Chapter 4

Trigonometry

=

=

=

=

^еЦдЙлW= αI= β= oЙ~д=емгДЙкл=EЕззкЗбе~нЙл=зС=~=йзбенFW=сI=у== tЬздЙ=емгДЙкW=в=

=

=

4.1 Radian and Degree Measures of Angles

=

NUM°

362.

N ê~Ç =

≈RT°NT DQR? =

π

=

π

363.

N°=

ê~Ç ≈MKMNTQRP ê~Ç =

NUM

=

π

364.

ND=

ê~Ç ≈MKMMMOVN ê~Ç =

NUM SM

=

π

365.

N?=

ê~Ç ≈MKMMMMMR ê~Ç =

NUM PSMM

366.

=

=

^åÖäÉ=

M=

PM=

QR=

SM=

VM=

NUM=

OTM=

PSM=

=

EЗЙЦкЙЙлF=

^åÖäÉ=

π

π

π

π

π=

Pπ

Oπ=

Eê~Çá~åëF=

M=

S =

Q =

P =

=

=

=

O

O

=

=

80

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.2 Definitions and Graphs of Trigonometric

Functions

=

==

=

Figure 58.

=

367. ëáå α = óê =

=

368. Åçë α = ñê =

=

369. í~å α = ñó =

=

370. Åçí α = ñó =

=

81

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

371. ëÉÅ α = ñê =

=

372. ЕзлЙЕ α = óê =

=

373.pбеЙ=cмеЕнбзе=

ó=ëáå ñ I= −N ≤ëáå ñ ≤NK=

=

=

Figure 59.

=

374.`злбеЙ=cмеЕнбзе==

ó=Åçë ñ I= −N ≤Åçë ñ ≤N K=

82

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

=

=

Figure 60.

=

375.q~еЦЙен=cмеЕнбзе=

ó= í~å ñ I= ñ ≠ (Oâ +N)πO I= −∞ ≤ í~å ñ ≤∞K =

=

=

=

Figure 61.

=

83

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

376.`зн~еЦЙен=cмеЕнбзе==

ó=Åçí ñ I= ñ ≠ âπI== −∞ ≤Åçí ñ ≤∞ K=

=

=

=

Figure 62.

=

377.pЙЕ~ен=cмеЕнбзе=

ó=ëÉÅ ñ I= ñ ≠ (Oâ +N)πO K=

==

84

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

=

=

Figure 63.

=

378.`злЙЕ~ен=cмеЕнбзе==

ó=Åçë ÉÅ ñ I= ñ ≠ âπK=

=

Figure 64.

85

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.3. Signs of Trigonometric Functions

379.	=		nì~Çê~åí=	páå	`çë	q~å	`çí	pÉÅ	`çëÉÅ=
=				α=	α=	α=	α=	α=	α=
			f=	H=	H=	H=	H=	H=	H=
			ff=	H=	=	=	=	=	H=
			fff=	=	=	H=	H=	=	=
		=	fs=	=	H=	=	=	H=	=
	=
380.	=
	=

=

=

Figure 65.

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

86

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.4 Trigonometric Functions of Common

Angles

381.

=

α°=

α ê~Ç =

ëáå α=

Åçë α=

í~å α =

Åçí α

ëÉÅ α=

ЕзлЙЕ α =

M=

M=

M=

N=

M=

∞=

N=

∞=

π

N

P

N

=

O

=

PM=

S =

O =

O

=

P

P =

P

O=

QR=

π

=

O

=

O

=

N=

N=

O =

O =

Q

O

O

π

P

N

N

=

O

=

SM=

P =

O

=

O =

P =

P

O=

P

VM=

π

=

N=

M=

∞=

M=

∞=

N=

O

NOM=

Oπ

=

P

=

−

N

=

− P =

−

N

−O =

O

=

P

O

O

P

P

NUM=

π=

M=

−N=

M=

∞=

−N=

∞=

OTM=

Pπ

=

−N=

M=

∞=

M=

∞=

−N=

O

PSM=

Oπ=

M=

N=

M=

∞=

N=

∞=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

87

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

382.

