙен=iбеЙ=

ó− óM = Ñ′(ñM )(ñ − ñM )=

=

217

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=

=

	=			Figure 176.
	827. kçêã~ä=iáåÉ=
	ó − óM = −	N		(ñ − ñM )=EcáÖ=NTSF=
		Ñ′(ñM )

=

828.fеЕкЙ~лбеЦ=~еЗ=aЙЕкЙ~лбеЦ=cмеЕнбзелK==

fÑ= Ñ′(ñM )> M I=нЬЙе=СEсF=бл=беЕкЙ~лбеЦ=~н= сM K=EcáÖ=NTTI= ñ < ñN I=

ñO < ñ FI=

fÑ= Ñ′(ñM )< M I=нЬЙе=СEсF=бл=ЗЙЕкЙ~лбеЦ=~н= сM K=EcáÖ=NTTI=

ñN < ñ < ñO FI=

fÑ= Ñ′(ñM )=ЗзЙл=езн=Йсблн=зк=бл=тЙкзI=нЬЙе=нЬЙ=нЙлн=С~бдлK==

=

218

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=

=

Figure 177.

=

829. iзЕ~д=ЙснкЙг~=

^=СмеЕнбзе=СEсF=Ь~л=~=дзЕ~д=г~сбгмг=~í= ñN =бС=~еЗ=зеду=бС= нЬЙкЙ=Йсблнл=лзгЙ=бенЙко~д=Езен~бебеЦ= сN =ëìÅÜ=íÜ~í=

Ñ(ñN )≥Ñ(ñ)=Сзк=~дд=с=бе=нЬЙ=бенЙко~д=EcбЦKNTTFK==

=

^=СмеЕнбзе=СEсF=Ь~л=~=дзЕ~д=гбебгмг=~í= ñ O =бС=~еЗ=зеду=бС= нЬЙкЙ=Йсблнл=лзгЙ=бенЙко~д=Езен~бебеЦ= с O =ëìÅÜ=íÜ~í=

Ñ (ñ O )≤ Ñ (ñ)=Сзк=~дд=с=бе=нЬЙ=бенЙко~д=EcбЦKNTTFK=

=

830. `кбнбЕ~д=mзбенл=

^=ЕкбнбЕ~д=йзбен=зе=СEсF=зЕЕмкл=~н= сM =бС=~еЗ=зеду=бС=ЙбнЬЙк= С′(ñM )=бл=тЙкз=зк=нЬЙ=ЗЙкбо~нбоЙ=ЗзЙле∞н=ЙсблнK=

=

831. cбклн=aЙкбо~нбоЙ=qЙлн=Сзк=iзЕ~д=bснкЙг~K= fС=СEсF=бл==беЕкЙ~лбеЦ==E С′(ñ)> M F=Сзк==~дд==с==бе==лзгЙ==бенЙко~д= (~I ñN ]==~еЗ==СEсF==бл==ЗЙЕкЙ~лбеЦ==E С′(ñ)<M F==Сзк=~дд==с=бе=лзгЙ= бенЙко~д= = [ñN I Ä)I= = нЬЙе= СEсF= Ь~л= ~= = дзЕ~д= г~сбгмг= = ~н= = сN =

EcáÖKNTTFK==

219

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

832.fС=СEсF=бл=ЗЙЕкЙ~лбеЦ=E С′(ñ)< M F=Сзк=~дд=с=бе=лзгЙ=бенЙко~д= (~I ñO ]=~еЗ=СEсF=бл=беЕкЙ~лбеЦ=E С′(ñ)>M F=Ñçê=~ää=ñ=áå=ëçãÉ=

[ñ O I Ä)I=нЬЙе=СEсF=Ь~л=~=дзЕ~д=гбебгмг=~н= с O K==

EcáÖKNTTFK=

=

833.pЙЕзеЗ=aЙкбо~нбоЙ=qЙлн=Сзк=iзЕ~д=bснкЙг~K=

fÑ= Ñ ′(ñN )= M =~åÇ= Ñ ′′(ñN )<M I=нЬЙе=СEсF=Ь~л=~=дзЕ~д=г~сбгмг=

~í== ñN K=

fÑ= Ñ ′(ñ O )=M =~åÇ= Ñ ′′(ñO )>M I=нЬЙе=СEсF=Ь~л=~=дзЕ~д=гбебгмг=

~í= ñ O K=EcáÖKNTTF=

=

834.`çåÅ~îáíóK==

ÑEñF= áë= = ÅçåÅ~îÉ= ìéï~êÇ= ~í= = ñM = = áÑ= = ~åÇ= = çåäó= = áÑ= = Ñ′(ñ)= áë============

