Chapter 2

Algebra

=

=

=

=

2.1 Factoring Formulas

	=
	oЙ~д=емгДЙклW=~I=ДI=Е==
	k~нмк~д=емгДЙкW=е=
	=
	=
65.	~O −ÄO =(~ +Ä)(~ −Ä)=
=	~P −ÄP =(~ −Ä)(~O +~Ä +ÄO )=
66.
=	~P +ÄP =(~ +Ä)(~O −~Ä +ÄO )=
67.
=	~Q −ÄQ =(~O −ÄO )(~O +ÄO )=(~ −Ä)(~ +Ä)(~O +ÄO )=
68.
=	~R −ÄR =(~ −Ä)(~Q +~PÄ +~OÄO +~ÄP +ÄQ )=
69.
=	~R +ÄR =(~ +Ä)(~Q −~PÄ +~OÄO −~ÄP +ÄQ )=
70.

=

71.fÑ=å=áë=çÇÇI=íÜÉå=

~å +Äå =(~ +Ä)(~å−N −~å−OÄ +~å−PÄO −K−~Äå−O +Äå−N )K==

=

72.fÑ=å=áë=ÉîÉåI=íÜÉå==

~å −Äå =(~ −Ä)(~å−N +~å−OÄ +~å−PÄO +K+~Äå−O +Äå−N )I==

12

CHAPTER 2. ALGEBRA

~å +Äå =(~ +Ä)(~å−N −~å−OÄ +~å−PÄO −K+~Äå−O −Äå−N )K=

=

=

=

2.2 Product Formulas

	oЙ~д=емгДЙклW=~I=ДI=Е==
	tЬздЙ=емгДЙклW=еI=в=
	=
	=
73.	(~ −Ä)O =~O −O~Ä +ÄO =
=	(~ +Ä)O =~O +O~Ä +ÄO =
74.
=	(~ −Ä)P =~P −P~OÄ +P~ÄO −ÄP =
75.
=	(~ +Ä)P =~P +P~OÄ +P~ÄO +ÄP =
76.
=	(~ −Ä)Q =~Q −Q~PÄ +S~OÄO −Q~ÄP +ÄQ =
77.
=	(~ +Ä)Q =~Q +Q~PÄ +S~OÄO +Q~ÄP +ÄQ =
78.

=

79._безгб~д=cзкгмд~=

(~ +Ä)å = å`M~å + å`N~å−NÄ +å`O~å−OÄO +K+ å`å−N~Äå−N + å`å Äå I

пЬЙкЙ=	å	`â =	å>	=~кЙ=нЬЙ=Дбезгб~д=ЕзЙССбЕбЙенлK=
			â>(å −â )>

=

80.(~ +Ä +Å)O =~O +ÄO +ÅO +O~Ä +O~Å +OÄÅ =

=

81.(~ +Ä +Å +K+ì + î )O =~O +ÄO +ÅO +K+ìO + î O +=

+O(~Ä +~Å +K+~ì +~î +ÄÅ +K+Äì +Äî +K+ìî)=

13

CHAPTER 2. ALGEBRA

2.3 Powers

=

_~лЙл=EйзлбнбоЙ=кЙ~д=емгДЙклFW=~I=Д== mзпЙкл=Eк~нбзе~д=емгДЙклFW=еI=г=

=

=

82.~ã ~å =~ã+å =

=

83.~ã =~ã−å =

~å

=

84.(~Ä)ã =~ã Äã =

=

85.~ ã = ~ã =Ä Äã

=

86. (~ã )å =~ãå =

=

87.~M =N I= ~ ≠ M =

=

88.~N =N =

=

89.~ −ã = ~Nã =

=

90.	ã		= å ~ã =
	~	å

=

=

=

=

=

14

CHAPTER 2. ALGEBRA

2.4 Roots

=

_~лЙлW=~I=Д== mзпЙкл=Eк~нбзе~д=емгДЙклFW=еI=г=

~I Ä ≥M =Сзк=ЙоЙе=кззнл=E е =Oâ I= â k F=

=

=

91.	å ~Ä = å ~ å						Ä =
=
92.	å ~ ã Ä = åã ~ã Äå =
=
93.	å ~ =		å ~			I= Ä ≠ M =
		Ä	å Ä
=
94.	å	~ =	åã	~		ã	=	åã ~	ã
										å I= Ä ≠ M K=
	ã Ä		åã Äå					Ä
=	(å ~ã )é = å ~ãé =
95.
=	(å ~ )å =~ =
96.
=
97.	å ~ã = åé ~ãé =
=
98.	å ~ã = ~			ã
				å	=
=
99.	ã å ~ = ãå ~ =
=	(å ~ )ã = å ~ã =
100.