=

α°=

α ê~Ç =

ëáå α=

Åçë α=

í~å α =

Åçí α =

NR=

π

=

S −

O =

S +

O =

O −

P =

O +

P =

NO

Q

Q

NU=

π

=

R −N =

NM +O

R

R −O

R =

R +O

R =

NM

Q

Q

R

π

NM −O R

R +N

NM −O R

R +N

PS=

=

=

NM −O

R

R

Q

Q

R +N

=

Pπ

R +N

NM −O R

R +N

NM −O

R

RQ=

=

=

R +N

NM

Q

Q

NM −O R

=

Oπ

=

NM +O

R

R −N

R +O

R −O

R

TO=

=

R =

R

R

Q

Q

=

TR=

Rπ

=

S +

O =

S −

O =

O +

P =

O −

P =

NO

Q

Q

=

=

=

4.5 Most Important Formulas

=

383.ëáå O α + Åçë O α =N=

=

384.ëÉÅ O α − í~å O α =N =

=

385.ÅëÅ O α −Åçí O α =N =

=

386.í~å α = Åçëëáå αα =

88

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

387. Åçí α = Åçëëáå αα =

=

388.í~å α Åçí α =N =

=

389.ëÉÅ α = ÅçëN α =

	=
390.	ЕзлЙЕ α =			N	=
				ëáå α
	=
	=
	=
4.6 Reduction Formulas
391.	=
	=		β=		ëáå β=	Åçë β=	í~å β=	Åçí β=
=
			−α=		−ëáå α =	+Åçë α=	−í~å α=	−Åçí α=
			VM°−α=		+Åçë α=	+ëáå α=	+Åçí α =	+ í~å α =
			VM°+α=		+Åçë α=	−ëáå α =	−Åçí α=	−í~å α=
			NUM°−α		+ëáå α=	−Åçë α=	−í~å α=	−Åçí α=
			NUM°+α		−ëáå α =	−Åçë α=	+ í~å α =	+Åçí α =
			OTM°−α		−Åçë α=	−ëáå α =	+Åçí α =	+ í~å α =
			OTM°+α		−Åçë α=	+ëáå α=	−Åçí α=	−í~å α=
			PSM°−α		−ëáå α =	+Åçë α=	−í~å α=	−Åçí α=
		=	PSM°+α		+ëáå α=	+Åçë α=	+ í~å α =	+Åçí α =
	=
	=
	=
	=
	=

89

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.7Periodicity of Trigonometric Functions

392.=ëáå(α±Oπå)=ëáå αI=йЙкбзЗ= Oπ=çê= PSM°K=

393.=Åçë(α±Oπå)=Åçë α I=йЙкбзЗ= Oπ=çê= PSM°K=

394.=í~å(α±πå)= í~å αI=йЙкбзЗ= π=çê= NUM°K=

395.=Åçí(α±πå)=Åçí αI=йЙкбзЗ= π=çê=NUM°K=

=

=

=

4.8Relations between Trigonometric

Functions

=

396.

ëáå α = ±

N −Åçë

O

α = ±

N

(N −Åçë Oα)=O Åçë

O

α

−

π

−N =

α

O

O

Q

O í~å

=

=

O

=

N + í~å O

α

O

=

397.

Åçë α = ±

N −ëáå O α = ±

N

(N + Åçë Oα)=O Åçë O α −N=

N − í~å O α

O

O

=

=

O

=

N + í~å O

α

O

=

ëáå α = ±

ëáå Oα

= N −Åçë Oα

398.

í~å α =

ëÉÅ O α −N =

=

Åçë α

N + Åçë Oα

ëáå Oα

90

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

=

=

399. Åçí α =

=

=

400. ëÉÅ α =

=

401. ÅëÅ α =

=

=

=

N −Åçë Oα

O í~å

α

= ±

=

O

=

N + Åçë Oα

O α

N + í~å

O

Åçë α

= ±

ÅëÅ O α −N = N + Åçë Oα

=

ëáå Oα

=

ëáå α

ëáå Oα

N −Åçë Oα

α

= ±

N + Åçë Oα

= N − í~å O O

=

N −Åçë Oα

O í~å

α

O

N

N + í~å O α

= ±

N + í~å O α =

O

=

Åçë α

O α

N − í~å

O

N

N + í~å O α

= ±

N + Åçí O α =

O

=

ëáå α

α

O í~å

O

4.9Addition and Subtraction Formulas

402.=ëáå(α+β)=ëáå αÅçëβ+ëáåβÅçë α=

403.=ëáå(α−ó)=ëáå αÅçëβ−ëáåβÅçë α=

404.=Åçë(α+β)=Åçë αÅçëβ−ëáå αëáåβ=

405.=Åçë(α−β)=Åçë αÅçëβ+ëáå αëáåβ=

91

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

	406.	í~å(α+β)=		í~å α+í~åβ		=
				N −í~å αí~åβ
		=		í~å α−í~åβ
	407.	í~å(α−β)=				=
				N +í~å αí~åβ
		=		N −í~å αí~åβ
	408.	Åçí(α+β)=				=
				í~å α+í~åβ
		=	N +í~å αí~åβ
	409.	Åçí(α−β)=				=
				í~å α−í~åβ