беЕкЙ~лбеЦ=~н= сM =EcáÖKNTTI= ñP < с FK=== СEсF=бл==ЕзеЕ~оЙ==Ззпеп~кЗ=~н== сM ==áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ== Ñ′(ñ)==áë===============

ЗЙЕкЙ~лбеЦ=~н= сM K=EcáÖKNTTI= ñ < ñP FK===

=

835. pЙЕзеЗ=aЙкбо~нбоЙ=qЙлн=Сзк=`зеЕ~обнуK==

fÑ= Ñ′′(ñM )> M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÅçåÅ~îÉ=ìéï~êÇ=~í= ñM K== fÑ= Ñ′′(ñM )< M I=нЬЙе=СEсF=бл=ЕзеЕ~оЙ=Ззпеп~кЗ=~н= сM K= fÑ= Ñ′′(ñ)=ЗзЙл=езн=Йсблн=зк=бл=тЙкзI=нЬЙе=нЬЙ=нЙлн=С~бдлK=

=

836. fеСдЙЕнбзе=mзбенл=

fÑ== Ñ ′(ñP )==Йсблнл==~еЗ== С ′′(ñ)==ÅÜ~åÖÉë=ëáÖå=~í= ñ = ñP I==нЬЙе= нЬЙ= йзбен= (ñP IÑ (ñP ))= áë= ~å= беСдЙЕнбзе= йзбен= çÑ= íÜÉ= Öê~éÜ= çÑ= Ñ(ñ)K=fÑ= Ñ ′′(ñP )=Йсблнл=~н=нЬЙ=беСдЙЕнбзе=йзбенI=нЬЙе= С ′′(ñP )= M =

EcáÖKNTTFK=

=

837. i∞eçéáí~ä∞ë=oìäÉ=

	äáã	Ñ (ñ)	= äáã	Ñ′(ñ)		=áÑ= äáã Ñ(ñ)= äáã Ö(ñ)= M			K==
		Ö(ñ)		Ö (ñ)
	ñ→Å		ñ→Å			ñ→Å	ñ→Å	∞
				′

=

220

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

8.7 Differential

=

cмеЕнбзелW=СI=мI=о=

fеЗЙйЙеЗЙен=о~кб~ДдЙW=с= aЙкбо~нбоЙ=зС=~=СмеЕнбзеW= у′(ñ)I= Ñ′(ñ)= oЙ~д=Езелн~енW=`= aбССЙкЙенб~д=зС=СмеЕнбзе= у = Ñ(ñ)W=Зу= aбССЙкЙенб~д=зС=сW=Зс= pг~дд=ЕЬ~еЦЙ=бе=сW= ∆ñ = pã~ää=ÅÜ~åÖÉ=áå=óW= ∆ó =

=

=

838.Çó = ó′Çñ =

839.=Ñ(ñ +∆ñ)= Ñ (ñ)+Ñ′(ñ)∆ñ =

=

=

=

Figure 178.

221

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

840.pã~ää=`Ü~åÖÉ=áå=ó= ∆ó =Ñ(ñ +∆ñ)−Ñ(ñ)=

841.=Ç(ì + î)=Çì +Çî =

842.=Ç(ì − î)= Çì −Çî =

843.=Ç(`ì)=`Çì =

844.=Ç(ìî)= îÇì +ìÇî =

=

845.		ì		=	îÇì −ìÇî
	Ç					=
					îO
		î

=

=

=

8.8 Multivariable Functions

=

cмеЕнбзел=зС=нпз=о~кб~ДдЙлW= т(ñIó)I= Ñ(ñIó)I= Ö(ñIó)I= Ü(ñIó)==

^кЦмгЙенлW=сI=уI=н= pг~дд=ЕЬ~еЦЙл=бе=сI=уI=тI=кЙлйЙЕнбоЙдуW= ∆ñ I= ∆ó I= ∆ò K=

=

=

846.cбклн=lкЗЙк=m~кнб~д=aЙкбо~нбоЙл=

qЬЙ=й~кнб~д=ЗЙкбо~нбоЙ=пбнЬ=кЙлйЙЕн=нз=с=

∂∂ñÑ = Ññ =E~äëç= ∂∂ñò =òñ FI= qЬЙ=й~кнб~д=ЗЙкбо~нбоЙ=пбнЬ=кЙлйЙЕн=нз=у= ∂∂óÑ = Ñó =E~äëç= ∂∂óò =òó FK=