=

15

CHAPTER 2. ALGEBRA

101.	N =	å ~å−N	I= ~ ≠ M K=
	å ~	~
=
102.	~ ±	Ä =	~ +	~O −Ä		±	~ − ~O −Ä	=
				O			O
=
103.	N	=	~ m	Ä	=
	~ ±	Ä	~ −Ä

=

=

=

2.5 Logarithms

=

mзлбнбоЙ=кЙ~д=емгДЙклW=сI=уI=~I=ЕI=в=

k~нмк~д=емгДЙкW=е==

=

=

104. aЙСбебнбзе=зС=iзЦ~кбнЬг=

ó = äçÖ~ ñ =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ= ñ =~ ó I= ~ >M I= ~ ≠N K=

	105.	=
		äçÖ~ N =M =
	106.	=
		äçÖ~ ~ =N=
		=	−∞ áÑ ~ >N
	107.	äçÖ~
			M =	=
			+∞	áÑ ~ <N

108. =äçÖ~ (ñó )= äçÖ~ ñ +äçÖ~ ó =

=

109. äçÖ~ ñó = äçÖ~ ñ −äçÖ~ ó =

16

							CHAPTER 2. ALGEBRA
110.	äçÖ~ (ñ å )=å äçÖ~ ñ =
	=
111.	äçÖ~	å ñ =			N äçÖ~ ñ =
					å
	=
112.	äçÖ~	ñ =		äçÖÅ ñ			= äçÖÅ ñ äçÖ~ Å I= Å >M I= Å ≠NK=
		äçÖÅ ~
	=
113.	äçÖ~	Å =			N		=
		äçÖÅ ~
	=
114.	ñ =~ äçÖ~ ñ =
115.	=
	iзЦ~кбнЬг=нз=_~лЙ=NM=
	äçÖNM ñ = äçÖ ñ =
116.	=
	k~нмк~д=iзЦ~кбнЬг=
	äçÖÉ ñ = äå ñ I==
								N		â
	пЬЙкЙ= Й =				äáã N +					=OKTNUOUNUOUK=
					â →∞			â

=

117.äçÖ ñ = äåNNM äå ñ =MKQPQOVQ äå ñ =

=

118.äå ñ = äçÖN É äçÖ ñ =OKPMORUR äçÖ ñ =

=

=

=

=

=

17

CHAPTER 2. ALGEBRA

2.6 Equations

=

oЙ~д=емгДЙклW=~I=ДI=ЕI=йI=иI=мI=о= pздмнбзелW= сN I= ñ O I= óN I= óO I= óP =

=

=

119.iáåÉ~ê=bèì~íáçå=áå=låÉ=s~êá~ÄäÉ=

~ñ +Ä =M I= ñ = − Ä~ K==

=

120. nì~Çê~íáÅ=bèì~íáçå=

~ñ O +Äñ +Å =M I= ñNI O	=	−Ä ± ÄO −Q~Å	K=
		O~
=
121. aблЕкбгбе~ен=
a = ÄO −Q~Å =
=

122.sбЙнЙ∞л=cзкгмд~л=

fÑ= ñ O +éñ +è =M I=íÜÉå==

ñN + ñ O		= −é
	=	K=
ñNñ O		è

		=
	123.	~ñ O +Äñ =M I= ñN	=M I= ñ O = −			Ä	K=
						~
	=
	124.	~ñ O +Å =M I= ñNI O	= ± −	Å	K=
				~
		=

125.`мДбЕ=bим~нбзеK=`~кЗ~ез∞л=cзкгмд~K==

óP +éó +è =M I==

18

CHAPTER 2. ALGEBRA

óN =ì + î I= ó OI P = −

N

(ì + î )±

P (ì + î )á I==

O

O

пЬЙкЙ==

ì =P −

è

+

è O

é O

è

−

è O

é O

O

+

I= î =P −

O

+

K==

O

P

O

P

=

=

2.7 Inequalities

s~êá~ÄäÉëW=ñI=óI=ò=

oЙ~д=емгДЙклW= ~I ÄI ÅI Ç

I=ãI=å=

~N I ~O I ~P I KI ~å

aЙнЙкгбе~енлW=aI= añ I= aó I= aò ==

=

=

126. fеЙим~дбнбЙлI=fенЙко~д=kзн~нбзел=~еЗ=dк~йЬл==

=

fåÉèì~äáíó=	fенЙко~д=kзн~нбзе=		dê~éÜ=
~ ≤ ñ ≤ Ä =	[~I Ä]=
			=
~ < ñ ≤ Ä =	(~I Ä]=
			=
~ ≤ ñ < Ä =	[~I Ä)=
			=
~ < ñ < Ä =	(~I Ä)=
			=
−∞ < ñ ≤ Ä I=	(−∞I Ä]=
ñ ≤ Ä =			=
−∞ < ñ < Ä I=	(−∞I Ä)=
ñ < Ä =			=
~ ≤ ñ <∞ I=	[~I ∞)	=
ñ ≥~ =			=
~ < ñ <∞ I=	(~I ∞)	=
ñ >~ =			=

19

CHAPTER 2. ALGEBRA

127.fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= Ä < ~ K=

=

128.fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= ~ −Ä >M =çê= Ä −~ <M K=