=

=

=

4.10 Double Angle Formulas

=

410.ëáå Oα =Oëáå α Åçë α=

=

411.Åçë Oα =ÅçëO α−ëáåO α =N−OëáåO α =OÅçëO α−N =

	=	O í~å α
412.	í~å Oα =			=		O		=
		N −í~åO α				Åçí α−í~å α
	=
413.	Åçí Oα =	ÅçíO α−N		=	Åçí α−í~å α			=
		OÅçí α				O

=

=

=

=

=

=

92

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.11 Multiple Angle Formulas

=

414.ëáå Pα =Pëáå α−Q ëáåP α =PÅçëO α ëáå α−ëáåP α=

=

415.ëáå Qα =Q ëáå α Åçë α−UëáåP α Åçë α =

=

416.ëáå Rα =Rëáå α−OMëáåP α+NSëáåR α=

=

417.Åçë Pα =Q ÅçëP α−PÅçë α =ÅçëP α−PÅçë α ëáåO α =

=

418.Åçë Qα =UÅçëQ α−UÅçëO α+N =

=

419.Åçë Rα =NSÅçëR α−OMÅçëP α+RÅçë α=

	=
420.	í~å Pα =			P í~å α−í~åP α		=
				N−P í~åO α
	=
421.	í~å Qα =			Q í~å α−Q í~åP α				=
				N −S í~åO α+í~åQ α
	=
422.	í~å Rα =			í~åR α−NM í~åP α+Rí~å α					=
				N−NM í~åO α+R í~åQ α
	=
423.	Åçí Pα =	ÅçíP α−PÅçí α			=
				PÅçíO α−N
	=
424.	Åçí Qα =		N −S í~åO α+í~åQ α					==
				Q í~å α−Q í~åP α

=

93

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

	425. Åçí Rα =	N −NM í~åO α+R í~åQ α	=
		í~åR α−NM í~åP α+R í~å α

=

=

=

4.12 Half Angle Formulas

=

426. ëáå αO

=

427. Åçë αO

=

428. í~å αO

=

429. Åçí αO

=

=

=

=±

=±

=±

=±

N −Åçë α	=
O
N +Åçë α	=
O
N −Åçë α	=	ëáå α	= N −Åçë α	=ÅëÅ
N +Åçë α		N +Åçë α	ëáå α
N +Åçë α	=	ëáå α	= N +Åçë α	=ÅëÅ
N −Åçë α		N −Åçë α	ëáå α

α−Åçí α =

α+Åçí α=

4.13 Half Angle Tangent Identities

=		α
	O í~å
430. ëáå α =		O	=
		α

N +í~åO

O

=

94

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

		N −í~åO α
431.	Åçë α =					O		=
						α
		N +í~åO
						O
	=				α
				O í~å
432.	í~å α =				O				=
					α
			N −í~åO			O
	=
	N −í~åO α
433.	Åçí α =					O	=

O í~å αO

=

=

=

4.14 Transforming of Trigonometric Expressions to Product

=

434. ëáå α+ëáå β=Oëáå α+βÅçë α−β =

O O

=

435. ëáå α−ëáå β=OÅçë α+βëáå α−β =

O O

=

436. Åçë α+Åçë β=OÅçë α+βÅçë α−β =

O O

=

437. Åçë α−Åçë β= −Oëáå α+βëáå α−β =

O O

=

95

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

438.

í~å α+í~å β=

ëáå(α+β)

=

Åçë α Åçë β

=

ëáå(α−β)

439.

í~å α−í~å β=

=

Åçë α Åçë β

=

ëáå(β+α)

440.

Åçí α+Åçí β=

=

ëáå α ëáå β

=

ëáå(β−α)

441.

Åçí α−Åçí β=

=

ëáå α ëáå β

=

442.

Åçë α +ëáå α =

π

=

π

O Åçë

−α

O ëáå

+α =

Q

Q

=

443.

Åçë α −ëáå α =

π

=

π

O ëáå

−α

O Åçë

+α =

Q

Q

=

Åçë(α−β)

444.

í~å α+Åçí β=

=

Åçë α ëáå β

=

Åçë(α+β)

445.