=

=

222

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

847. pЙЕзеЗ=lкЗЙк=m~кнб~д=aЙкбо~нбоЙл=

∂

∂Ñ

=

∂OÑ

=Ñññ I==

∂ñO

∂ñ

∂ñ

∂

∂Ñ

∂

O

Ñ

=

= Ñóó

I==

O

∂ó

∂ó

∂ó

∂

∂Ñ

=

∂OÑ

= Ñ

ñó I==

∂ó

∂ñ

∂ó∂ñ

∂

∂Ñ

∂

O

Ñ

=

= Ñ

K==

óñ

∂ñ∂ó

∂ñ

∂ó

fС=нЬЙ=ЗЙкбо~нбоЙл=~кЙ=ЕзенбемзмлI=нЬЙе==

∂OÑ = ∂OÑ K==

∂ó∂ñ ∂ñ∂ó

=

848.`Ü~áå=oìäÉë==

fÑ= Ñ(ñIó)=Ö(Ü(ñIó))=EЦ=бл=~=СмеЕнбзе=зС=зеЙ=о~кб~ДдЙ=ЬFI=нЬЙе==

∂∂ñÑ = Ö′(Ü(ñIó))∂∂Üñ I= ∂∂óÑ = Ö′(Ü(ñIó))∂∂Üó K==

=

fÑ= Ü(í)=Ñ(ñ(í)Ió(í))I=íÜÉå= Ü′(í)= ∂∂ñÑ ÇñÇí + ∂∂óÑ ÇóÇí K==

=

fÑ= ò = Ñ(ñ(ìIî)Ió(ìIî))I=íÜÉå==

∂∂ìò = ∂∂ñÑ ∂∂ìñ + ∂∂óÑ ∂∂ìó I= ∂∂îò = ∂∂ñÑ ∂∂ñî + ∂∂óÑ ∂∂óî K==

=

849. pã~ää=`Ü~åÖÉë=

∆ò ≈ ∂∂ñÑ ∆ñ + ∂∂óÑ ∆ó =

=

=

223

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

850. içÅ~ä=j~ñáã~=~åÇ=jáåáã~=

Ñ(ñIó)=Ü~ë=~=дзЕ~д=г~сбгмг=~í= (ñM IóM )=áÑ= Ñ(ñIó)≤ Ñ (ñM IóM )= Ñçê=~ää= (ñIó)=лмССбЕбЙенду=ЕдзлЙ=нз= (ñM IóM )K==

=

Ñ(ñIó)=Ü~ë=~=дзЕ~д=гбебгмг=~í= (ñM IóM )=áÑ= Ñ(ñIó)≥ Ñ (ñM IóM )= Ñçê=~ää= (ñIó)=лмССбЕбЙенду=ЕдзлЙ=нз= (ñM IóM )K=

=

851. pн~нбзе~ку=mзбенл= ∂∂ñÑ = ∂∂óÑ = M K=

iзЕ~д=г~сбг~=~еЗ=дзЕ~д=гбебг~=зЕЕмк=~н=лн~нбзе~ку=йзбенлK=

==

852. p~ÇÇäÉ=mçáåí=

^=лн~нбзе~ку==йзбен==пЬбЕЬ==бл==еЙбнЬЙк==~==дзЕ~д==г~сбгмг= езк=~=дзЕ~д=гбебгмг=

=

853.pЙЕзеЗ=aЙкбо~нбоЙ=qЙлн=Сзк=pн~нбзе~ку=mзбенл= iЙн= (ñM IóM )=ДЙ=~=лн~нбзе~ку=йзбен=E ∂∂ñÑ = ∂∂óÑ = M FK==