=

129.fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= ~ +Å > Ä +Å K=

=

130.fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= ~ −Å > Ä −Å K=

=

131.fÑ= ~ > Ä =~åÇ= Å > Ç I=íÜÉå= ~ +Å > Ä +Ç K=

=

132.fÑ= ~ > Ä =~åÇ= Å > Ç I=íÜÉå= ~ −Ç > Ä −Å K=

	=
	133.	fÑ= ~ > Ä =~åÇ= ã >M I=íÜÉå= ã~ >ãÄ K=
	=
	134.	fÑ= ~ > Ä =~åÇ= ã >M I=íÜÉå=		~		>		Ä		K=
			ã				ã
	=
	135.	fÑ= ~ > Ä =~åÇ= ã <M I=íÜÉå= ã~ <ãÄ K=
	=
	136.	fÑ= ~ > Ä =~åÇ= ã <M I=íÜÉå=	~			<	Ä			K=
			ã				ã

=

137.fÑ= M <~ < Ä =~åÇ= å >M I=íÜÉå= ~å < Äå K=

=

138.fÑ= M <~ < Ä =~åÇ= å <M I=íÜÉå= ~å > Äå K=

=

139.	fÑ= M < ~ < Ä I=íÜÉå= å ~ < å Ä K=
=	~Ä ≤ ~ +Ä I==
140.
			O
	пЬЙкЙ= ~ >M =I= Ä > M X=~å=Éèì~äáíó=áë=î~äáÇ=çåäó=áÑ= ~ = Ä K==
=
141.	~ +	N	≥O I=пЬЙкЙ= ~ >M X=~å=Éèì~äáíó=í~âÉë=éä~ÅÉ=çåäó=~í= ~ =N K=
	~

20

CHAPTER 2. ALGEBRA

	142.		å ~N~O K~å	≤	~N +~O +K+~å I=пЬЙкЙ= ~N I ~O I KI ~å >M K=
					å
	=
	143.		fÑ= ~ñ + Ä > M =~åÇ= ~ >M I=íÜÉå= ñ > −				Ä	K=
							~
	=
	144.		fÑ= ~ñ + Ä > M =~åÇ= ~ <M I=íÜÉå= ñ < −				Ä	K==
							~
	=
	145.		~ñ O +Äñ +Å >M =
	=
			=		~ >M =				~ <M =
			=		=				=
			=
			=
			a >M =						=
					=				=
					ñ < ñN I= ñ > ñ O =				ñN < ñ < ñ O =
			=		=
			=
			=
			a =M =
									=
					ñN < ñ I= ñ > ñN =				=
									ñ =
			=		=
			=
			=
			a <M =
									=
					=				=
									=
					−∞< ñ <∞=				ñ =

=

21

CHAPTER 2. ALGEBRA

146.

~ +Ä

≤

~

+

Ä

=

=

147.

fÑ=

ñ

<~ I=íÜÉå= −~ < ñ <~ I=пЬЙкЙ= ~ >M K=

=

148.

fÑ=

ñ

>~ I=íÜÉå= ñ < −~ =~åÇ= ñ > ~ I=пЬЙкЙ= ~ >M K=

=

149.

fÑ= ñ O <~ I=íÜÉå= ñ <

~ I=пЬЙкЙ= ~ >M K=

=

150.

fÑ= ñ O >~ I=íÜÉå= ñ >

~ I=пЬЙкЙ= ~ >M K=

=

Ñ (ñ )

Ñ (ñ ) Ö(ñ )>M

151.

fÑ=

>M I=íÜÉå= Ö(ñ )≠ M

K=

Ö(ñ )

=

Ñ (ñ )

Ñ (ñ ) Ö(ñ )<M

152.

<M I=íÜÉå= Ö(ñ )≠ M

K=

Ö(ñ )

=

=

=

2.8 Compound Interest Formulas

=

cмнмкЙ=о~дмЙW=^=

fебнб~д=ЗЙйзлбнW=`=

^еем~д=к~нЙ=зС=бенЙкЙлнW=к=

kмгДЙк=зС=уЙ~кл=беоЙлнЙЗW=н=

kмгДЙк=зС=нбгЙл=ЕзгйзмеЗЙЗ=йЙк=уЙ~кW=е=

=

=

153. dЙеЙк~д=`згйзмеЗ=fенЙкЙлн=cзкгмд~=

^=` N + ê åí =

å

=

22

CHAPTER 2. ALGEBRA

154.pбгйдбСбЙЗ=`згйзмеЗ=fенЙкЙлн=cзкгмд~=

fС= бенЙкЙлн= бл= ЕзгйзмеЗЙЗ= зеЕЙ= йЙк= уЙ~кI= нЬЙе= нЬЙ= йкЙобзмл= Сзкгмд~=лбгйдбСбЙл=нзW=

^ =`(N +ê)í K=

=

155.`зенбемзмл=`згйзмеЗ=fенЙкЙлн= fС=бенЙкЙлн=бл=ЕзгйзмеЗЙЗ=Езенбем~дду=E е →∞FI=íÜÉå==

^ =`Éêí K=

=

=

23