í~å α−Åçí β= −

=

Åçë α ëáå β

=

446.

N +Åçë α =OÅçëO α

=

O

=

447.

N −Åçë α =OëáåO α

=

O

=

96

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

448.	N +ëáå α = O Åçë		O	π	−	α
						=
				Q		O
	=
449.	N −ëáå α = O ëáå	O		π	−	α
						=
				Q		O

=

=

=

4.15 Transforming of Trigonometric Expressions to Sum

=

450. ëáå

=

451. Åçë

=

452. ëáå

=

453. í~å

=

454. Åçí

=

455. í~å

=

=

=

α ëáå β=	Åçë(α−β)−Åçë(α+β)						=
			O
α Åçë β=			Åçë(α−β)+Åçë(α+β)					=
			O
α Åçë β=		ëáå(α−β)+ëáå(α+β)				=
			O
α í~å β=			í~å α+í~å β		=
			Åçí α+Åçí β
α Åçí β=			Åçí α+Åçí β		=
		í~å α+í~å β
α Åçí β=			í~å α+Åçí β		=
			Åçí α+í~å β

97

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.16 Powers of Trigonometric Functions

=

456. ëáåO α =

=

457. ëáåP α =

=

458. ëáå Q α =

=

459. ëáåR α =

=

460. ëáåS α =

=

461. ÅçëO α =

=

462. ÅçëP α =

=

463. ÅçëQ α =

=

464. ÅçëR α =

=

465. ÅçëS α =

=

N −Åçë Oα =

O

Pëáå α−ëáåPα =

Q

Åçë Qα −Q Åçë Oα +P =

U

NM ëáå α −R ëáå Pα + ëáå Rα =

NS

NM −NRÅçë Oα+S Åçë Qα−Åçë Sα =

PO

N +Åçë Oα =

O

PÅçë α+Åçë Pα =

Q

Åçë Qα+Q Åçë Oα+P =

U

NM Åçë α+Rëáå Pα+Åçë Rα =

NS

NM +NRÅçë Oα+S Åçë Qα+Åçë Sα =

PO

98

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.17 Graphs of Inverse Trigonometric

Functions

=
466. fеоЙклЙ=pбеЙ=cмеЕнбзе==	π		π K=
ó =~кЕлбе с I= −N ≤ ñ ≤N I= −		≤~кЕлбе с ≤
	O		O
=

=

=

Figure 66.

=

467.fеоЙклЙ=`злбеЙ=cмеЕнбзе==

ó=~кЕЕзл с I= −N ≤ ñ ≤N I= M ≤~кЕЕзл с ≤ πK=

=

99

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

=

=

Figure 67.

=

468.fеоЙклЙ=q~еЦЙен=cмеЕнбзе==

ó=~êÅí~å ñ I= −∞ ≤ ñ ≤∞I= − πO <~êÅí~å ñ < πO K=

=

======

=

Figure 68.

100

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

469.fеоЙклЙ=`зн~еЦЙен=cмеЕнбзе==

ó=~êÅ Åçí ñ I= −∞ ≤ ñ ≤∞I= M <~êÅ Åçí ñ < πK=

======

Figure 69.
=
470. fеоЙклЙ=pЙЕ~ен=cмеЕнбзе==	π	π
ó =~кЕлЙЕ=сI с (−∞I −N] [NI∞)I ~êÅ ëÉÅ ñ MI			I π K
	O	O

=

Figure 70.

101

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

471.fеоЙклЙ=`злЙЕ~ен=cмеЕнбзе==

ó=~кЕЕлЕ сI с (−∞I −N] [NI∞)I ~êÅ ÅëÅ ñ − πO I M MI πO K

=

=

Figure 71.

=

=

4.18 Principal Values of Inverse Trigonometric Functions

472.

ñ =

M=

N

=

O =

P

N=

O

O

O

~кЕлбе с =

M°=

PM°=

QR°=

SM°

VM°

~кЕЕзл с =

VM°

SM°=

QR°=

PM°

M°=

ñ =

−

N

−

O

−

P

−N=

=

O

O

O

~кЕлбе с =

−PM°

−QR°

−SM°

−VM°

=

=

=

~кЕЕзл с =

NOM°

NPR°=

NRM°=

NUM°

=

=

=

102

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

473.	ñ =	M=	P	N=	P =	−	P	−N=	− P =
			P				P
	~êÅí~å ñ =	M°=	PM°	QR°	SM°	−PM°		−QR°	−SM°=
								=
	~êÅ Åçí ñ =	VM°	SM°	QR°	PM°	NOM°=		NPR°	NRM°=
								=