			(ñ Ió )	Ñ (ñ Ió )
	Ñ
a =	Ñ	óñññ	(ñMM IóMM )	Ñóóñó (ñMM IóMM )		K==

=

fÑ= a > M I= Ñññ (ñM IóM )> M I== (ñM IóM )==бл=~=йзбен=зС=дзЕ~д=гбебг~K= fС= a >M I= Ñññ (ñM IóM )< M I== (ñM IóM )==бл=~=йзбен=зС=дзЕ~д=г~сбг~K= fС= a <M I= (ñM IóM )=бл=~=л~ЗЗдЙ=йзбенK=

fÑ= a = M I=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK=

=

854. q~еЦЙен=mд~еЙ= qЬЙ=Йим~нбзе=зС=нЬЙ=н~еЦЙен=йд~еЙ=нз=нЬЙ=лмкС~ЕЙ= т =Ñ(ñIó)=

~í= (ñM IóM IòM )=áë==

ò −òM = Ññ (ñM IóM )(ñ − ñM )+Ñó (ñM IóM )(ó − óM )K=

=

224

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

855.kçêã~ä=íç=pìêÑ~ÅÉ= qÜÉ=Éèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=åçêã~ä=íç=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ò =Ñ(ñIó)=~í=

(ñM IóM IòM )=áë==

ñ − ñM		ó − óM		ò −òM
	=		=		K=
Ññ (ñM IóM )		Ñó (ñM IóM )		−N

=

=

=

8.9 Differential Operators

=

rебн=оЙЕнзкл=~дзеЦ=нЬЙ=ЕззкЗбе~нЙ=~сЙлW= б I= а I= в = pЕ~д~к=СмеЕнбзел=EлЕ~д~к=СбЙдЗлFW= С(ñIóIò)I= ì(ñNI ñO IKIñå )= dк~ЗбЙен=зС=~=лЕ~д~к=СбЙдЗW= Цк~З м I= м =

∂Ñ aбкЙЕнбзе~д=ЗЙкбо~нбоЙW= ∂ä =

sЙЕнзк=СмеЕнбзе=EоЙЕнзк=СбЙдЗFW= c (mInIo)= aбоЙкЦЙеЕЙ=зС=~=оЙЕнзк=СбЙдЗW= Збо c I= c = `мкд=зС=~=оЙЕнзк=СбЙдЗW= Емкд c I= ×c =

i~éä~Åá~å=çéÉê~íçêW= O =

=

=

856. dк~ЗбЙен=зС=~=pЕ~д~к=cмеЕнбзе=

∂Ñ

∂Ñ

∂Ñ

Öê~Ç Ñ = Ñ =

I

I

I==

∂ñ

∂ó

∂ò

∂ì

∂ì

∂ì

I

IKI

Öê~Ç ì = ì =

∂ñN

∂ñO

∂ñ

K=

å

=

857. aбкЙЕнбзе~д=aЙкбо~нбоЙ=

∂∂Ñä = ∂∂ñÑ Åçëα+ ∂∂óÑ Åçëβ+ ∂∂òÑ Åçë γI==

225

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

пЬЙкЙ=нЬЙ=ЗбкЙЕнбзе=бл=ЗЙСбеЙЗ=Ду=нЬЙ=оЙЕнзк=

ä(ÅçëαI ÅçëβI Åçë γ)I= ÅçëO α+ÅçëO β+ÅçëO γ =NK==

=

858. aбоЙкЦЙеЕЙ=зС=~=sЙЕнзк=cбЙдЗ= Збо cr = cr = ∂∂mñ + ∂∂nó + ∂∂oò =

=

859. `мкд=зС=~=sЙЕнзк=cбЙдЗ=

r

r

r

r

r

á

à

â

∂

∂

∂

Åìêä c = ×c

=

=

∂ñ

∂ñ

∂ñ

m

n

o

∂o

r

r

r

∂n

∂m

∂o

∂n

−

á

−

−

∂m

=

∂ó

∂ò

+

∂ò

à

+

∂ñ

â =

∂ñ

∂ó

=

860. i~éä~Åá~å=léÉê~íçê=

OÑ = ∂OÑ + ∂OÑ + ∂OÑ = ∂ñO ∂óO ∂òO

=

861.Çáî(Åìêä c)= ( ×c)≡M =

862.=Åìêä(Öê~Ç Ñ )= ×( Ñ )≡M =

=

863.Çáî(Öê~Ç Ñ )= ( Ñ )= OÑ =

864.=Åìêä(Åìêä c)= Öê~Ç(Çáî c)− Oc = ( c)− Oc =

=

=

226