=

=

=

4.19 Relations between Inverse Trigonometric Functions

	=
474.	~кЕлбе(−ñ )= −~кЕлбе с =
	=
475.	~кЕлбе с = π −~кЕЕзл с =
	O
	=
476.	~кЕлбе с =~кЕЕзл	N −ñ O	I= M ≤ ñ ≤N K=
	=
477.	~кЕлбе с = −~кЕЕзл	N −ñ O I= −N ≤ ñ ≤M K=
	=
478.	~кЕлбе с =~êÅí~å	ñ	I= ñ O <NK=
		N −ñ O
	=
479.	~кЕлбе с =~êÅ Åçí	N −ñ O	I= M < ñ ≤N K=
		ñ
	=
480.	~кЕлбе с =~êÅ Åçí	N −ñ O	− πI= −N ≤ ñ <M K=
		ñ
	=
481.	~кЕЕзл(−ñ )= π−~кЕЕзл с =

103

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

	482.	~кЕЕзл с =	π −~кЕлбе с =
			O
		=
	483.	~кЕЕзл с =~кЕлбе		N −ñ O	I= M ≤ ñ ≤N K=
		=
	484.	~кЕЕзл с = π−~кЕлбе N −ñ O I= −N ≤ ñ ≤M K=
		=
	485.	~кЕЕзл с =~êÅí~å		N −ñ O	I= M < ñ ≤N K=
				ñ
		=
	486.	~кЕЕзл с = π+~êÅí~å N −ñ O I= −N ≤ ñ <M K=
				ñ
		=
	487.	~кЕЕзл с =	~êÅ Åçí	ñ	I= −N ≤ ñ ≤N K=
				N −ñ O
		=
	488.	~êÅí~å(−ñ )= −~êÅí~å ñ =
		=	π −~êÅ Åçí ñ =
	489.	~êÅí~å ñ =
			O
		=
	490.	~êÅí~å ñ =	~кЕлбе	ñ	=
				N + ñ O
		=
	491.	~êÅí~å ñ =	~кЕЕзл	N	I= ñ ≥M K=
				N + ñ O
		=
	492.			N
		~êÅí~å ñ = −~кЕЕзл N + ñ O I= ñ ≤M K=

=

104

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

493. ~êÅí~å ñ = πO −~êÅí~å ñN I= ñ >M K=

=

494. ~êÅí~å ñ = − πO −~êÅí~å ñN I= ñ <M K=

	=
495.	~êÅí~å ñ =~êÅ Åçí	N		I= ñ >M K=
		ñ
	=
496.	~êÅí~å ñ =~êÅ Åçí	N		−πI= ñ <M K=
		ñ
	=
497.	~êÅ Åçí(−ñ )= π−~êÅ Åçí ñ =
	=
498.	~êÅ Åçí ñ = π −~êÅí~å ñ =
	O
	=
499.	~êÅ Åçí ñ =~кЕлбе			N
		N + ñ O I= ñ >M K=
	=
500.						N
	~êÅ Åçí ñ = π−~кЕлбе N + ñ O						I= ñ <M K=
	=
501.	~êÅ Åçí ñ =~кЕЕзл		ñ
			N + ñ O =
	=
502.	~êÅ Åçí ñ =~êÅí~å	N		I= ñ >M K=
		ñ
	=
503.	~êÅ Åçí ñ = π+~êÅí~å				N	I= ñ <M K=

ñ

=

=

105

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.20 Trigonometric Equations

=

tЬздЙ=емгДЙкW=е=

=

=

504. ëáå ñ = ~ I= ñ =(−N)å ~кЕлбе ~ +πå =

=

505.Åçë ñ =~ I= ñ = ±~кЕЕзл ~ + Oπå =

=

506.í~å ñ =~ I= ñ =~êÅí~å ~ +πå =

=

507. Åçí ñ =~ I= ñ =~êÅ Åçí ~ + πå =

=

=

=

4.21 Relations to Hyperbolic Functions

=

fã~Öáå~êó=ìåáíW=á=

=

508.=ëáå(áñ )=á ëáåÜ ñ =

509.=í~å(áñ )= á í~åÜ ñ =

510.=Åçí(áñ )= −á ÅçíÜ ñ =

511.=ëÉÅ(áñ )=ëÉÅÜ ñ =

512.=ÅëÅ(áñ )= −á ÅëÅÜ ñ =

=

=

=

106